二次函數在生活中的應用

文 孫 艷

二次函數是初中階段數學中的一個重要組成部分，也是中考中的必考內容，它的重要性顯而易見。而隸屬其中的在實際生活中的應用又是二次函數的一個難點，很多同學從心理上就怵它，學起來便顯得很吃力。在實際生活中，橋梁、隧道、噴泉、經濟、球類運動軌跡等都融合了二次函數的相關知識點。下面我們從常見的二次函數與實際生活問題之間的關系中選擇橋梁和經濟兩種類型來分析，希望能使同學們的學習達到事半功倍的效果。

一、二次函數在橋梁中的應用

例1有一座拋物線形拱橋，在正常水位時，水面AB 的寬為20 米；在警戒水位時，水面寬12 米。如果水位上升3 米時，水面CD的寬為16米。

（1）建立適當的平面直角坐標系，求此拋物線表達式；

（2）在正常水位時，有一艘寬8 米、高3.5米的船只，能否通過此橋？

（3）若正常水位時，水深4 米，為了保證船只順利通過，水面寬度不得小于警戒水位，求水深超過多少時會影響船只通行？

（4）現有一輛距橋440 千米的貨車以36千米/小時的速度開向此橋，行使2小時后，接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時0.5 米的速度上漲，問如果貨車按原速行駛，能否安全過橋（橋長忽略不計，達到警戒水位時不能過橋）。若能，說明理由；若不能，要使貨車安全過橋，速度應不小于多少千米每小時？

【分析】（1）求拋物線表達式是解決二次函數相關問題的基礎。求二次函數表達式的方法有：

①一般式：已知拋物線上三點坐標，可設y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；

②交點式：已知拋物線與x 軸的兩個交點，可設y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；

③頂點式：已知拋物線的頂點坐標或對稱軸或最值，可設y=a（x-h）2+k（a≠0）。

本題也可建立其他的平面直角坐標系，答案不唯一。

（2）根據船只的寬度和拋物線表達式，當橫坐標是4 時，求出此點到橋面的距離；再根據正常水位時的條件，求出水面到橋面的距離。這兩個距離之差與3.5比較，大于3.5時能通過，否則不能。

（3）當水面寬度就是警戒水位時，求出此時水面到橋面的距離，再根據正常水位時水面到橋面的距離，可求不影響船只通行的水深的最大值。

（4）本題實質上是行程類問題，根據路程=速度×時間，算出到達警戒水位時的時間，求出貨車行駛的路程。若求出的路程大于等于440千米時，可順利通過橋，反之，不能。

解：（1）如圖1 所示建立平面直角坐標系，設拋物線的表達式為y=ax2（a≠0），OH=h。

∵AB=20，CD=16，OH=h，EH=3，

∴BE=10，DH=8，OE=h+3，

∴B（10，-h-3），D（8，-h）。

∴船只能順利通過。

∵456＞440，∴貨車能夠安全過橋。

【點評】本題考查二次函數在橋梁中的應用，借助平面直角坐標系確定二次函數表達式及利用數形結合思想是解題的關鍵。

二、二次函數在銷售中的應用

例2在抗擊“新冠”疫情期間，某藥店以每個2 元的進價購進一批某型口罩售賣。經調查發現，若按定價每個3 元銷售，每天可銷售500 個。定價每增加1 元，每天將少賣100 個。按相關政策，該型口罩售價不能超過6 元，同時假設定價不低于每個3 元。設定價為每個x元，每天銷售量為y個。

（1）請寫出y與x的函數表達式及自變量x的取值范圍；

（2）設該藥店銷售這批口罩一天的利潤為W元，求W與x的函數表達式；

（3）當藥店將口罩定價為每個多少元時，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少元？

（4）該藥店老板熱心公益事業，決定從每天的銷售利潤中捐出100 元給希望工程。為保證捐款后每天剩余利潤不低于700 元，請寫出該口罩售價的范圍。

【分析】（1）定價每個3元，可銷售500個，定價每增加1 元，每天將少賣100 個，即x 比3大多少就少賣多少個100。

（2）本問考查二次函數在銷售問題中的應用，理清成本、利潤之間的關系是解決問題的關鍵。總利潤=總銷售額-總成本，總銷售額=售價×銷量，總成本=進價×銷量。

（3）二次函數最值的求法：配方法或頂點公式法。需注意自變量的取值范圍、對稱軸、函數圖像增減性等。

（4）捐款后的利潤=銷售利潤-100，即W-100≥700。還可利用解方程或數形結合思想解決。

解：（1）由 題 意，得y=500-100（x-3）=800-100x（3≤x≤6）。

（2）由題意，得W=xy-2y=（x-2）y=（x-2）（800-100x）=-100x2+1000x-1600。

（3）∵W=-100x2+1000x-1600=-100（x-5）2+900，

又∵-100＜0，3≤x≤6，

∴當x=5時，W最大=900。

答：當藥店將口罩定價為每個5 元時，每天所獲利潤最大，最大利潤為900元。

（4）W-100=-100x2+1000x-1600-100。

∵-100x2+1000x-1600-100≥700，

∴x2-10x+24≤0，

∴（x-4）（x-6）≤0。

∴4≤x≤6。

或如圖2所示：

令y′=x2-10x+24，

∵x2-10x+24≤0，

∴y′≤0，由圖可得4≤x≤6。

答：該口罩售價的范圍是4≤x≤6。

【點評】本題考查了二次函數在銷售方面的應用及二次函數與方程、不等式之間的聯系。理清題中的數量關系并明確二次函數的表達式與相關性質是解決問題的關鍵。

利用二次函數建立數學模型來解決實際問題，用數學思維來分析實際問題，才是真正搭建了數學與生活的橋梁。