探討動態幾何壓軸題

文 胡海洋

點動、線動、面動構成的問題稱為幾何動態問題，也一直是中考壓軸題命題的熱點。這類問題的特征是，以運動中的幾何圖形為載體構建成綜合題，把幾何、三角、函數、方程等知識集于一身，題型新穎，綜合性強，能力要求高。遇到這類問題，要把握好一般與特殊的關系；在分析過程中，要特別關注圖形的特殊性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置）。如何準確、快速地解決此類問題呢？關鍵是把握解決此類題型的規律與方法——以靜制動。

例題（2018·江蘇宿遷）如圖1，在邊長為1 的正方形ABCD 中，動點E、F 分別在邊AB、CD上。將正方形ABCD 沿直線EF折疊，使點B的對應點M 始終落在邊AD 上（點M 不與點A、D 重合），點C 落在點N 處，MN 與CD 交于點P，設BE=x。

（2）隨著點M 在邊AD 上位置的變化，△PDM 的周長是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；

（3）設四邊形BEFC 的面積為S，求S 與x之間的函數表達式，并求出S的最小值。

【解析】（1）由折疊性質可知BE=ME=x，結合已知條件知AE=1-x，在Rt△AME 中，根據勾股定理，得，解得

（2）△PDM的周長不變，為定值2。

方法一：連接BM、BP，過點B 作BH⊥MN，如圖2。根據折疊性質知BE=ME，由等邊對等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM≌Rt△HBM，根據全等三角形的性質，得AM=HM，AB=HB=BC，又根據全等三角形的判定HL 得Rt△BHP≌Rt△BCP，根據全等三角形的性質，得HP=CP，由三角形周長和等量代換即可得出△PDM周長為定值2。

方法二：設AM=a，由EM2=AE2+AM2，得x2=（1-x）2+a2，∴a2=2x-1。

由△AEM∽△DMP，得

（3）方法一：過點F 作FQ⊥AB，垂足為Q，連接BM。由折疊性質可知∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE，據全等三角形的性質，得AM=QE。設AM 長為a，在Rt△AEM 中，根據勾股定 理，得（1-x）2+a2=x2，從 而 得AM=QE=，BQ=CF=x-，根據梯形的面積公式代入即可得出S 與x 之間的函數表達式。又由（1-x）2+a2=x2，得=BE，BQ=-a（0＜a＜1），代入梯形面積公式即可轉為關于a 的二次函數，配方從而求得S 的最小值。

方法二：設AM=a，MD=1-a，由勾股定理，得a2=2x-1。利用△AEM∽△DMP∽△NFP得比例式，求出FN。由FC=FN 得BE）·BC，表示成關于a的函數表達式求解。

方法三：連接FM、BM、BF。由折疊性質知EF垂直平分BM，則FM=BF。

∴y2+1=（1-y）2+（1-a）2，則

圖形運動問題一般與圖形變換相結合。圖形在運動過程中只是位置發生變化，大小、形狀一般不變，因此我們在解答這類問題時往往可以運用平移、旋轉、對稱、平行、全等、等腰三角形等知識。本題考查了折疊的性質、勾股定理、三角形全等、相似三角形、二次函數等知識點，綜合性較強，特別是第（3）問的解題思路，看似清晰，處理起來卻很困難且比較復雜。計算量大，即對計算技巧要求很高，因此處理復雜問題也是我們必備的能力。