城市軌道交通列車追蹤間隔與牽引能耗優化

高 豪，郭 進，張亞東

(西南交通大學信息科學與技術學院，成都611756)

0 引 言

隨著城市軌道交通大量新建線路投入網絡化運營，我國軌道交通客運量增長明顯，北京、上海兩市日均客運量均已超過1 000萬人.為滿足日益增長的客運需求，以基于通信的列車運行控制(Communication Based Train Control,CBTC)為代表的移動閉塞系統取代了傳統固定閉塞系統，并得到廣泛應用.利用高精度列車定位、雙向大容量車地無線通信等新興技術，CBTC系統可以進一步提升高峰小時線路通過能力.據資料統計，2019年全國城市軌道交通高峰小時最小發車間隔平均為290 s，進入120 s 以內的線路共12 條.同線路能力一樣，列車牽引能耗是制約城市軌道交通可持續發展的關鍵因素.面向高峰小時多列車密集追蹤的運行場景，能耗問題尤為突出.在保證列車安全、正點運行前提下，通過調整列車操縱策略，進一步壓縮行車間隔并減少牽引能耗，可有效提升城市軌道交通服務水平和經濟效益.

針對多列車運行操縱優化問題，國內外學者開展了廣泛討論.Wang[1]面向固定閉塞和移動閉塞系統下的列車追蹤運行場景，以最小追蹤間隔為約束條件，研究列車運行受擾后的多列車節能操縱優化問題.Ye[2]考慮快慢車越行場景下的列車安全追蹤及正點運行約束，通過構建多階段優化控制模型求解多列車節能操縱最優策略.進一步地，柏赟[3]考慮追蹤間隔要求和再生制動能利用，研究以列車凈能耗最少為目標的快慢車線路列車協同操縱優化問題.Wang[4]在確保列車運行滿足最小追蹤間隔的前提下，通過調整各列車的站間運行時間來最大化多列車追蹤優化的節能效果.以上文獻將最小追蹤間隔作為約束條件，研究不同場景下多列車節能駕駛優化問題.優化后的列車運行間隔發生改變，但線路能力并未得到本質提升.

Takeuchi[5]將最小追蹤間隔作為衡量線路能力的性能指標，分析列車運行速度對最小追蹤間隔的影響.陳榮武[6]通過調整車站限速區域及限速值壓縮了近6.3%的列車最小追蹤間隔.Nakamura[7]指出列車采用多級制動的進站操縱策略可有效壓縮最小追蹤間隔，并利用遺傳算法優化列車進站操縱策略.上述文獻將最小追蹤間隔作為優化目標，通過調整列車操縱策略提升線路通過能力，卻忽略了操縱策略改變帶來的牽引能耗增加問題.

針對高峰小時地鐵列車密集追蹤運行的特點，本文同時將降低列車牽引能耗和縮短最小追蹤間隔作為優化目標，通過優化列車操縱策略實現列車節能駕駛并提升線路通過能力.首先給出移動閉塞條件下列車牽引能耗和最小追蹤間隔的計算方式，在此基礎上考慮列車正點運行和線路限速約束，構建雙目標優化模型；引入ε-約束法將模型轉為單目標形式，并利用動態規劃方法作進一步求解.

1 列車運行性能指標

1.1 列車牽引能耗

對運行過程中的列車進行受力分析，構建基于單質點的列車運動學計算模型，即

式中：M為列車質量；x為列車位置；v(x)為列車速度；α為回轉系數；u(x)為列車牽引制動力；r(x)為列車運行阻力，包括基本阻力rb(x)和和附加阻力r1(x)；rb(x)由戴維斯方程來表示，其系數a、b及c根據列車型號而定；r1(x)包括坡道附加阻力rg(x)、曲線附加阻力rc(x)和隧道附加阻力rt(x).

列車以操縱策略U={u(x)|umin(x)≤u(x)≤umax(x),x∈[0,X]} 在線路上追蹤運行，其中，umax(x)和umin(x)分別為列車保證乘客安全、舒適條件下的最大牽引力和最大制動力，X為列車站間運行距離.列車執行U后的牽引能耗E(U) 和運行時間T(U)為

1.2 最小追蹤間隔

線路通過能力體現為列車追蹤運行過程中最小追蹤間隔的倒數[5]，取決于列車在線路最受限制點處的最小安全追蹤距離及通過該距離的運行速度[6].移動閉塞系統中，相鄰列車的間隔距離必須始終大于最小安全追蹤距離.現有CBTC系統均采用不考慮先行列車速度的“硬撞墻”模型來計算最小安全追蹤距離，即

式中：Smin(xa)為列車在位置xa處的最小安全追蹤距離；Lreact(xa)為列車在反應時間Treact內的走行距離；Leb(xa) 為列車緊急制動距離；aeb為緊急制動率；Lsm為安全余量；Ltrain為列車車長.為簡化計算，假設Treact、aeb、Lsm和Ltrain為固定值.

根據列車在通過最小安全追蹤距離期間是否停靠站臺，將最小追蹤間隔的計算分為區間和車站兩種模式.圖1為區間最小追蹤間隔示意，相鄰兩車以最小安全追蹤距離為間隔分別運行至xa和xa+Smin(xa)處，其中，xa+Smin(xa)＜xS，xS為站臺位置.相鄰列車沿圖中實線所示的運行軌跡連續經過xa的最小時間間隔Hmin(xa)為

圖1 區間最小追蹤間隔Fig.1 Minimum headway of interstation

地鐵車站一般不設配線，列車到達車站后需在正線上完成停站作業，且同一時間只允許1列列車進行停站作業.車站最小追蹤間隔的計算不考慮存在多配線條件下的列車到達、到通、出發、發通等間隔，如圖2所示.相鄰兩車分別運行至xa和xa+Smin(xa)處，其中，xa+Smin(xa)≥xS，列車通過Smin(xa)期間需經歷減速進站、停車和加速出站過程.因此，相鄰列車連續經過xa的最小時間間隔Hmin(xa)為

式中：Tin(xa)、Tout(xa)分別為列車進站、出站運行時間；Tdwell為停站時間.

淄博市農村飲水安全工程建設管理現狀調查與分析………………………………… 呂曉坤，韓克泉，李 忠(17.17）

圖2 車站區域最小追蹤間隔Fig.2 Minimum headway of station area

對于任意位置xa，Hmin(xa)取決于Smin(xa)和通過Smin(xa)的列車運行速度.由式(7)～式(9)可知，Smin(xa)取決于v(xa)和xa以前的列車操縱策略有關，通過Smin(xa)的列車運行速度和xa以后的列車操縱策略有關.因此，操縱策略決定了列車追蹤運行過程中可實現的最小追蹤間隔.全線列車執行相同U在線路上追蹤運行，可實現的最小追蹤間隔H(U)為列車連續通過最受限制點的最小時間間隔，即

2 列車運行性能優化

2.1 問題描述

列車站間運行時間由運行圖預先給定，理論上存在無數種操縱策略保證列車安全、正點運行.面向高峰小時地鐵列車密集追蹤的運行場景，將其中可實現追蹤間隔最小且牽引能耗最小的操縱策略作為最優操縱策略.

Takeuchi[5]對最小追蹤間隔計算進行了靈敏度分析，結果表明，增大列車牽引/制動加速度可有效壓縮最小追蹤間隔.Liu[8]利用極大值原理推導出連續控制條件下的列車節能駕駛最優控制應包括最大牽引、巡航、惰行和最大制動.上述文獻表明，列車最大牽引和最大制動是實現節能駕駛和高效追蹤的必要控制條件.因此，本文選擇最大牽引、巡航、惰行和最大制動組成列車最優操縱策略的4種控制變量，目標問題轉化為尋找這些控制變量之間的組合順序及其對應的轉換點.

本文假設列車裝備自動駕駛系統，能夠在線路任意位置實現巡航控制.因現有地鐵系統并未完全裝備再生制動設備，為不失一般性，再生制動能不在本文考慮范圍內.

2.2 優化模型

將U作為決策變量，將minE(U)和minH(U)作為優化目標，設置列車安全、正點運行約束條件，構建雙目標優化模型為

式中：Vlimit(x)為線路限速條件；Tset為指定站間運行時間.

2.3 模型求解

構建雙目標優化模型旨在降低列車牽引能耗的同時壓縮列車最小追蹤間隔，期望得到一組準確的Pareto最優解以體現兩目標之間的均衡，采用基于動態規劃方法的精確算法求解式(15).由于最小追蹤間隔指標在動態規劃逐段遞推過程中并不嚴格單調，不具備動態規劃方法所需的“無后效性”，引入ε-約束法將其轉化為約束條件，并將式(15)轉化為單目標優化模型，并以Δε為間隔由小到大調整ε參數值后多次利用動態規劃方法進行求解.

圖3 模型階段狀態劃分示意圖Fig.3 Stages and vertices of optimization model

列車在k階段運行時固定采用最大牽引、巡航、惰行和最大制動中的一種工況，將其簡記為uk，列車在相鄰階段的最優控制工況切換還應滿足圖4所示的接續條件.

圖4 列車控制接續約束Fig.4 Train regime switching constraint

列車在k階段sk,i處施加uk后運行至k+1 階段(xk+1,v′)處，(xk+1,v′)有可能不屬于已劃分的開始狀態集，需要對其進行近似處理并修正至sk+1,j處，其中，將上述狀態轉移過程簡寫為

列車在sk,i處施加uk階段牽引能耗e(sk,i,uk) 和運行時間t(

sk,i,uk) 計算為

為獲取式(16)在ε參數下的最優操縱策略，采用后向動態規劃的求解方式，從sK+1,0開始逐段向前推進尋找列車在各階段的最優控制決策直至s1,0.對于階段k，將列車從sk,i運行至sK+1,0的操縱子策略記為，其對應的牽引能耗和運行時間分別為和，下面建立評價最優性的過程指標函數.

將列車從s1,0運行至sk,i處的操縱子策略記為，其對應的牽引能耗及運行時間分別記為和因此，式(16)的優化目標minE(U)可拆解為和在后向動態規劃求解過程中，無法直接求解得到.列車牽引能耗與運行時間在節能操縱條件下呈反比關系，故等效于因，故等效于因此，評價最優性的過程指標函數為

對應的最小追蹤間隔應滿足ε約束，即

應滿足準點運行約束為

特別的，列車在s1,0和sK+1,0的準點約束條件為

圖5 Tmin[U ()]和Tmax[U ()]計算原理Fig.5 Calculation principle of Tmin[U ()]and Tmax[U ()]

由于存在2 個沖突的過程指標，即式(20)和式(21)，列車從sk,i處運行至sK+1,0的最優操縱子策略應為一組Pareto解，記為，其中，為sk,i處的第w個最優子策略.動態規劃方法從sK+1,0開始逐段向前推進，求解各階段各狀態點的Pareto最優子操縱策略集直至起點s1,0.由于準點運行式(24)的限制，s1,0處的最優操縱策略有且只有一個，為式(16)在ε參數下的最優解，即

式(16)的具體求解步驟描述如下：

Step 1 讀入線路數據及列車參數并計算

，設定模型參數Δx、Δv和ε，劃分離散狀態集合{sk,i}，設定邊界條件，令k=K，完成模型求解初始化.

Step 2 對于k階段所有的sk,i，遍歷4種最優控制工況uk，獲取k+1 階段F(sk,i,uk)處的最優子策略集在滿足式(22)和式(23)的條件下，將uk加入生成sk,i處的可行子策略集

3 算例分析

基于C++開發優化程序，以北京地鐵亦莊線為算例，選擇文獻[2]中線路數據和車輛參數，在此基礎上進一步設定，aeb=-1.0 m/s2、Lsm=30 m、Ltrain=90 m、Treact=0.5 s 和Tdwell=30 s.根據“計算時間—優化效益可接受原則”設置模型參數如下：Δx=10 m、Δv=1 km/h 和Δε=0.1，模型參數決定模型的求解精度和求解效率，間隔越小，模型求解精度越高且求解效率越低.以第7 區間“萬源街—榮京東”為例：首先，令ε=0，不斷迭代計算ε=ε+Δε后的式(16)直至獲取第1個有效解，該解即為能夠實現理論最小追蹤間隔的操縱策略，令εmin=H()；其次，將ε設置為一個較大的正值后對式(16)進行求解，所得解即為只考慮節能目標的最優操縱策略，令εmax=H()；最后，以Δε為間隔在[εmin,εmax]內由小到大調整ε參數值，多次求解式(16)，獲得一組Pareto最優解，如圖6所示.

圖6 列車最優操縱Pareto 解Fig.6 Pareto solution of optimum driving strategy

選取ε=70 條件下的最優操縱策略，對比、和這3 種策略下的v(x)及其對應的Hmin(x)，如圖7所示.條件下列車從起點開始最大牽引至A1，然后以惰行和巡航的組合方式運行至B1，最后施加最大制動至終點；列車從C1開始進入車站追蹤模式，Hmin(x)發生躍變；的性能指標分別為=9.8 kW?h，=77.2 s.條件下列車最大牽引至A2，惰行并巡航至后開始施加第1 次最大制動至C2，然后惰行至B2后施加第2次最大制動至終點；由于提前制動，列車在C2處才進入車站追蹤模式，其性能指標為=10.7 kW·h，=70.0 s.同一樣，在處提前制動，采用兩次制動的進站模式分別經過了A3--C3-B3點，列車自C3開始進入車站追蹤模式，性能指標為=13.0 kW·h，=67.1 s.相較于，和在進站過程中執行兩次制動策略，壓縮了列車最小追蹤間隔，為彌補兩次制動進站過程中額外消耗的運行時間，和提升了進站以前的運行速度，額外增加了牽引能耗.

圖7 、 和 的列車運行軌跡及最小時間間隔Fig.7 Train trajectory and minimum time separation of, and

列車進站操縱策略變化本質上影響的是車站追蹤模式下Tin(x)和Tout(x)，從而改變Hmin(x).、和策略下的Tin(x)和Tout(x)隨v(x)的變化趨勢如圖8所示.上述操縱策略在車站追蹤模式下的運行過程均包含1 次惰行和1 次最大制動.隨著列車向終點運行，3 種操縱策略對應的Tout(x)從0開始遞增并分別在列車進站的制動初始點B1、B2和B3處達到極大值，Tin(x)呈遞減趨勢并在終點處減為0.由于不同操縱策略下Tin(x)和Tout(x)存在差異，條件下的Hmin(x)呈先增后減趨勢，在B1處達到極大值；和條件下，Hmin(x)分別在C2和C3處達到極大值.

圖8 車站追蹤模式下列車運行軌跡及相關時間間隔Fig.8 Train trajectory and related time separation under station tracking mode

計算全線13 個站間的最優操縱Pareto 解，選取各站間的與進行比較，如表1所示.與相比，列車在下的全線通行能力提升了17.0%，牽引總能耗增加了19.3%.各站間的均采用兩次制動的進站策略且第2次制動的進站初速度都為23.0 km/h，各站間的最小追蹤間隔均達到約67 s 的極小值.各站間的都采用一次制動進站策略，其最小追蹤間隔的大小與列車進站制動初速度正相關.不失一般性，圖9以第2 區間和第4 區間為例，描繪和策略下v(x)和Hmin(x)來進一步印證上述結論.

表1 列車操縱策略優化結果Table 1 Optimaziton results of driving strategy

圖9 和的列車運行軌跡及最小時間間隔Fig.9 Train trajectory and minimu time separation of 和

4 結 論

列車操縱策略決定了列車在線路上運行的牽引能耗和可實現的最小追蹤間隔.列車采用兩次制動的進站策略可以有效壓縮最小追蹤間隔，但需要消耗更多的牽引能耗.列車最小追蹤間隔和進站制動初速度正相關且存在極小值.相較于只考慮節能目標的最優操縱策略，追蹤間隔壓縮后的最優操縱策略最多可提升17.0%的線路通過能力，同時也增加了19.3%的牽引能耗.運營商可權衡地鐵高峰小時服務水平和運營成本的實際需求，利用本文方法獲得列車追蹤運行最優操縱策略，具有一定實際意義.隨著再生制動設備在城市軌道交通系統的應用普及，考慮再生制動能利用的列車運行能耗和追蹤間隔多目標優化問題有待進一步討論.