高速列車運行調整與運行控制一體化雙目標優化模型與算法

龍思慧，孟令云*，王義惠，欒曉潔，張 鵬

(1.北京交通大學a.交通運輸學院，b.軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京100044；2.蘇黎世聯邦理工學院運輸規劃與系統研究系，蘇黎世8093，瑞士；3.卡斯柯信號有限公司國鐵運輸指揮系統開發部，上海200071)

0 引 言

高速鐵路快速、準點、受天氣影響小的特點使其成為旅客中長距離出行的首選交通方式.目前，列車發生延誤后主要依賴調度員和司機的人工經驗調度和控制列車運行，運行調整與運行控制各自獨立優化，難以做到兩者均優.因此，靈活高效的列車運行調整與運行控制一體化優化技術在高速鐵路運營管理中的需求日益凸顯[1].

近年來，運行調整和控制相互結合的趨勢愈發明顯，兩者緊密結合不僅可以得到運行調整和控制均較優的解，還可以提高計劃的可實施性，有效減少列車延誤時間及運行能耗.將兩者結合的方法主要包括兩大類，一類是建立兩者獨立優化模型，通過模型解的反饋將列車運行調整與列車運行控制進行分步優化.Albrecht 等[2]固定列車運行調整策略，模型較多地關注于列車能耗的利用效率.Mazzarello等[3]提出雙反饋回路優化結構，將優化的列車運行調整解反饋給列車運行控制模型，并進行循環迭代以提高解的質量.Caimi等[4]在每個決策中均考慮列車路徑和速度曲線，列車在有限的備選集中選擇相應的列車時刻表和速度曲線.然而，列車運行調整問題一般旨在最小化列車延誤時間，運行控制問題則期望列車能耗最小，前者的最優解偏向于列車以較高速度運行，而后者傾向于較低的運行速度，兩個優化模型分開建立，就需要對兩個模型的目標進行權衡，難以保證運行調整與控制解的全局最優，可能產生不必要的延誤或能耗.

另一類是一體化優化列車運行調整與運行控制.曾壹等[5]提出列車節能—晚點恢復模型，在降低列車牽引能耗的同時減少晚點時間.Xu 等[6]以最小化列車總延誤為目標，考慮5 個速度等級，建立干擾條件下高速鐵路運行圖實時調整和列車速度等級選擇的一體優化模型.Luan 等[7-8]提出通過優化列車加減速，實現對普速鐵路運行圖的調整優化，構建運行調整和列控一體化數學模型.但上述研究對列車運行控制優化做了較多簡化：Xu等[6]僅對列車速度等級進行選擇優化，未考慮列車牽引計算及速度曲線優化；Luan 等[7-8]主要針對普速鐵路，離散化處理了列車速度，普速鐵路與高速鐵路在列車運行速度、列車開行密度、運行控制精度等方面均有所區別，而高速鐵路的高速度、高密度、高精度帶來模型構建、求解困難.此外，兩者解空間耦合困難，以及列車速度約束的非線性也為一體化模型的建立及求解帶來較大難度.為進一步提高調整計劃的精細度及解的全局優化性，在降低延誤的同時減少列車運行能耗，需要對兩者一體化建模進行更深入的研究.

本文提出高速列車運行調整與運行控制雙目標一體化優化模型，以降低列車總延誤時間與運行能耗為目標；模型運用鎖閉時間(Blocking Time)理論對列車運行調整與運行控制解空間進行耦合，同時基于列車牽引計算，優化列車速度距離與時間距離曲線.為求解復雜的非線性優化模型，設計分段近似法對非線性約束進行重構，將模型中非線性約束條件部分進行線性化以求問題最優解.

1 問題描述

1.1 列車運行動力學方程

高速列車運行動力學方程是一體優化運行調整與運行控制的基礎.高速列車在運行中受到的力包括：牽引力/制動力FTB、基本阻力WB、附加阻力WE等，單位均為N，根據牛頓第二定律，列車運行過程中牽引力、阻力及制動力的關系為

式中：m為列車質量(kg)；γ為列車回轉系數；a為列車加速度(m/s2).

根據列車受力與牛頓動力學定律，列車從初速度v0增速/減速至速度v(單位為m/s)，列車運行加速度、速度、時間變化φtime及位置變化φdistance(單位為m)的關系為

1.2 鎖閉時間理論

精細化利用行車資源是指將區間和車站進路以軌道區段為基本行車資源，根據列車運行速度、制動性能、信號系統的清空與開放時間、軌道區段/閉塞分區的長度等因素對不同列車占用不同軌道區段/閉塞分區的時間進行精細化計算，在保證行車安全的基礎上，實現行車資源的精細化運用[9-10].

圖1為列車鎖閉時間示意圖，鎖閉時間TB包含進路建立時間tsetup、反應時間treaction、接近時間tapproach、運行時間trun、出清時間tclear、進路解鎖時間trelease這6個時間要素，可表示為

式中：tsetup、treaction、trelease均為固定參數，tapproach、trun、tclear的計算與列車實時運行狀態及軌道區段/閉塞分區的長度有關，這3個時間要素將在優化模型中進行分析.

圖1 鎖閉時間示意圖Fig.1 Blocking time of a block section

2 模型構建

2.1 符號定義

表1和表2分別給出模型輸入參數、決策變量的符號與定義.

2.2 數學優化模型

(1)目標函數.

表1 輸入參數Table 1 Input parameters

表2 決策變量Table 2 Decision variables

高速列車運行調整與運行控制一體優化需綜合考慮宏觀層面與微觀層面的運行控制目標，式(5)表示最小化列車延誤時間Zdelay和列車運行能耗Zenergy，式(6)為所有列車到達終點站的偏離(延誤)時間，其中，df,i,sf表示列車f實際到達終點站的時刻；式(7)為所有列車運行能耗，其中能耗由牽引力和位移的乘積求得.

(2)約束條件.

式(8)和式(9)分別表示列車在起點和終點的速度為0，其中，vf,of,j,1和vf,i,sf,n+1分別表示列車f在起點和終點的速度；式(10)表示列車在運行過程中速度不能超過在閉塞區間的運行限速；式(11)為兩個相鄰閉塞分區速度連續性約束；式(12)表示列車運行加速度、速度，以及位置變化的關系；式(13)采用加速度沖擊率對加速度變化進行約束，以保證旅客舒適度；式(14)表示列車運行位置變化、速度，以及時間變化的關系；式(15)為列車加速度的上下限約束；式(16)～式(18)分別表示列車牽引力/制動力、基本阻力、附加阻力的計算；式(19)為列車在相鄰閉塞區間運行的時間連續性約束；式(20)為列車在每個閉塞分區的到發時間約束；式(21)為列車從起點站出發時間約束；式(22)表示若列車在閉塞分區(i,j)停站，列車在該閉塞分區結束點的速度為0；式(23)～式(25)分別為軌道區段鎖閉時間中接近時間、運行時間、出清時間3個時間要素的計算；式(26)為列車占用閉塞分區開始與列車到達的安全間隔；式(27)為列車離開閉塞分區與解除占用閉塞分區的安全間隔；式(28)和式(29)分別表示列車開始占用、解除占用閉塞分區的時刻；式(30)和式(31)表示相鄰列車運行順序及占用閉塞分區的先后約束.

3 求解算法

模型中二次項的存在使式(12)和式(17)成為非線性約束，實數乘以實數項?使式(14)也為非線性.為將優化模型中非線性約束條件線性化，設計分段近似方法以重構非線性約束項.

(1)對二次項進行線性化.

線性化模型中二次項，引入變量yf,i,j,k=，引入邏輯變量δx,f,i,j,k表示曲線分段線段在X-軸所占的比例，m表示對曲線進行分段的數量，x為子線段的索引，具體方法為

最后，引入0-1 變量ηx,f,i,j,k表示條件式δx,f,i,j,k＞0 ?ηx,f,i,j,k=1，其中，ηx,f,i,j,k和δx,f,i,j,k應滿足式(34)～式(38)的約束.

(2)對實數乘以實數項進行線性化.

Step 1 將式(14)表示為

Step 2 引入0-1變量?1,f,i,j,k和?2,f,i,j,k，使其滿足

Step 3 運用二次項線性化方法，如式(32)～式(38)，將所含二次項進行線性化.

4 模擬計算與結果分析

以一段長度為55 330 m的高速鐵路線路作為算例，線路曲線及坡度信息如圖2所示.算例對8列列車進行調整，8 列列車的初始延誤時間分別為1 920，1 980，2 100，3 060，2 220，3 000，3 480，2 400 s.列車1、2、5、8 由動車組CRH5 擔當，列車3、4、6、7 由動車組CRH380 擔當，兩種動車組的參數如表3所示，動車組最大加速度沖擊率均為0.5 m/s3.本文取n=3 以保證模型求解速度與解的精度.本文在處理器為Intel(R)Core(TM)i7-8550U CPU@1.80 GHz 2.00 GHz，內存為8.00 GB的筆記本電腦上使用Cplex 軟件編程求解混合整數規劃模型，所有最優解均能在120 s內求得.

使用線性加權及epsilon-約束方法求解雙目標模型，兩種方法獲取帕累托解共20個，帕累托解集如圖3所示.所得帕累托解集可以為調度員提供一定的決策輔助支持：若調度員趨向于較少延誤時間，則傾向于選擇帕累托解1～3 之間的最優解；若調度員傾向于節能運行，則傾向于選擇帕累托解3～2之間的最優解.

圖2 線路曲線及坡道信息Fig.2 Grade profile and curve radius of line

表3 動車組參數Table 3 Parameters of EMUs

圖3 帕累托曲線Fig.3 Pareto curve

圖4和圖5分別對比了不同帕累托解下的列車速度—距離曲線，列車時間—距離曲線.相對于帕累托解1，帕累托解3 在節能方面取得了較好的效果，在增加延誤時間1.3%的前提下，節約能耗20%.從圖4可以看出，帕累托解1的列車運行速度整體大于帕累托解3，故解1 的列車延誤時間小于解3，但解1的能耗較大.圖5中：解1和解3對于某些列車基本是重合的，比如列車1和列車5，這與圖4速度—距離曲線的變化趨勢相一致；對于其他列車，解3的時間—距離曲線及相應的鎖閉時間塊位于解1的右邊，這是因為解3的列車延誤時間大于解1.由于初始延誤較大，所有列車均需要趕點.從圖5可以看出，列車運行順序發生了改變，具體來說，列車5與列車4發車順序發生了改變，列車8在列車6和列車7之前發車，這主要是列車初始延誤的大小不一導致的.

圖4 列車速度距離曲線(帕累托解1 和3)Fig.4 Train speed distance curve(Pareto solutions 1 and 3)

圖5 基于軌道區段鎖閉時間的列車時間距離曲線Fig.5 Train time distance curve based on blocking time(Pareto solutions 1 and 3)

對比本文雙目標運行調整和運行控制一體優化方法與單目標優化方法，驗證本文所提方法的優化性.選取帕累托曲線的兩個極值帕累托解與單一考慮最小化總延誤時間和最小化總能耗的單目標優化結果進行對比，如表4所示.

表4 雙目標一體優化方法與單目標優化方法對比Table 4 Comparison of bi-objective integrated and single-objective optimization methods

由表4可知，在總延誤時間一樣的情況下(15 933s)，雙目標一體優化方法較單目標方法減少2.46%的列車運行總能耗；在總能耗一樣的情況下(28 724 kWh)，相比于單目標優化方法，雙目標優化方法減少7.33%的總延誤時間.由此可見，運用本文雙目標一體優化方法，可以在降低延誤時間的同時降低列車運行能耗.

5 結 論

本文構建列車運行調整與運行控制雙目標一體優化模型，設計分段近似法將模型中的非線性約束轉化為線性約束以便求解.主要得到以下結論：通過運行調整與運行控制一體優化后，總延誤時間降低7.33%，總能耗降低2.46%，該方法合理有效.本文有效提升高速鐵路在擾動下快速恢復正常運行秩序的能力，并為駕駛員節能駕駛提供了參考.本文路網規模相對較小，下一步研究快速求解算法，以適應更大規模的路網.