基于擾動傳播特征的隨機Newell跟馳模型

張建波，朱遠祺，孫建平

(1.北京交通發展研究院城市交通運行仿真與決策支持北京市重點實驗室城市交通北京市國際科技合作基地，北京100073；2.深圳市城市交通規劃設計研究中心股份有限公司，廣東深圳518000)

0 引 言

機動車跟馳行為分析與建模是當前微觀交通仿真的關鍵研究內容之一.一方面，跟馳行為隨機特征是影響道路交通狀態的重要因素，與交通狀態演化規律密切相關.作為聯系微觀駕駛行為與宏觀交通狀態演化的關鍵參數，交通擾動傳播特征在交通流陡降(Breakdown)、寬移動阻塞(Wide Moving Jam)和擁堵蔓延消散規律分析等方面均具有重要作用.但當前研究在跟馳行為隨機特征(如車頭時距的概率分布)，擾動傳播速度和交通狀態演化(如交通流陡降)三者間的量化聯系方面仍比較匱乏.雖創造性地構建了車頭時距與擾動傳播特征的幾何關系，但原始Newell 模型在刻畫駕駛行為與擾動傳播的隨機特征關系方面能力明顯不足.相關針對隨機特征刻畫能力的改進研究往往忽視車頭時距與擾動傳播速度的量化聯系.另一方面，以北京為代表的國內城市道路交通具有典型的混合交通流特征，其駕駛行為易受各種因素影響.現有微觀駕駛行為研究往往因為缺乏本地化的實測軌跡數據而產生模型參數不適用的問題，無法準確刻畫國內道路環境下機動車駕駛行為特征[1].

近十余年，衛星定位技術、交通視頻和駕駛模擬等數據采集方法不斷完善，為微觀駕駛行為研究帶來了新機遇.美國聯邦公路管理局開展了NGSIM(Next Generation Simulation)項目，通過在高空架設攝像機采集道路交通視頻并提取車輛運行軌跡數據.Ossen 等[2]通過直升飛機從空中拍攝交通視頻以獲取機動車軌跡數據.以NGSIM 為代表的機動車軌跡數據不僅能反映運行車隊中機動車的相互作用，還能體現真實交通環境對駕駛行為的影響，為機動車微觀駕駛行為隨機特征研究提供有力的數據支撐.Lochrane等[3]通過數據分析發現，不同的道路交通條件顯著影響車頭時距的分布特征.Wagner[4]利用多源數據分析了跟馳行為參數的隨機特征，證明車頭間距統計參數與速度的顯著相關性.Ossen[5]將跟馳行為的隨機性分為駕駛員外部異質性和內部隨機性.Laval 等[6]將布朗運動引入跟馳模型刻畫駕駛行為隨機特征.

本文以北京市快速路為案例場景采集交通視頻，并提取小汽車運行軌跡數據；以此為基礎，分析本地化小汽車跟馳行為隨機特征并建立概率分布模型；為改進原模型對駕駛行為與擾動傳播隨機關系的刻畫能力，進一步提出基于擾動傳播特征的隨機Newell 跟馳模型，建立跟馳車頭時距與擾動傳播速度間的隨機聯系，以更好地支持交通狀態演化規律(如交通流陡降、擁堵蔓延消散)的研究.

1 數據采集與處理

1.1 視頻采集與軌跡提取

為獲得反映本地化駕駛環境特征的機動車跟馳軌跡數據，本文通過拍攝交通視頻提取車輛軌跡數據.視頻采集自北京市四環快速路紅領巾橋路段，在路側高層建筑上架設高清攝像機拍攝得到工作日2 h交通流視頻.視頻主要包括快速路主路北向南4車道約300 m范圍的交通流運行情況.如圖1所示，單車道車輛速度時空圖可以展現車隊的運行特征及擾動傳播過程(如圖1(b)中箭頭線所示).

圖1 視頻采集與單車道的車輛軌跡時空圖Fig.1 Video collection and spatial-temporal diagram of vehicle trajectories on single lane

車輛軌跡信息提取過程如下：首選，在視頻中標注車輛信息，利用機器學習方法訓練車輛識別模型，從而識別視頻畫面中的車輛；隨后，以快速路為基準建立坐標系，依據實測距離建立不同位置像素的距離轉換矩陣；最后，對視頻逐幀處理以識別并追蹤車輛的瞬時位置信息.如表1所示，最終獲得近5 000 余輛機動車的原始車輛位置信息40余萬條，時間粒度為0.2 s.通過差分方法獲得車輛橫向和縱向運動的瞬時速度和加速度等數據.

表1 車輛原始軌跡數據Table 1 Vehicle original trajectory data

1.2 軌跡數據質量控制

原始軌跡數據因存在隨機噪聲無法直接應用于駕駛行為的速度和加速度特征分析，需對原始數據進行清洗與濾波處理.本文以車隊一致性和內部一致性約束為基本原則，先對少量數據極值進行差值替換；再采用對稱指數平滑算法(Symmetric Exponential Moving Average Filter，SEMAF)[7]對軌跡數據進行濾波.對稱指數平滑算法以指數作為平滑核的權重因子對軌跡序列進行平滑加權處理，以消除高解析度軌跡序列的擾動誤差.

車輛n在ti時刻的位置數據點xn(ti) 位于平滑窗的中心，權重因子最大；其前后數據點的權重因子隨離中心點的距離增大而逐漸減小.平滑后的坐標位置(ti)為

式中：i表示離散時間標記，i∈{1,2,…,NN} 為位置數據總條數；k為平滑窗內離散時間標記；Z為對稱指數平滑的權重因子之和；T為平滑時長，即數據處理的時間長度，根據數據情況進行標定取值，本文經參數敏感性分析，確定橫向和縱向位移的平滑時長T分別為1.2 s 和1.4 s；Δ為根據平滑時間長度和數據采集時間粒度計算得到的平滑核寬度，表示平滑和內的數據點范圍；w為平滑窗寬度；Δt為軌跡提取的間隔時間.

如式(4)所示，設置平滑窗寬度w為平滑核寬度Δ的3倍，且平滑窗寬度在軌跡序列的前后邊界逐漸縮短，以保證軌跡點數量不足的邊界數據得到處理.

1.3 跟馳行為參數提取

通過軌跡數據篩選，提取有效小汽車跟馳行為數據約32 萬條.從中提取跟馳行為的車頭時距和反應時間等特征參數.

(1)車頭間距/時距.

提取車頭時距的同時，根據后車瞬時速度對車頭時距進行分類，即

式中：dn(t)、hn(t)分別表示車輛n在時刻t與跟馳前車的瞬時車頭間距(m)、車頭時距(s)；yn(t)表示車輛n在時刻t的縱向位置(m)；vn(t)表示車輛n在時刻t的縱向速度(m/s)；v表示車輛瞬時速度(m/s)；round(?)函數表示四舍五入保留整數；V表示跟馳后車的瞬時速度區間.

(2)反應時間與擾動傳播速度.

本文小汽車跟馳行為反應時間(Reaction Time)是指后車對前車擾動做出響應動作的延遲時間.相關研究普遍采用相關系數或回歸分析從軌跡數據中提取跟馳行為反應時間.但其前提是假設個體車輛的反應時間為定值，不隨交通狀態或駕駛員狀態變化.這與實際的跟馳行為特征存在差異.

本文采用文獻[8]中動態時間規整算法(Dynamic Time Warping，DTW)從軌跡中提取小汽車跟馳行為的反應時間和擾動傳播速度等特征參數.DTW算法是通過比較相似性將不同長度的兩個時間序列進行匹配處理的一種時間序列匹配算法，該特點恰好符合反應時間動態變化的隨機特征.設跟馳過程中前車速度、后車速度的時間序列分別為X={xm}、Y={yn}，其中，m=1,2,…,M，n=1,2,…,N分別表示前車、后車速度的離散時間編號(M和N分別表示前車、后車的軌跡數據條數).兩車速度時間序列中任意兩個時間點之間速度的費用函數為

則兩個速度時間序列的累積費用函數表示為

對應的感知反應時間τ和停車間距s可由匹配速度點的時間、縱向位置信息計算獲得，即

式中：tn、tm分別為xn、xm的對應時間(s).

該方法可根據軌跡變化特征動態匹配前后車的“反應點”，跟馳軌跡匹配示意結果如圖2所示.可以看到，后車對前車刺激的反應時間隨前車速度變化顯著變化.最后獲得小汽車跟馳行為反應時間、停車間距與擾動傳播速度等數據共4萬余條.

圖2 基于DTW 算法的軌跡匹配Fig.2 Trajectory matching based on DTW algorithm

2 跟馳行為隨機特征分析

2.1 車頭間距/時距

按式(7)以1 m/s為間隔劃分速度區間，統計不同速度區間下跟馳行為車頭間距特征.如圖3(a)所示：隨小汽車跟馳速度升高，車頭間距平均值和標準差均逐漸增大；速度越高，跟馳中車頭間距的波動性越大.圖3(b)為部分速度區間下車頭時距分布的擬合結果.分析結果表明，分速度區間的車頭時距/間距分布可以用對數正態分布進行有效擬合，擬合參數如表2所示.

圖3 不同速度區間下跟馳參數統計Fig.3 Statistics of car-following parameters under different speed intervals

2.2 反應時間與擾動傳播速度

反應時間體現跟馳車輛對前車刺激的響應延遲，是影響駕駛行為特征和交通狀態穩定的重要因素.圖4中小汽車跟馳反應時間τ、擾動傳播速度w和停車間距s均呈對數正態分布，其擬合結果為

表2 不同速度區間下車頭間距/時距的對數正態分布擬合參數Table 2 Fitting parameters of lognormal distribution of spacing/time headway under different speed intervals

圖4 反應時間與擾動傳播速度分布Fig.4 Distributions of reaction time and disturbance propagation speed

小汽車反應時間分布峰值與數學期望分別為1.0 s和1.57 s；擾動傳播速度的分布峰值與數學期望分別為4.0 m/s和6.78 m/s；停車間距的分布峰值與數學期望分別為6.5 m和9.16 m.

3 基于擾動傳播的隨機Newell跟馳模型

構建基于擾動傳播特征的隨機Newell跟馳模型，并從交通擾動特征刻畫與交通流參數特征等角度對模型效果進行分析.

3.1 改進的隨機Newell跟馳模型

(1)Newell跟馳模型.

Newell 跟馳模型[9]因建立跟馳行為特征參數與擾動傳播特征的量化聯系，被廣泛應用于駕駛行為和交通狀態關系研究.Newell模型中車頭間距為

式中：dn為車輛n與前車的車頭間距(m)；vn為車輛n的速度(m/s)；τn為車輛n的反應時間(s)；sn為停車間距(m)；wn為擾動傳播速度(m/s).

Newell跟馳模型假定車頭間距d和車速v(不超過自由流速度vf)呈線性關系，如圖5(a)所示.對于同一個后車，τ和d是固定常量.但數據表明，即使是同一駕駛員，其反應時間τ也是隨時間不斷動態變化的.如圖5(b)所示，當前車發生時長為tr、速度為vr的擾動并恢復正常行駛后，會先后產生減速點D0和加速點A0，其擾動的減速和加速過程分別經歷后車的減速反應時間τD和加速反應時間τA的延遲后向上游傳播.反應時間的變化不僅影響跟馳車輛的車頭時距變化，也影響擾動傳播的速度特征.

(2)改進的隨機Newell跟馳模型.

如圖6所示，在前車擾動發生前、后速度v0、vr和后車到達時距h0確定的情況下，后車反應時間(τA和τB)越小，擾動的傳播速度越快，對應速度變化后的車頭時距(hA和hB)也越大.由幾何關系可以推導反應時間τ和擾動發生前、后速度v0、vr，擾動發生前后車頭時距h0、hr，及擾動傳播速度w之間的量化關系為

圖5 Newell 跟馳模型與擾動傳播過程Fig.5 Newell car-following model and disturbance propagation diagram

圖6 反應時間、擾動傳播速度和車頭時距的關系Fig.6 Relationship among reaction time,disturbance propagation speed and time headway

基于上述關系，將式(17)和擾動傳播速度隨車速的變化特征引入Newell 跟馳模型框架中，得到能夠刻畫擾動隨機特征的隨機Newell 跟馳模型.此處省略時間參數t，新模型簡寫為

式中：dk、vk分別為跟馳車輛第k次速度擾動后的車頭間距(m)、速度(m/s)；τk、sk、wk分別為跟馳車輛第k次擾動中的反應時間(s)、停車間距(m)、擾動傳播速度(m/s)；dk-1、vk-1分別為跟馳車輛第k次速度擾動前的車頭間距(m)、速度(m/s)；u(vk)、σ(vk)分別為速度vk下的交通擾動傳播速度所服從的對數正態分布的均值、標準差參數.

針對自由駕駛階段，假設駕駛員在自由行駛中所執行的自由流速度為vf，則改進Newell 跟馳模型的車輛位置為

式中：yn(t) 表示車輛n在時刻t的位置(m)；τk為車輛擾動的反應時間(s)；sk為車輛擾動的停車間距(m).式(22)第1 項為自由流狀態的位置，第2 項為擁堵狀態的車輛位置.

改進方法在保持反應時間、擾動傳播速度與車頭時距間量化關系的同時，保證反應時間τ始終大于0的同時小于速度擾動前后的車頭時距，符合其物理約束.引入隨車速變化的隨機擾動傳播速度w，不僅能更好地反映擾動與交通狀態(速度)的聯系；同時跟馳車輛的速度、反應時間和擾動后的車頭時距的隨機關系更為靈活.改進模型通過隨機擾動傳播速度量化確定了車頭時距和反應時間的對應關系.

分速度區間標定擾動傳播速度分布函數，結果如表3所示.如圖7所示，在不同速度區間下擾動傳播速度分布差異顯著.速度區間越大，擾動傳播速度的分布峰值越靠右，其期望均值和期望方差也更大.

表3 隨機Newell 模型參數標定結果Table 3 Parameters calibration results of stochastic Newell model

圖7 分速度區間的擾動傳播速度擬合Fig.7 Fitting curve of disturbance propagation speed under different speed intervals

3.2 模型效果驗證與分析

針對改進Newell 模型，仿真分析改進模型在擾動傳播特征刻畫與交通流參數生成方面的效果.圖8對比原始和改進Newell 跟馳模型對交通擾動的刻畫效果.可以看出：改進模型更好地體現了交通震蕩傳播的隨機性，擾動的加速波和減速波在向上游傳播過程中表現出波動性，可以有效刻畫擾動波的傳播、放大與消散過程.

設計隨機實驗量化分析模型：以表2車頭間距分布參數作為輸入，均勻隨機生成初始速度與擾動速度，應用改進Newell 模型生成速度擾動后的車頭間距，并在相同速度區間下與實測車頭間距分布情況進行對比，如圖9所示.

由圖9可知：在相同速度區間下，改進Newell跟馳模型生成的車頭間距分布與實測軌跡獲得的車頭間距分布具有較高的一致性；實測車頭間距分布相對更為離散，這是因為仿真未考慮換道等行為影響，仿真輸出的車頭時距相比實測的車頭時距分布具有分布相對集中的趨勢.統計發現，基于改進模型與實測數據獲得的分速度區間車頭間距分布的均方根誤差(RMSE)在0.006～0.017之間，表明分速度區間的仿真與實測車頭間距分布較為接近.

圖8 擾動蔓延過程的仿真案例對比Fig.8 Simulation example comparison of a disturbance propagation process

以實測軌跡作為頭車軌跡的輸入參數，以改進Newell 模型仿真跟馳車隊運行，生成流速密三參數關系如圖10所示.改進Newell模型生成“倒三角”的密度—流量基本圖.但仿真結果在反映擁堵的離散交通狀態時存在一定不足.

圖9 改進模型與實測數據車頭間距分布對比Fig.9 Comparison of spacing headway distributions from improved model and measured data

圖10 基于改進Newell 跟馳模型生成的交通流基本圖Fig.10 Fundamental diagram of traffic flow generated by improved Newell model

4 結 論

本文提取北京快速路的車輛軌跡數據，應用DTW算法標定小汽車跟馳行為反應時間等特征參數；并建立考慮擾動傳播特征的隨機Newell 跟馳模型.基于DTW算法獲得反應時間等跟馳特征參數具備隨交通狀態變化而變化的特性，更真實地反映了北京快速路的跟馳行為隨機特征.改進的隨機Newell跟馳模型建立以隨機擾動傳播速度為核心的車頭時距與反應時間的定量關系，提高了Newell模型刻畫微觀駕駛行為與宏觀交通狀態演變之間關聯關系的能力.

新模型能夠更有效地支持交通流陡降、寬移動阻塞等交通演變現象的仿真再現，在微觀交通仿真中具有豐富的應用場景.后續研究結合跟馳行為的不對稱性特征，進一步完善模型對交通流松弛等現象的解釋與再現能力.