起承轉(zhuǎn)合，知“書(shū)”達(dá)“理”

吳璐云

計(jì)算教學(xué)離不開(kāi)算理和算法，算理簡(jiǎn)單說(shuō)是算的一種道理，主要解決“為什么這么算”的問(wèn)題;算法是實(shí)施四則運(yùn)算的基本程序與方法，主要解決“怎樣計(jì)算”的問(wèn)題。提到“算理”和“算法”的關(guān)系，我們認(rèn)為“法理”需要平衡，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生只有理解算理，明確了具體的計(jì)算方法，才能合理、簡(jiǎn)潔地進(jìn)行計(jì)算，從而解決實(shí)際問(wèn)題。

而現(xiàn)在的學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前并不是一張白紙，他們已經(jīng)學(xué)會(huì)了一些所謂的計(jì)算方法，但是對(duì)于方法背后的道理卻是知之甚少。三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)的“前狀態(tài)”到底如何呢？為此，筆者對(duì)本校三年級(jí)的50名學(xué)生進(jìn)行了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)前測(cè)。

通過(guò)上表可知，目前學(xué)生的“前狀態(tài)”表現(xiàn)為：1.能理解乘法的意義;2.基于《口算乘法》的經(jīng)驗(yàn)，能對(duì)乘法算式“先分后合”;3.提前預(yù)習(xí)或家長(zhǎng)教學(xué)促使學(xué)生能正確利用“豎式”解決問(wèn)題;4.學(xué)生已經(jīng)具備了算法多樣化的基礎(chǔ)。那么，教學(xué)重點(diǎn)就在于梳理這些算法背后的算理了。于是，筆者利用教材提供的直觀模型“點(diǎn)子圖”，再次進(jìn)行調(diào)查。

由此可見(jiàn)，大部分學(xué)生的計(jì)算方法完全與點(diǎn)子圖脫節(jié)，有些甚至無(wú)從下手。這說(shuō)明放手讓學(xué)生自主使用“點(diǎn)子圖”來(lái)研究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的算理，是不符合學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知水平，他們只是因?yàn)椤袄蠋熞以谏厦嫒σ蝗Α?huà)一畫(huà)，我才去圈畫(huà)”，而不是學(xué)生內(nèi)在的需求。這樣的“潛狀態(tài)”給教學(xué)帶來(lái)的無(wú)盡的困惑：

1.怎樣引起學(xué)生對(duì)算理的關(guān)注和探究呢？

2.怎樣加讓點(diǎn)子圖成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的輔助工具呢？

3.怎樣讓學(xué)生突破從一位數(shù)的“一層積”到兩位數(shù)的“兩層積”的思維？

4.怎樣加強(qiáng)點(diǎn)子圖、橫式及豎式計(jì)算每步之間的溝通，從具象到抽象，再?gòu)某橄蟮骄呦螅由钏惴ê退憷碇g的聯(lián)結(jié)性理解呢？

通過(guò)梳理對(duì)比，我們解讀到三種版本教材編排的共性：1.各版本都注重三年級(jí)學(xué)生的心理特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)“購(gòu)書(shū)”、“列隊(duì)表演”、“彩筆”這些熟悉的生活情境。2.教材編排都在小學(xué)中段。3.各版本都讓學(xué)生經(jīng)歷“先分后合”，從而讓學(xué)生理解算理。

同時(shí)，這三個(gè)版本的教材又有差異：1.課時(shí)安排上的差異：人教版和冀教版都為一個(gè)課時(shí)，而北師大版為兩個(gè)課時(shí)。2.人教版和北師大版都借助“點(diǎn)子圖”直觀感悟計(jì)算的道理，而冀教版則是通過(guò)分步筆算和完整筆算相結(jié)合。

二、對(duì)“癥”出決策

基于各版本的共性，應(yīng)該予以堅(jiān)持，熟悉情境便于學(xué)生更好的融入和理解，“先分后合”是學(xué)生理解《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算（不進(jìn)位）》算理的重點(diǎn)。基于各版本的差異，應(yīng)該優(yōu)化融合。本課借助“點(diǎn)子圖”，讓學(xué)生自主探究多種算法，實(shí)現(xiàn)算法多樣化。豎式計(jì)算，明確算理，每一步與情境中的具體意義聯(lián)系，讓學(xué)生明確每一步所表示的含義。幫助學(xué)生建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算豎式的模型，不僅能夠幫助學(xué)生理解算理，還能夠較好地掌握算法，并感悟和體驗(yàn)算法的多樣化和解決問(wèn)題的策略，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)豎式的簡(jiǎn)潔有效，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

承——紙上得來(lái)終覺(jué)淺

一、表征架構(gòu)算理

【片段一】

師：王老師去書(shū)店買(mǎi)書(shū)，一共買(mǎi)了12套，每套書(shū)有14本，一共買(mǎi)了多少本？

生1：14×12，算出來(lái)

師：還有別的方法嗎？

生：一本一本數(shù)出來(lái)。

在學(xué)生們的嘲笑聲中，我肯定了他的想法，師：真是個(gè)好方法，只是我們現(xiàn)在沒(méi)有書(shū)怎么辦？

生：用小棒或者一個(gè)圖形表示一本書(shū)。

師：是的，我們也可以用一個(gè)點(diǎn)表示一本書(shū)，那么一行畫(huà)14個(gè)點(diǎn)就是1套書(shū)，畫(huà)12行就是12套書(shū)。然后我們可以一本一本數(shù)出來(lái)。

有學(xué)生馬上舉手叫停，生：老師，太麻煩了，可以一套一套加起來(lái)。

在其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭認(rèn)可時(shí)，又有學(xué)生舉手，生：我同意他的方法，但是一套一套加起來(lái)要加12個(gè)14，也很麻煩，可以把書(shū)分成3部分，4套為一部分，14×4=56（套）56×3=168（套）。

同學(xué)們思路打開(kāi)，紛紛舉手，師：同學(xué)們，趕快把你們方法試著用“點(diǎn)子圖”表示出來(lái)。并用式子表示出你的算法。

【反思】

1.為避免出現(xiàn)前測(cè)時(shí)“老師讓我圈點(diǎn)子圖，我才圈”的尷尬，特意強(qiáng)調(diào)了“問(wèn)題情境中的書(shū)與點(diǎn)子圖的對(duì)應(yīng)”，讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過(guò)程，為學(xué)生算法多樣化打開(kāi)了思路，這是借助直觀模型的價(jià)值。

2.以師生互動(dòng)的形式先反饋部分優(yōu)等生的解題思路，再讓全體學(xué)生深入思考，獨(dú)立解決并用點(diǎn)子圖表示。優(yōu)等生的示范作用打開(kāi)了學(xué)生的思路，也節(jié)省了學(xué)生探究的時(shí)間，為后面教學(xué)豎式、理解算理留出足夠的時(shí)間。

二、對(duì)比優(yōu)化算法

【片段二】

師：這些分法里哪種分法簡(jiǎn)單呢，為什么？

生1：14×10+14×2最簡(jiǎn)單。

生2：我不同意你的觀點(diǎn)，把12平均分成2個(gè)6也很簡(jiǎn)單啊。

生3：如果不是買(mǎi)12套書(shū)，是買(mǎi)13套書(shū)呢？就不能用連乘了。

師：到底哪種方法最優(yōu)呢？我們帶著這個(gè)問(wèn)題開(kāi)始接下來(lái)的探究，相信你會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

【反思】學(xué)生的計(jì)算方法不完全相同，但都是用“先分后合”的思路，這點(diǎn)恰恰就是乘法豎式的基本思路。從這么多方法中，優(yōu)化出“分十法”體現(xiàn)了直觀與抽象的關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)一步理解計(jì)算的道理。

很多老師質(zhì)疑，在教學(xué)時(shí)，學(xué)生利用點(diǎn)子圖進(jìn)行圈、分、算要耗費(fèi)較多的時(shí)間，壓縮了對(duì)豎式計(jì)算的教學(xué)，造成學(xué)生對(duì)豎式計(jì)算的理解及鞏固練習(xí)不到位，那整節(jié)課的教學(xué)效果就會(huì)打折扣。而人教版新教材中增加了“點(diǎn)子圖”， 這樣的編排符合三年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：學(xué)生需要有較多的動(dòng)手操作和直觀表象作為支撐，引導(dǎo)他們理解算理，掌握算法，有助于培養(yǎng)他們的推理能力。

轉(zhuǎn)——向思想更深處漫溯

【片段三】

師：有同學(xué)用豎式計(jì)算，我們一起來(lái)看一看。

師：趕快來(lái)介紹一下吧！

生：先算個(gè)位“2”×14：2×4=8，8寫(xiě)在個(gè)位，2×10=20，2寫(xiě)在十位。（板書(shū)：2×4=8，2×10=20）

師：算完個(gè)位，再算什么？

生：再用十位 “1”去乘14：十位的“1”表示10，10×4=40。寫(xiě)在十位上，0起占位作用，為了簡(jiǎn)便可以省略不寫(xiě)。（板書(shū)：10×4=40）

師：然后再用十位“1”去乘十位“1”，也就是多少乘多少？

生：10×10=100。1寫(xiě)在百位上。（板書(shū)：10×10=100）

生：最后把兩次乘得的積加起來(lái)。

師：根據(jù)購(gòu)書(shū)來(lái)解釋，28是幾套數(shù)書(shū)的本數(shù)？140是幾套數(shù)的本數(shù)？

生：28是2套的本數(shù)，140是10套書(shū)的本數(shù)。

師：你的想法很獨(dú)特。這種方法真棒！

師：哪幅電子圖能恰當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)豎式的計(jì)算過(guò)程？

生：14×2+14×10

師：觀察點(diǎn)子圖、橫式和豎式計(jì)算，它們之間有什么關(guān)系？

根據(jù)學(xué)生的回答，圖示出三者之間的溝通。

師：兩位數(shù)乘兩位數(shù)橫式計(jì)算和豎式計(jì)算有什么相同的地方？

生：它們都是把12分成10和2，分別與14相乘，再相加。

師：這就是為什么“分十法”最優(yōu)的原因了。

【反思】形象地說(shuō)，豎式就是站起來(lái)的“橫式”，但這樣的站應(yīng)該建立在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上。教學(xué)中，聯(lián)結(jié)點(diǎn)子圖、橫式及豎式計(jì)算每步之間的溝通，從具象到抽象，再?gòu)某橄蟮骄呦螅由钏惴ê退憷碇g的理解，讓學(xué)生清楚“法中見(jiàn)理，理中得法”。

合——他山之石可以攻玉

【片段四】

師：在豎式計(jì)算時(shí)，將過(guò)程分成了這些算式。我們借助點(diǎn)子圖來(lái)演示一下過(guò)程。

【反思】此過(guò)程整合“北師大版”教材，借助點(diǎn)子圖尋找豎式中每一部的計(jì)算結(jié)果在圖中相應(yīng)的位置，讓學(xué)生進(jìn)一步把抽象的算理和外顯的算法進(jìn)行勾連。用表格來(lái)說(shuō)明“第二層積由于整十?dāng)?shù)與整十?dāng)?shù)相加，出現(xiàn)錯(cuò)位的現(xiàn)象”，從而突破“乘數(shù)是一位數(shù)的一層積到乘數(shù)是兩位數(shù)的二層積”的思維障礙。

多爾教授說(shuō)：“學(xué)習(xí)成為意義創(chuàng)造過(guò)程之中的探險(xiǎn)”。在某種意義上，“起”“承”“轉(zhuǎn)”“合”正是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“過(guò)程”的一種豐富和具體化，經(jīng)歷這樣的具體化，課堂將變得更加飽滿充實(shí)，更加曲折多變，更加智慧靈動(dòng)。