淺談數學思維能力培養

孫德義

（湖北省荊州市監利市荒湖中學 湖北·荊州 434000）

0 引言

思維是人腦對客觀事物的一般特殊性和規律性的一種間接的、概括的反映過程。數學思維是對數學對象(空間形式、數量關系、結構關系等)的本質屬性和內部規律的間接反映，并按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。

數學是科學的基礎，在航空航天、人工智能、金融系統等自然科學和工程技術中，數學起到了至關重要的作用。數學思維能力，是學習各學科的重要基礎，是數學素養的體現。數學思維并不是人的本能，是需要后天學習培養獲得，掌握科學的數學思維方法比擁有多少知識顯得更為重要。

對于中小學生而言，最核心的教育是培養孩子的品格，包括好奇心，學習熱情，批判性思維，獨立思考等等。良好的數學思維能力可以幫助學生快速獲取新知識，從而提升教學效果。同時，良好的數學思維能力可以幫助學生用理性認識去解決生活以至今后工作中的問題，提升學生的綜合素養。提升學生數學思維能力是人自身發展和時代發展的需求。

1 數學思維能力培養內涵

本節以生活中的數學思維案例來闡述抽象的數學思維方法，分別包括概率思維、抽象思維、遞歸思維、空間思維、對稱思維、計算思維，這些思維方式是數學的真諦，是數學思維能力培養的內涵。

1.1 概率思維

概率思維是指應用概率知識去解決生活問題的一種思維能力。在生活中總是存在隨機事件（即不確定性），只要有不確定性則會有概率。概率告訴我們什么情況最有可能發生，什么情況最沒可能發生。概率還能幫助我們做預測，概率學能指導我們得到正確的分析方向，并做出有利的決策。

生活中的偶然和巧合無處不在，體現的是概率問題，生活中概率問題隨時都會遇到：一個硬幣投3次，3次投到都是正面的可能性有多大；在一個50人的教室里，孩子是同年同月同日生的可能性有多大；一個家庭有3口人2個衛生間，同時需要使用衛生間的可能性有多大；兩雙鞋子混在了一起，一個人閉著眼睛穿到同一雙鞋的可能性有多大。

接下來以穿鞋為例，解釋生活中的概率思維。兩雙鞋子混在了一起，一個人閉著眼睛穿到同一雙鞋的可能性有多大？假設一雙鞋是（J1，J2），其中1代表左腳，2代表右腳，另一雙鞋是(K1，K2)。從4只鞋中，隨機選2只，有6種可能結果，分別是（J1，K1），（J1，K2）（J2，K1），（J2，K2），（J1，J2），（K1，K2）。其中能穿到同一雙鞋的可能結果有兩種，分別是（J1，J2），（K1，K2），所以穿到同一雙鞋的可能性是1/3。不能穿到同一雙鞋的可能結果有 4 種，分別是（J1，K1），（J1，K2）（J2，K1），（J2，K2），所以穿到不是同一雙鞋的可能性是2/3。

1.2 抽象思維

形象思維也叫具象思維，是用直觀形象和表象解決問題的思維方式，其特點是具體化和形象化。另一個與形象思維相對應而存在的哲學概念—抽象思維，抽象思維屬于理想認識，是憑借科學的抽象概念對事物的本質和客觀規律進行反映，從而使人們獲得遠遠超過靠感覺器官直接感知的知識。探索與總結的過程是完成形象思維到抽象思維這一跨越的關鍵。

科學的抽象是在概念中反映自然界或社會物質過程的內在本質思想，是對事務的本質屬性進行分析、綜合、比較的基礎上，抽取出事物的本質屬性，是人們的認識從感性的具體進入抽象的規定，形成概念。例如對數字的認識，人們都是從具體的“一個蘋果”“兩只耳朵”“三支鉛筆”“四個硬幣”等這些具體的概念，抽取出其本質的數量屬性之后，形成“1”“2”“3”“4”等抽象概念。用字母符號如x，y，z來表示任何一個數，并將算術的運算法用到這些字母所表示的數上，是抽象化過程的一大進步。

療效判定標準:根據患者的睡眠情況評價,分為:患者臨床癥狀以及體征均完全消失,睡眠時間>6h為痊愈;癥狀和體征明顯改善,睡眠時間增加3h為顯效;癥狀和體征有所好轉,睡眠時間增加<3h為好轉;未達到以上任何一標準為無效。總有效率為痊愈率、顯效率與好轉率之和。

方程思維是一種典型的抽象思維。方程思維的主要環節是列方程和解方程。列方程是分析問題的數量關系。在用符號表示數的基礎上，進一步用已有的符號（設定的未知數）表示未知的量，然后通過不同的角度計算同一個數量進而建立等價關系，而解方程的關鍵是等量替換。接下來用雞兔同籠問題來解析生活中的抽象思維。

今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何。如果按照傳統的假設分析法，假設35頭全是雞，則共有70足。而題意有94足，共多出24足。把一只雞換成一只兔多2足，因此需要換成24/2=12只兔，則剩下有23只雞。如果用方程思維來解，可以設有x只兔，則雞有(35-x)只，這一步就是用已有的符號來表示未知的量。然后通過足的數量來建立等價關系，即4*x+2*(35-x)=94，求解方程得到x=12，則得到12只兔，23只雞的結論。也可以設有x只兔，y只雞，然后通過頭和足的數量來分別建立等價關系，即 x+y=35;4*x+2*y=94。求解方程得到x=12，y=23，則得到12只兔，23只雞的結論。

1.3 遞歸思維

遞歸思維的本質是將原問題的求解轉化為許多性質相同但是規模更小的子問題的求解，重點關注如何將原問題分解成符合條件的子問題。遞歸核心的思想是：每一次遞歸，整體問題都要比原來減小，并且遞歸到一定的層次時，要能直接給出結果，也就是要有遞歸出口（終止遞歸條件），避免死循環。

生活中的遞歸問題很多，一個典型的例子就是“兔子序列”，假如兔子出生2個月后就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔，所有兔子都不會死，問12個月后一共有多少對兔子；另一個典型例子就是漢諾塔游戲，有3根柱子，第一根柱子上有10個不同直徑的圓盤，大直徑圓盤在下面，小直徑的圓盤在上面。移動這些圓盤，移動過程中要保證大直徑圓盤在下面，小直徑的圓盤在上面，請問移動多少次，可以將第一根柱子上的所有圓盤移動到另一根柱子上；另外還有“爬樓梯問題”，假設有5層樓梯，一步可以跨1層或2層樓梯，請問一共有多少種不同的爬法？

接下來以爬樓梯例子，解釋生活中的遞歸問題。假設有5層樓梯，一步可以跨1層或2層樓梯，請問一共有多少種不同的爬法？設需要爬5層樓梯記為有f(5)種不同的爬法，4層樓梯有f(4)種不同的爬法，3層樓梯有f(3)種不同的爬法，2層樓梯有f(2)種不同的爬法，1層樓梯有f(1)種不同的爬法。假如需要爬5層樓梯，第一步如何走呢，有兩種走法：一種是一步跨1層樓梯，那剩下需要爬4層樓梯。另一種方法是一步跨2層樓梯，那剩下需要爬3層樓梯，因此可以得到f(5)=f(4)+f(3)。同理，假如需要爬4層樓梯，第一步如何走呢，有兩種走法：一種是一步跨1層樓梯，那剩下需要爬3層樓梯。另一種方法是一步跨2層樓梯，那剩下需要爬2層樓梯，因此得到f(4)=f(3)+f(2)。依次類推，f(3)=f(2)+f(1)，基于分析推理很容易得到f(1)=1,f(2)=2。進而很容易推廣到f(n)=f(n-1)+f(n-2)，這就是斐波那契數列的遞推關系。

1.4 空間思維

空間思維是指識別物體的形狀、位置、空間關系，理解并記住物體的相對位置，然后通過想象與視覺化，來形成新的視覺關系的能力。有研究表明，空間思維能力高的學生在工程、計算機科學和數學、地理與環境科學領域都能表現更突出。

正方體是日常生活中最常見的一種空間幾何形狀，涉及正方體的數學問題很多，體現的是空間思維問題。例如一個正方體的6個面分別涂上6種不同的顏色，請給出每個面的相對面的顏色。例如正方體的展開圖有幾種結構。培養空間思維能力需要多動手實踐，從拼圖到拼插類積木，七巧板，魔方等都是很好鍛煉空間思維能力的工具。在實踐中鍛煉觀察力、空間想象力和空間推理能力是值得推薦的方法。

1.5 對稱思維

對稱現象在大自然中隨處可見，對稱是美，也是一種思維。提到對稱，腦海里第一反應就是左右都一樣。蝴蝶、人都是生活中典型的軸對稱圖形。二維平面中，通常對稱有軸對稱、中心對稱、旋轉對稱。軸對稱，顧名思義，就是圖形沿著某條線呈對稱，則將這個圖形稱為軸對稱圖形。中心對稱是把一個圖形繞著某一點旋轉180度，如果它能夠與原圖形完全重合，則將這個圖形稱為中心對稱圖形。旋轉對稱是將某個圖形圍繞著某個點旋轉一定角度后，與原初始圖形完全重合，則將這個圖形稱為旋轉對稱圖形。可以看出，中心對稱是旋轉對稱的一個特例。生活中有些漢字都是軸對稱的，例如中，日，口，昊，曾等。其中有些漢字不僅是軸對稱也是中心對稱的，如日，口。

1.6 計算思維

計算思維是運用計算機科學的思維方式進行問題求解、系統設計以及人類行為理解等一系列的思維活動。計算思維是當今編程方法的基石，它是一種教授學生像計算機一樣思考來解決問題的方法，這種循序漸進的認知策略對于學生進行有效學習非常有益。通過計算思維學習，學生可以掌握如何分析新信息和處理新問題。這種思維方式，會帶來解決問題能力的提升。計算思維的實踐可以幫助學生養成持續學習、嘗試多角度解決復雜問題、甚至提出新問題的能力。

計算思維的方法可主要分為四個基本步驟：分解、模式識別、抽象及算法；三個延伸方面：建模、評估及泛化。計算思維所關注的是一個計算模型或算法，重點在于問題求解的過程和步驟。

舉一個日常的生活問題來幫助理解計算思維，你需要為5人家庭做一餐晚飯，要求有湯有素菜有葷菜，你該怎么做？

（1）分析問題：分析確定要做什么菜，要有肉、素、湯，列舉要做什么菜，比如做青椒炒肉絲，燉雞湯，炒白菜等幾個菜，并列出這些菜需要購買什么食材。

（2）模式識別：明確幾道菜的做法和規律，青椒肉絲需要準備青椒、肉絲，青椒和肉切細絲狀，炒白菜是快手菜，燉雞湯需要小火慢燉時間長，這些菜大多數都需要油、鹽、蔥等佐料。

（3）將問題抽象化：為了避免菜涼，需要幾道菜都要差不多時間出鍋，所以需要將菜品制作按時間排序，抽象為排序問題。

（4）算法開發和執行：列明制作菜品的一些細節，轉化為清晰明確的流程并執行，切雞肉、姜—燉雞湯—切蒜、蔥—切肉、青椒、洗菜心等等。

這樣準備家庭晚餐的日常問題，就應用計算思維解決了。

2 數學思維能力培養建議

在教育教學中，教師要注重對學生數學思維能力的培養，從如下四個方面給出培養建議和方法。

2.1 培養觀察力

培養學生的觀察力對思維能力的培養至關重要。通過觀察現象探索事務的本質，是現實世界中解決問題的必然過程。在學習生活中養成良好的觀察習慣不亞于擁有大量的學術知識。

培養學生的觀察力，可以通過將任務具體化的方法，引導學生有目的有興趣的觀察，從現象到隱蔽的細節中探索事務的本質，引導學生進行系統的觀察，從多種嘗試中觀察結果，進行歸納總結，進而得到一些直觀的結論。

2.2 激發學習興趣

數學來源于生活，可以用生活中的數學問題為依據，激發學生的好奇心和興趣，幫助學生理解抽象的數學思維方法。以生活中的數學問題為出發點，引導學生用數學思想去解決生活中的問題，可以幫助學生更徹底的理解數學知識，提升學生的數學思維能力。

2.3 革新教學方法

借助一些教學方法來幫助學生深刻理解數學知識，提升數學思維能力。例如在教學中滲透數學史，從問題的發生發展及原理的角度，引導學生進一步深刻理解數學知識。數形結合是幫助學生從形象思維過渡到抽象思維的好方法，應用一些圖形讓學生更好的學習數學知識，將深奧的數學知識直觀化、具象化，達到培養數學思維的目的。還可以借助于多媒體技術，豐富多彩的動畫、圖片、音樂等手段不僅調動學生的積極性和興趣，而且通過多媒體技術使得數學知識更加直觀、簡單、形象，幫助學生更好的理解數學知識中的各種數學思維方法，從而有效提升數學思維能力。

2.4 引導動手實踐

對于數學這樣具有高度抽象性的科目來說，在認識過程中很難直接從教師的講授中獲取其中蘊含的數學思想和數學思維方法，需要在學生中加強實際操作，只有通過親自操作，獲得直接的經驗，才便于在此基礎上進行正確的抽象和概括，提升數學思維能力。

3 結語

培養學生的數學思維能力是新時代需求，是人自身發展和社會發展的需要。在中小學教育中，切勿填鴨式授學，要注重學生數學思維能力的培養，鼓勵學生主動將生活中的問題與書本知識相結合，數學問題來源于生活，數學思想又能反哺于社會實踐和科學實踐。本文結合生活中的數學思維案例闡述了抽象的數學思維方法，包括概率思維、抽象思維、遞歸思維等等。同時，本文也給出了教育教學中培養學生數學思維能力的建議和方法。