高等數學極限定義教學方法初探

焦佳

本文以高等數學中極限的定義為載體，在教學實踐的基礎上，提出了融入數學史、數形結合、滲透數學思想、引入數學實驗等教學方法。在教學過程中，通過恰當的教學方法幫助學生理解極限的定義，有意識地引導學生體會極限的含義，讓學生更深入地掌握極限的思想。

極限是高等數學的基礎概念，貫穿微積分學的始終，連續、導數、定積分、級數等定義都是建立在極限的基礎上。因此，對極限定義的準確理解直接關系到后續課程的學習，也是教學中的重點和難點。

對于剛步入大學的學生，他們中的大部分人還沒有完全適應大學的教學方法，對數學的學習仍以解題為主，很少關注數學思想。這也導致他們將主要精力放在計算上，缺乏去對數學概念本質的理解。而極限的定義，具有較強的邏輯性，數學語言抽象。因此在教學中，為了讓學生能夠更深層次地理解極限的定義，從以下幾個方面入手：

1 融入數學史

數學是一門古老的學科，與人們的生活、社會的發展息息相關。數學來源于生產、生活實踐，是從人們生產、生活的經驗中抽象概括出來的，同時生產、生活又是數學知識應用的廣闊天地。數學不僅凝結著人類認識和改造客觀世界的成果，而且凝結著人類的主觀精神。數學發展到今天，更富有自然、社會、歷史、人文等豐富的文化內涵。

在極限教學中融入數學史的教育，一方面可以讓學生了解數學是一門怎樣的科學，提高學習的興趣；另一方面，講述數學史的過程也是講述數學思想應用的過程。通過數學史的融入，學生能更深層次地了解極限的來源，從而體會到數學思想在知識中的應用。極限思想萌芽、發展、不斷完善的過程，使學生認識到極限是為了求解實際問題而產生的，體會到極限在高等數學中的重要地位。

戰國《莊子·天下》中惠施說，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是，一尺長的木棍，每天截去它的一半，隨著不斷截去，留下的木棍長度“無限接近于零，但又不等于零”，千秋萬代也截不完。這體現出極限“無限趨近”的思想。在課堂教學中，可利用粉筆演示這句話的意思，讓學生對極限有初步的了解。用數列來描述，每日的截取量為 ，即可得到極限的定義，給定一個數列 ，隨著 無限增大， 無限地趨近于一個確定的常數 ，則 稱為該數列當 時的極限。

2 數形結合

數學家華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬分休。”講解極限定義時，采用數形結合的方法，能將抽象的函數具體到圖像上，學生理解起來更容易。教師可與學生一起作出圖像，觀察圖像的變化趨勢，從而得到極限的定義。學生在學習時會發現，高等數學中的相關概念，可以通過形的認識，來發現質的規律。通過對數學中形的理解，加深對高等數學概念的理解，這也是一種數學文化的積累。

3 滲透數學思想

魏晉時期的數學家劉徽在《九章算術》割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，這正是運用極限思想的實際例子。極限的思想和方法，可以使學生在分析問題時，看到事物發展的趨勢，從而抓住主要矛盾和矛盾的主要方面。化圓為方、化曲為直的極限思想，通過觀察有限分割、想象無限細分，根據變化趨勢想象終極狀態，不但使學生掌握了知識，而且進行了變與不變、近似與精確、有限與無限、量變與質變等辯證唯物主義教育。

笛卡爾說：“數學是使人變聰明的一門科學，而數學思想的教學則是傳導數學精神，形成世界觀不可缺少的條件。”數學不僅是作為專業學習的工具，數學思維更應該是大學生必備的素養，不但能利用數學知識解答專業和生活中所遇到的問題，還能把數學思想融入到日常生活和工作中。

在學習高等數學的過程中，教師應借助數學科學的文化價值，把蘊含在數學知識、技能中的價值觀念、審美情趣、思想方法和行為規范加以挖掘和提升，通過再現、重演數學知識中隱含的原始實踐和認知活動，使學生接受數學文化的熏陶，在獲得數學知識和技能的同時，在情感、學習態度、價值觀念等方面得到較好的發展。

4 引入數學實驗

信息技術為數學課程提供了切實可行的方案、技術、方法和工具，信息技術與數學課程的整合，是將信息技術與數學課程內容、數學課程實施融為一體，以便更好地完成數學課程目標。基于信息技術的數學實驗能使一些過去只能通過思維、表象和想象領會的數學內容，得到直觀地表示和處理。借助數學軟件，結合所學的數學知識，解決實際問題。極限是教學的難點，學生可通過改變參數 的值，計算機隨時顯示 隨 變化的動態過程，觀察 的變化。在此過程中，學生親自參與、反復實踐，體驗“無限趨近”，理解極限概念。在數學實驗中，學生主動地進行觀察、描述、猜想、實驗、思考、推理、應用等等，讓學生目睹數學過程形象而生動的性質，體驗如何實現數學過程，并從中感受到數學的力量，促進數學的學習。

（作者單位：天津鐵道職業技術學院）