高等數學課中德育淺談

陳仁蓮

[摘 要]思政不單單是指思想政治課，而是在校園里所有一切與師生學習生活密切相關的方方面面都蘊含著思政問題。當然，作為數學課程，也不例外。該文從高等數學中常數項級的斂散性出發，淺談個人在高等數學課中對思政方面的認識。

[關鍵詞]課程思政;正項級數;交錯級數;斂散性

[中圖分類號] G641;O13-4[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）48-00-03[收稿日期] 2020-09-21

一、前言

古人曰：“敬教勸學，建國之大本;興賢育才，為政之先務。”課程思政已經開始從隱性舞臺走向了顯性舞臺。更加需要強調把“立德樹人、教書育人”這一本質貫穿到學校的方方面面。馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”恩格斯也說：“在一切理論成就中，未必有什么像十七世紀下半葉微積分的發明那樣看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正在這里。”“要確立辯證的，同時又是唯物主義的自然觀，需要具備數學和自然的知識。”可見數學與哲學地位一樣，同等重要。而高等數學作為大學一門必修的公共基礎課，義不容辭地將要承擔著思政、立德、育人的重任。本文將從常數項級的斂散性方面出發，談談高等數學課中處處蘊含著唯物主義的世界觀和為人處事的方法等，進而增強學生們的愛國主義與民族凝聚力，激勵學生們積極努力、發憤圖強、立志成才。

二、正項級數斂散性蘊含著的育人思想

在講授常數項級數的審斂法時，首先給出正項級數斂散性的判定法—比較審斂法，如下：

設和為正項級數，且滿足un≤vn，（n=1，2，…），則有

（1）若級數收斂，則級數收斂;

（2）若級數發散，則級數發散。

雖然這個結論表面上展示給我們的是數學知識，但卻富含著豐富的人生哲理。

第一，如果判斷級數的斂散性有困難，但是我們知道正項級數的收斂性，且滿足un≤vn，（n=1，2，…），那么正項級數的收斂性就迎刃而解了。這讓我們聯想到現實生活中，當遇到困難與問題時，直接面對可能解決起來很困難，但是我們可以借助“它山之石可以攻玉”的道理，曲徑通幽，找到與之關聯的，相對容易解決的方面進行考量，進而解決我們的困難與問題，有一種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。這正是一種靈活轉化、變通的思維！比如，你如果有車的話，一般地都有一個備用胎，它是做什么用的呢，當然是當你的車發生了漏氣、爆胎等問題的時候，而你的車又不在維修站附近，怎么辦？自然地，我們的備用胎就上場了，你的車子又可以行駛起來。最能體現這種轉化思維的，當屬今年的年初特殊期間，“在線辦公”“停課不停學”，感謝強大的網絡，讓我們的一切又都變得正常，開始了線上辦公、教學，釘釘、騰訊課堂、騰訊會議等各種平臺改變了我們生活。同時強大的物流網絡給我們的日常生活帶來了便利，減少了安全隱患。

第二，在這正項級數的比較審斂法中，我們從另一個角度理解斂散性，即如果大項的收斂，那么小項的一定收斂，反之，小項的發散，大項的必發散。這又與我們生活中做人做事如出一轍。比如說，我們經常聽說，會有人問你來自哪里？你的家庭情況如何？你的父母工作如何？如果他說他來自山東，人們立刻想到你肯定成績好。因為山東是一個愛學習的地方，山東孩子考大學最厲害。相反，如果說這個人特別會做生意，人們立刻想到他一定是來自廣東，尤其是潮汕地區。因為，在人們的眼中廣東人人都會做生意。人們的潛意識里不會想到山東人做生意強，廣東的孩子考大學棒。同樣，如果你的父母都是北大清華畢業的，人們對你的映象必然是你一定學習很好，因為你的爸爸媽媽都是那么優秀的，你肯定遺傳了他們超強的基因;如果你的成績不好，一般情況下，人們就會聯想到他的父母有沒有上過學，有沒有上過大學，如果沒有，自然地，他的學習不好是正常的。古人云“書香門第”“大戶人家”“蓬門蓽戶”等，你的祖輩留給你的可能在生活中開設了一條通道或屏障，人們潛意識中就給了一個標簽。同樣地，上升到國家層面，如果一個國家在各領域，諸如政治、軍事、經濟、科技等方面都很強，那么他在國際上的地位不言而喻，其他國家對之重視和尊重也將不一樣，其國人民在世界的各個角落也同樣會受到歡迎;相反，如果該國人民對自己的國家首先都不夠熱愛、尊重，一味地崇洋媚外，這說明該國的發展還遠遠沒有滿足不了民眾，自然地，該國在世界上的地位就可想而知了。

在討論p?級數（p>）的斂散性時，自然地想到上一節所講到的調和級數以及任意一個實數介于兩個連續整數之間，即k-1≤x≤k，從而進而利用比較審斂法和級數收斂的充要條件其部分和數列有界這兩結論，得當p≤1時發散，p>1時收斂。

由p?級數的斂散性可以看到在我們的生活中也是有很多時候都與此類似。比如，有些學生說考研，然后開始準備，前期都非常積極努力，越是臨近考研日期時，突然感覺壓力好大，不自信，思想上開始有了松懈，有點不想堅持了，更甚至考研時間到了，卻放棄了。當然，放棄了，只有零希望，不放棄，說不定有了一個質的飛躍，你的人生又將是另一片天地。中華人民共和國成立后，為了保衛國家安全、維護世界和平，我們要造原子彈，那時的狀況是一窮二白，但是我們卻擁有眾多愿報效祖國的優秀科技工作者，其中好多是享譽國際的科學家，他們響應黨和國家的召喚，將一顆愛國之心奉獻國家，克服了許許多多的艱難險阻，最終取得了舉世矚目的輝煌成就。試想，如果我們國家僅僅因為當時貧窮，不去攻克這些世界上認為我們一定搞不出來的尖端科技，今天我們的國家能夠令世界刮目相看嗎？“堅持就是勝利”“鍥而不舍，金石可鏤”，成功一定在不遠處等著你！

對于有的正項級數來說，用比較審斂法可能不好判斷其斂散性，可以從自身考慮，選用比值審斂法（或達朗貝爾判別法），即：為正項級數，如果，則當時級數收斂;當（或）時級數發散;當時級數可能收斂也可能發散。

達朗貝爾判別法讓我們又想到現在流行病。當流行病在全世界大流行時，各國基本上都為了避免境外輸入病例，采取了封國的政策，限制疾病較為嚴重國家的進入。然而，當今世界各國的發展都需要彼此依存，現在切斷了外來經濟的往來，怎么辦，各個國家必須想辦法解決老百姓的衣食住行等民生問題。我們國家提出了經濟內循環，并予以實施，現在我們國家人們生活基本上恢復了原來的現狀，經濟正在逐漸好轉。事實說明這是正確、合理和與時俱進的。

三、交錯級數的唯物思想

當我們在學習交錯級數（un>0）時，知道任意前后兩項之間的符號必須相反。同學們立刻會想到之前學過的級數1-1+1-1+…+（-1）n-1+…，可以寫成，滿足交錯級數的條件，從而是交錯級數，隨即再給出級數，會發現它雖然滿足的外形，但是當我們仔細寫成它的每一項時，去發現它并不符合交錯級數的任意前后兩項符號的要求，所以它并不是交錯級數。

從這里可以想到我們的生活中，經常會遇到類似的現象或問題。禮記大學曰“物有本末，事有終始，知所先后，則近道矣”。對待任何事物，我們都要抓住其本質，透過現象看本質。最終才能解決問題。

四、絕對收斂與條件收斂的人生啟迪

在講絕對收斂與條件收斂時，我們經常會給出這樣幾個級數：，，，，以及之前的調和級數和p?級數（p>0）。通過學習，我們知道調和級數是發散的;p?級數（p>0）在p≤1時發散，p>1時收斂;級數與是收斂的，但是其一般項取絕對值符號以后卻發散了，所以它倆是條件收斂。而對于級數與，其一般項取絕對值符號以后仍然是收斂的，所以它倆是絕對收斂。因此，在探究絕對值級數的收斂性時，我們先要清楚掌握到原級數的收斂性，其次利用正項級數的性質，最后建立一個與二者有關的正項級數，從而判斷此級數的是絕對收斂還是條件收斂。

從以上幾個級數的討論，事實上都可以說是調和級數的形式上的改造。但是我們卻發現經過改造以后，有的斂散性發生了改變，有的斂散性沒變，但是判斷斂散性的方法改變了。這讓我們又可以在生活中相似之處。比如隨著互聯網的快速發展，我們的理財方式從單一的銀行的定期、活期存款，發展到購買一些理財產品、股票、基金、理財保險，再到現在琳瑯滿目的理財平臺，如支付寶都可以實現資產的增值。當然這個過程中，我們要擦亮眼睛，識別真偽，最終實現收益。這告訴我們，事物都是發展的，當遇到問題時，我們一定要善于變通，靈活應對，對癥下藥。俗話說：變則通，通則活。

五、相關數學家們的百折不撓精神

在討論常數項級數的斂散性時，我們還可以介紹一些相關的理論背景和一些相關的數學家們，注意到所學到的級數理論都是一位位數學家懷著滿腔對數學熱愛之情，經過一個漫長而艱辛的歲月逐步發展、完善的。因此，一個人若想成功，做出一番事業，首先，你要先去熱愛它，因為只有你熱愛它，才會愿意付出行動，因為熱愛，才會付出投入，因為熱愛，才會愿意堅持。其次，你必須要有堅強的毅力。忍耐和堅持雖然是痛苦的事情，但是卻能漸漸地為你帶來滿滿的收獲。最后，借用魯迅先生的一句話，一起共勉：“不恥最后”，即使慢，馳而不息，縱令落后，縱令失敗，但一定可以達到他所向往的目標！

六、結語

總之，身為講授數學課的老師，首先要熱愛我們的數學，然后以身作則，言傳身教，充分發揮數學教師的人文素養，通過講述一些生活中最真實的事例，來闡釋數學課堂中一些被學生們認為枯燥、難懂的內容，這樣不但讓學生們感受到數學原來可以這么貼近生活，又可以讓學生們感受到思政無處不在。學生們在數學殿堂遨游的時候，不僅收獲到數學之美，而且還可以凈化心靈，把握了正確的人生航向，讓其人生觀、價值觀、道德觀不斷提升。教師們也實現了教學的終極目標—教書育人。

參考文獻

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