“導數中的多變量不等式證明”教學設計

吳曉釗

一、內容解析

本節選自人教版《數學選修2-2》中的第一章第三節《導數在研究函數中的應用》。學生會用導數去判斷函數單調性，求極值、最值，以及會用導數證明單變量不等式的恒成立問題。本節課就是在此基礎上，由單變量不等式證明，拓展到多變量不等式。

二、教學目標

（1）能區分不等式中多變量相關性和無關性;初步能運用主元法、換元法、消元法等，把多變量不等式，轉化為單變量不等式，從而利用函數的思想去證明;

（2）知道對數平均不等式，及對數不等式在證明中的應用;

（3）從多變量不等式轉化到單變量證明的過程中，體會函數思想和轉化化歸的思想，提升運算能力和邏輯推理的數學核心素養。

三、教學重、難點

重點：

多變量相關和無關的兩類不等式證明解題的策略的不同點和相同點及解題策略歸納.

難點：

把多變量不等式通過主元、消元、換元等方法轉化為熟悉的單變量不等式;

四、教學過程

問題1：回顧證明不等式恒成立的解題策略

設計意圖?一方面是為引入新知創造認知沖突，激發學生的探知欲，另一方面是讓學生思考，新舊知識之間的聯系與轉化。

引入：

問題2：不等式中的雙變量取值有何特征，如何轉化為我們前面所學的不等式證明問題？

設計意圖 引入對數平均不等式證明，一方面，任意恒成立問題，轉化為求函數的最值問題，學生比較熟悉容易入手;另方面，為例1中運用對數平均不等式放縮埋下伏筆。

先證較簡潔的右側：

五、課后反思

導數中的多變量問題，是考試的重點、難點，也是學生比較難以下手的一個主要模塊之一。本節課為了能夠讓學生形成此類題型的常規解題框架圖，采用的是一題多解，“多解歸一”——把多元變量不等式證明，轉化為單變量函數的形式。從簡單的對數平均不等式引入各種解題策略，到例題對解題方法的強化和鞏固，讓學生逐步的形成了此類題型的解題模型。

（作者單位：浙江省溫州市第二外國語學校）