理解復合函數的新方法

張茜 魏榜

【摘?要】復合函數是由兩個或兩個以上簡單函數組成的，它使函數更加綜合化，是函數相互結合的紐帶，所以學生容易對復合函數的結構模糊，對一些判斷法則的來源不清楚。本篇就復合函數單調性的判斷法則，采用圖像與表格法相結合的方式加強學生對“復合”的理解，并解釋“同增異減”的判斷法則和實際可行的操作。

【關鍵詞】復合函數;單調性;數形結合;基本函數

1 引言

形如的函數一般稱為復合函數，若令，則可稱為內層函數，為外層函數。在高中階段復合函數的內層和外層一般為初等函數[1]。

高中階段復合函數既是重點又是難點，由于復合函數具有綜合性、抽象性、靈活性等特點，借助復合函數可以靈活地考查學生函數部分四基的掌握和運用情況，所以復合函數對學生來說理解較為不易，得分率較低，是學生的易失分點[2]。造成如此現狀的原因有許多，筆者認為主要是對“復合”二字理解不到位，處理“復合”的方法不當，單純講“同增異減”過于抽象，在解決復雜問題時難以入手，沒有教給學生處理復合問題的基本方法，很難做到處理復合函數問題時舉一反三。課標雖未對復合函數作過高要求，但在日?？荚囍?，對復合函數性質兩域三性質等問題的考查依然十分深入，尤其是復合函數的單調性。今天，就跟隨筆者的腳步，一同探析復合函數的“廬山真面目”吧！

2 復合函數單調性表格法及其原理

正如引言所說，復合函數重要的是對“復合”的理解，那么我們如何處理“復合”函數的單調性問題呢？比如，函數的單調性的判斷，我們知道，用復合函數單調性的判斷法則“同增異減”判斷，很容易得出在單調遞增，在單調遞減。不容置疑，這種方法對于一些內外層函數均為單調性特征比較強的初等函數的復合函數，判斷其單調性是非常有實用價值的，但這種方法如何判斷函數的圖像變化情況呢？

筆者認為，我們可以從數和形兩個角度相結合加以理解。從代數角度分析看有，既是的“因變量”，又是的“自變量”，也就是中間變量為搭了一座“橋”，而這座“橋”就是聯系和是解決問題的關鍵，許多簡單的問題直接分析即可。

我們再從圖形角度來看，結合內外層函數的圖像，得出的聯系，隨之通過表格法加以呈現，更有利于學生從更為直觀地理解復合函數的單調性，讓復合函數的變換情況“現出原形”。以下通過具體例題詳細分析，詳細說明表格法的應用步驟。

3 例題精講

例1（2018全國理科三卷7）的圖像大致為（?）

分析：

第一步分解：將復合函數適當地分解為兩個基本的內層函數和外層函數，并求出內外層函數的定義域，即求出和的范圍。不難看出，函數，內層初等函數記為，。外層函數記為。

第二步作圖：分別作出內外層函數的圖像，如下圖內外層函數圖像所示（注：作出相應定義域內的圖像即可）。

第三步找分界點：分別找出可能影響函數單調性的點，即內外層函數圖像中引起單調性突變的點以及“間斷點”，并求出外層函數的分界點所對應的內層函數的值[3]。

第四步分段列表：按第三步得到的3個分界點將數軸分為4段，由于每一段上均單調，則可列表格進行分析。

內層?外層

我們根據以上分析列出變化趨勢表格：

第五步分析表格得出結論：分析在不斷增大幾個變化過程中，的變化趨勢即可得出函數單調性結論，必要時可以根據單調性和特殊點做出函數的草圖。由上表可以得到當自變量不斷增大時，的變化趨勢，也就是函數單調性，即函數在區間和單調遞增，在區間和單調遞增。即可做出函數圖像為：

評注：上述解法看似小題大做，實則不然！在做兩個基本函數圖像以及列表格的過程中，涉及到的處理方法看似繁瑣，實則體現了理解與思考復合函數單調性最為基本的思維方式，此處理一些復雜的復合函數題時，思路更清晰有條理。如果能較好地理解和掌握上訴方法，在做高考題時將是“降維打擊”，請看例2。

例2（2017全國文二卷8）函數的單調遞增區間是?（?）

解：可以看作由內層，或和外層復合而來。由內外層函數圖像可列出變化趨勢表格表示如下：

判斷單調性的關鍵在于增大時增大還是減小，由于第一行從左往右都是不斷增大的，的變化趨勢只用看第三排即可，若增大則對應的區間為增區間，反之則為減區間。

顯然，單增區間為

例3 求函數的單調遞增區間。

解：內層函數為，外層函數為，由內外層函數圖像可列出變化趨勢表格：

我們看從的變化過程中，所對應的值卻是從大到小，而我們上述所采取的內外函數圖像表格法討論的前提是的值從小到大遞增的，所以可以論證當時，如果直接從遞增區間上討論的話，是錯誤的。

根據以上分析，我們具體來應用這個方法，深度體會該方法的合理性與邏輯性。

其實求解三角型函數的單調區間時，站在復合函數的角度可更好的解釋其原理，時，函數單增區間的求法是令，解出范圍即可;求單調遞減區間，則令，解出范圍即為單調遞減區間。當時，與之相反。

例4 已知函數，則函數的單調增區間是

根據外層函數圖像得，是外層函數的分界點，則時，內層函數的分界點是，解得，，由內層函數圖像知內層函數自身分界點是

列出復合表格為：

總結：我們從以上分析可以知道，這種復合函數單調性表格法實質上是通過數形結合的思想，將內外層函數的變化情況通過圖像或表格的形式直觀表現出來，對每一段的變化情況條理清晰地步步分析，有條不紊地得出我們想要的結果。

這種數形結合的思想方法，同樣對于處理復合函數不等式以及復合函數零點等題型時依舊適用。

例5（復合函數不等式問題）：已知函數，則函數大于時，的取值范圍是?.

解：由題意分別做出內外層函數圖像：由內層函得，所以外層函數，的取值范圍是。因為是外層函數，所以，我們求得（舍），時與外層函數自變量的取值范圍相矛盾，所以舍去，所以只需考慮的情況。此時的是內層函數的因變量，我們在內層函數中求得的取值范圍，解得

例6（復合函數零點個數問題）關于的方程的不同實數根的個數有多少？

分析：由題中絕對值符號我們自然能想到拆絕對值，根據絕對值里的正負性分情況來分類討論，但那樣做的話比較繁瑣，且因為自身的值也有正負情況，所以拆絕對值的方法可行，但并不提倡這種做法。很明顯，這個方程中的可以視為，將視為一個整體。

求解得到或，在內層函數圖像中，我們可以看到、與內層函數共有5個不同的交點，所以的不同實數根共有5個。

4 總結

復合函數是函數學習中的一大難點，復雜抽象，所以教學中應注重培養學生的抽象思維能力和分析轉化能力。但任何抽象都是建立在具體之上，由具體背景逐級抽象而來。在函數學習前期，應盡可能為學生創造形象的數學背景，讓學生的抽象能力建立在幾何直觀的基礎上，這樣發展而來的抽象能力更具有生命力。

復合函數表格法的關鍵在于通過對內外層函數圖像的分析找出函數單調性的分界點，列表法更容易接受，借助表格培養學生處理數學問題時的條理性，并且可以為將來學習導數法列表格做出鋪墊，前后照應、遙相呼應。學好復合函數，掌握復合函數的簡化方法，對認知復雜函數以及今后學習復合函數求導等問題大有益處。

參考文獻：

[1]宗麗華.用內外層函數圖象解初等復合函數[J].數理化學習（高三版），2015（07）：8-9.

[2]王宇，張洪剛.關于復合函數單調性的研究[J].數學學習與研究，2016（23）：126.

[3]鄒少偉.復合函數的單調性[J].數學學習與研究，2016（03）：106.

作者簡介：

張茜，女，1997年2月，漢族，河南周口，碩士研究生，首都師范大學學科教學（數學）研究生，主要研究中學數學教學方法，教材分析等。

魏榜，男，1998年11月，漢族，四川瀘州，首都師范大學碩士研究生。

（作者單位：首都師范大學學科教學（數學）研究生）