高等數學習題微課的設計與實踐

倪柏竹

【摘要】本文提出以微視頻的線上教學方式代替或補充線下習題課教學，探索了線上習題微課的教學設計，并以一類碩士研究生入學試題為例，介紹了習題微課的教學方案設計與教學實踐。

【關鍵詞】微課 ?羅爾定理 ?積分中值定理

【基金項目】牡丹江師范學院教育教學改革項目（19-XJ21025）;東北師范大學訪學課題項目：全國教育科學“十三五”規劃2017年度國家一般課題“核心素養的學校課程轉化模式研究”（BHA170148）。

【中圖分類號】G434;P13-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）48-0021-02

1.引言

著名數學教育家、中科院院士劉應明教授曾指出：“有效的解題訓練，不僅可以使學生深入理解所學的知識，還能通過對各類問題的分析研究及尋求解法來培養學生的思維條理和創造力。”高等數學作為高等院校必修的一門重要公共基礎課程，不僅對學生學習后續課程及培養理性思維能力和科學的思想方法起著重要的作用，也為學生考研及將來從事專業技術工作及其它工作奠定了重要的數學基礎。而在實際的高等數學教學中，由于整體教學課時緊張，用于習題課教學的課時更是有限，以至于學生不能深入理解和內化學科知識，出現學習興趣減弱，解決問題能力降低等現象。

然而，隨著網絡信息技術的迅速發展，微課正在成為一種新型、高效的教學手段，為高等數學習題課教學提供了一種新的理念和方式。目前國內專家學者對微課的定義有著共識的內容，他們所描述的微課是圍繞某一個問題或者知識點進行的，目標非常明確，課程進行的載體是微型視頻，包括微課件和微教案等。筆者希望通過對高等數學習題課教學的研究，分析傳統習題課教學現狀，并分析高等數學習題微課實現的可行性，提出高等數學習題微課的設計過程，并以一類碩士研究生數學入學試題為例，介紹習題微課的教學實踐。

2.傳統習題課現狀分析

（1）習題課課時過少

課堂講授和習題課教學是高等數學教學的兩大重要環節，教師為了完成授課大綱的任務，無形中壓縮了習題課的時間。這樣使得學生雖然聽懂了上課的內容，但由于習題練習的少，經常出現上課能聽懂，做題時卻毫無頭緒。

（2）習題課選題隨意，缺乏典型性

大多時候的習題課模式就是一節課由五、六道題組成，做題半節課，討論講評半節課，選的例題習題是“東一榔頭西一棒子”，東拼拼，西湊湊，很隨意，學生上完課后，不能說一頭霧水，至少不清楚這節課解決了什么，對于提高解題能力幫助不大。

（3）習題課選題散

因為選題隨意，所以習題的安排一定是無序的，沒有從學生的認知規律先易后難，先單個后綜合，先正面再反面的順序出發。在實際的習題教學中學生獲得的是一些零散的知識點，對概念、性質、定理沒有一個全面的系統的深刻認識，這也無法提高學生發散思維，實現舉一反三，活學活用的目的。

3.習題微課的可行性分析

（1）教師的角度分析

微課是應高等數學習題課現狀而生的，具有時間較短、內容集中的特點，一個微課大約5-10分鐘左右。教師需要先從教學結構角度對教學重難點進行簡單梳理，然后在視頻中需要融入動畫這種直觀展示，充分吸引學生的目光，這種方式在帶動學生學習積極性方面可以起到很好的作用。作為高等數學習題課的輔助資源，這種“小而精”的特點適合每位學生的需求。

（2）學生的角度分析

在線上習題課教學過程中，學生可以隨時查看過去已學習的教學資源，可以反復觀看微課的教學內容，同時也可以查找優秀教學資源，提高學習效率，達到更好的自我復習的效果。

（3）基礎條件分析

在設計習題微課的過程中教師需要使用計算機和錄屏軟件，制作PPT錄制教師的板書和聲音等內容。為了達到更好的播放效果，可以利用“會聲會影”等軟件修剪視頻，添加背景音樂，字幕等，以保證微視頻播放的質量。

4.高等數學習題微課的設計過程

雖是微課，但教學理念與傳統教學一樣，體現以學生為中心，教學方法可以多種方式結合，比如講授法，案例式教學法，啟發式教學法和練習法等都是常用的教學方法，教學的組織也遵循引入、教學、評價等環節。具體設計過程如下：

（1）習題的選擇

制作微課的習題遵循兩條原則：一是典型性，二是層次性。所謂習題的典型性，是指這個習題在所講授的章節中，有一定的典型性，掌握了它，對掌握別的一些題目有觸類旁通的作用。典型題代表了某類數學問題，體現了某種數學思想和方法，可以讓學生形成整體脈絡，但忌諱綜合性過強，計算量過大，題意過于復雜，方法過于特殊的習題。

除了典型性原則外，還要遵循層次性原則。心理學研究指出，知識只有組織成系統，才會被學生迅速、準確而牢固地記憶并遷移，而這個系統應該是有序的，有層次的。有層次性的習題要按照由易到難，分門別類，有機串聯，最后形成一個比較清晰的線索，一個比較完整的結構，達到習題課“形散神不散”的境界。層次安排想要達到有機串聯的境界的話，主要通過變式，從一個題出發，通過變化條件、變化結論，逆向調換條件和結論得到新的題即一題多變，或者同一種解法，涉及了不同知識點的若干個題組合在一起得到多題一解，多題歸一的習題。筆者認為高等數學習題微課選擇的內容應是具有某類數學問題的解決方法的結構，即所謂的解題模塊。本文將以一類碩士研究生入學試題的解答為例，探索解題模塊在高等數學習題微課設計的作用。

（2）制作課件

按照微課的設計思路，用PowerPoint或Flash 軟件將課件制作完整，再配合課件寫好講稿，一般來說建議16：9的課件模版制作，避免寬屏時因拉伸導致文字圖片變形。

（3）錄制視頻

課件和講稿設計好后，利用計算機和錄屏軟件等媒體技術將所要講解的內容錄制下來，再通過會聲會影軟件進行修剪形成微視頻。

（4）上傳視頻

將制作好的微視頻上傳到相應網站或學生公共郵箱，供學生學習。

5.高等數學習題微課的教學實踐

高等數學習題微課的教學過程為：首先教師設計教學內容，制作并上傳微視頻，其次學生觀看學習微視頻，最后師生互動交流，微信群、QQ群收集學生問題并答疑。

為進一步理解習題微課是如何落地的，本文以一類碩士研究生入學試題為例，展示如何進行教學設計。本文列舉的一類碩士研究生試題分為三種類型，每種類型本文列舉一到兩個典型例子，具體內容如下：

第一種類型：應用積分第一中值定理和羅爾定理

這道習題符合前文介紹的典型性原則，通過這道題的學習讓學生掌握解決這一類數學問題的方法。本題的重點內容是學會如何從已知條件出發，構造出新函數，采用啟發式教學法，引導學生分析題目并學會總結類型。首先復習羅爾定理和積分第一中值定理的內容，其次引導學生分析問題，是先從結論入手還是從已知條件入手？如果從結論入手，思路是什么？如果從已知條件入手，思路又是什么？再次，將兩種方法的解題過程在課件中展示出來;最后總結此題的教學重難點，易錯點，此題的教學重點是學會應用積分第一中值定理，構造出新函數，難點是讓學生理解從結論入手和從已知條件入手，這兩種方式的區別與聯系是什么？易錯點是在已知條件中應用積分第一中值定理時需要注意區間的選擇，這里要強調，讓學生仔細體會，最后要將此題的一般方法應用于其他例子。

本題的類型是在第一類型的基礎上，重點內容是學會應用推廣的積分第一中值定理和羅爾定理，難點內容是引導學生分析此類型和第一種類型的區別與聯系。教學方法仍是啟發式教學法。首先復習推廣的積分第一中值定理，其次，引導學生分析問題，如何出現g（a）=g（b）？當應用推廣的積分第一中值定理時，分析將哪個函數提到積分號前可以得到羅爾定理的第三個條件，g（a）=g（b）呢？再次將此題的分析過程制作成課件展示出來。最后，總結此題的教學重點是深入理解推廣的積分第一中值定理應用，教學難點是學會根據題目形式，提取恰當的函數，湊出羅爾定理的第三個條件，朝著g（a）=g（b）的目標前進，從而抽象出新函數，易錯點仍是區間的選擇。

第三類型：前兩種類型的綜合應用

本題是第一種類型和第二種類型的綜合應用，教學重點是引導學生將此題變式，教學難點是理解變式后的習題規律。事實上，此題是習題1的一種變形，類似的變形多種多樣，因此要向學生強調可以將已知條件中的f（1）改成：

6.總結

有關高等數學習題微課的教學設計與實踐，本文重點介紹了習題選擇原則，并介紹了如何制作和上傳微視頻。隨著微課的不斷發展，微課的前景也更加廣闊。利用微課可解決高等數學教學中因課時不足，學生水平參差不齊導致的習題課教學難以實施的問題，改善了傳統習題課教學中諸如當堂課沒有解決，下課再重復講的現象，節約了課內教學時間，提供給學生較大的自主學習空間，特別對于拓展性空間較大，解題方法較多的習題，利用微課學習的效果更好，因此習題微課也要因題而異。在接下來的工作中，筆者將按照習題的選擇，繼續將習題微課類型化，并進行長期的實證研究，根據實踐反饋不斷地改進，期待經過實踐的修正，有更加完善的教學設計與學界分享。

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