自然數冪和公式推導與公式系數計算

李行星 李維炳

【摘要】本文用簡單的自然數和的公式，推導出自然數k次方的冪和公式，冪和公式由自然數n的不同次方的多項式表達，并提出了用初等數學知識計算多項系數的方法.

【關鍵詞】自然數;冪和公式;系數

一、前 言

求自然數任意k次方前n項和的公式（被數學界簡稱為冪和公式），是一個古老的數學問題，可追溯到2000多年前，至今人們對自然數的冪和公式仍在研究，推導公式的方法有多種，要用到Zeta函數、高階行列式、微積分、排列組合、二項式定理等數學知識，編程計算較復雜.在自然數冪和公式中，用n的不同次方的多項式表達最為簡單，只須求出多項式的系數，就可得到求和公式.基于這一思路，本文以自然數和的公式為基礎，用初等數學知識，推導出自然數k次方的冪和公式，并采用Excel電子表格計算出k=2～15次方冪和公式的系數.