淺談幾何證明題中輔助線的“無中生有”

【摘要】輔助線對于剛接觸幾何的學生來說非常陌生，為什么需要添加輔助線？怎么添加輔助線？都是學生所困惑的地方，它不是從天而降，而是學生根據已有的研究“垂直的判定”的經驗以及“三線八角”的基本圖形內化而來的，教師在教學過程中要最大限度地揭示該條輔助線產生的過程及必要性，讓學生體會輔助線怎樣在問題中“無中生有”，授人以魚不如授人以漁，彰顯這條輔助線的教育價值.

【關鍵詞】輔助線、三線八角、基本圖形、教材整合.

【課題】

1.“基本圖形”在初中幾何教學中的滲透策略研究;課題號L/2018/250.

2.波力亞解題思想在初中幾何命題教學中的實踐和延伸;課題號L/2018/251.

筆者在南京市教研室組織的初中數學案例設計大賽的教學研究課展示活動中，開設了研究課“平行線的判定”.本文對這節課的教學價值、教學設計及教學反思進行梳理，目的是與同行交流.

一、基于價值判斷的教學分析

平行線的判定是平面幾何的一個重要內容，它是研究幾何圖形數量關系與位置關系的基礎，是學習簡單的邏輯推理的素材，也是后續學習平行線的性質、三角形、四邊形等知識的基礎.

平行線的判定有三種方法，其中“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”（以下簡稱判定方法1）是另外兩個判定方法的理論依據，所以判定方法1就顯得尤為重要.目前，在初中幾何學習的體系中，將判定方法1作為“基本事實”，符合初一學生的思維水平，但由于缺乏必要的邏輯說理，很難讓學生在平面幾何學習之初就形成“言之有理，落筆有據”的觀念，因此在教學的過程中應更加注重得到這一基本事實的探索過程，培養學生的合情推理能力.另外，該方法中出現的第三條直線（輔助線）具有歷史性的意義，它是初中幾何中的第一條輔助線，輔助線對于剛接觸幾何的學生來說非常陌生，為什么需要添加輔助線？怎么添加輔助線？都是學生所困惑的地方，它不是從天而降，而是學生根據已有的研究“垂直的判定”的經驗以及“三線八角”的基本圖形內化而來的，教師在教學過程中要最大限度地揭示該條輔助線產生的過程及必要性，讓學生體會輔助線怎樣在問題中“無中生有”，授人以魚不如授人以漁，彰顯這條輔助線的教育價值.

二、基于教學分析的活動過程

1.同一平面內的兩條直線

問題1 在同一個平面內任意畫兩條直線.相交、垂直、平行.

追問1 如何判斷兩條直線垂直？

追問2 垂直的定義是什么？請完整敘述.90°（角的數量關系）——垂直（位置關系）

設計意圖：在畫圖的過程中，學生必然會調動已有的學習經驗，畫出“相交、垂直、平行”三種情形.一方面，可以自然出現本節課要研究的幾何對象——平行線;另一方面，畫垂直會用到三角板或量角器畫直角，這里其實就是用角的數量關系刻畫線的位置關系，再通過教師的提煉就可以形成一些數學化的認識，為后期的研究埋下伏筆.垂直的定義既是判定也是性質，也是我們研究幾何圖形的一般路徑.垂直定義語言敘述中要強調“兩直線相交所成的角中……”，重視“形結構”的文字描述，亦為后續“平行判定”完整的文字敘述打下伏筆.

2.探究平行線的判定方法

問題2 如何判斷兩條直線平行呢？

追問1 關于平行知道什么？可以用定義加以判斷嗎？

追問2 你會畫平行線嗎？（請學生上黑板演示，并將磁性三角板、直尺貼在黑板上，為后續教學做準備.）

追問3 能說出用直尺和三角板推平行的依據嗎？

追問4 還有其他判斷方法嗎？

追問5 有判斷位置關系的經驗嗎？

追問6 從數量關系來判斷兩直線是否平行可行嗎？兩條平行線有數量關系嗎？若有，請指出;若沒有可否“構造”出數量關系？

追問7 對于新構圖你熟悉嗎？與“三線八角”圖有什么關系？

設計意圖：對于平行，學生已知的有定義和平行線的畫法，定義作為判定“不可靠”，用三角板和直尺推平行還停留在操作層面上，學生說不清其中的道理，多數會提到平移，但有了“垂直判定方法”“三線八角”的鋪墊，學生不難想到添一條線“尋角”，從而解決問題，這里要注意小結“三線八角”與判定1的一般與特殊的關系.

追問8 你有什么發現？如何驗證你的猜想？

追問9 改變截線的位置，結論仍然成立嗎？

追問10 用運動的眼光觀察“三線八角”圖會有什么發現？

設計意圖：從猜想、驗證到歸納，是一個合情推理的過程，可以打下伏筆課后嘗試是否可以演繹推理得到該結論，視學情而定.

追問11 能否書寫判定方法1的文字、圖形、符號語言？

追問12 用彩筆將同位角的兩邊描一描，你會有什么發現？

追問13 圖中還有其他的同位角得到兩直線平行嗎？用彩筆描出.

追問14 彩筆描出的這些圖形有什么特點？

設計意圖：在判定1的文字語言表達中重視“形結構”敘述的完整性“兩條直線被第三條直線所截……”教會學生如何使用彩筆描角，關注基本圖形.

追問15 再回想剛剛用三角板和直尺驗證平行的過程，你有什么發現？你能說明“推平行”的正確性嗎？直尺、三角板都分別有著怎樣的作用？將畫圖過程留痕，你能發現它與判定1之間的關聯嗎？補圖試試.

追問16 此刻，作平行線還一定要用直尺和三角板去推嗎？只用三角板可以嗎？不用三角板呢？

作業：請畫出一組平行線，并寫出畫圖工具的名稱（至少兩種方案）.

設計意圖：回到問題的最初，做到首尾呼應，明確直尺、三角形的作用，讓操作抽象化、合理化.留下作圖痕跡亦做到了基本圖形的分離、構造.如果說從怎么“畫”平行線到怎么“判定”平行線，需要將基本活動經驗轉化為數學認識，那么從怎么“判定”平行線到“再畫”平行線，是知識應用、分析問題、解決問題能力的提升，也進一步打開了學生的數學思維.

問題3

還能找到其他數量關系也可得到兩直線平行嗎？

追問1 除了能利用“同位角”判定兩條直線平行，還有沒有別的辦法？

追問2 能不能分別用圖形語言（用彩筆把相應的角點出來）、文字語言和符號語言將你的想法寫下來？

追問3 你能說明理由嗎？

追問4 對于所羅列的角的數量關系可以進行恰當的梳理，需對所有角進行討論嗎？為什么只需對∠1，∠4進行討論？

追問5 哪些角的數量關系可以用文字語言表示？它們的符號語言呢？

追問6 能否寫出判定2完整的證明過程（包括推理依據）？在學習單上用彩筆描出相應的基本圖形.

追問7 能否寫出判定3完整的證明過程（包括推理依據）？在學習單上用彩筆描出相應的基本圖形.

追問8 剩下的角的數量關系與已得到的判定方法之間有什么關系？

追問9 以上的這些判定方法是孤立的嗎？

設計意圖：獨立畫圖思考，而后再和小范圍合作交流，最后是全班展示討論，這樣的過程，達到了思考的高效.在每個學生提出方法時，關注文字語言的概括性、符號語言的規范性，并引導學生進行規范證明，體會三種角（同位角、內錯角、同旁內角）的關聯性，融通三種判定方法，感受轉化的思想;對于角的數量關系的討論，絕大多數學生是“撞大運”或是從自己熟悉的角出發，這樣并不一定能思考全面，教學中應當引導學生先思再找，學會分析問題并注重方法的優化;這當中，也一定會有學生提出“外錯角相等，兩直線平行”“同旁外角互補，兩直線平行”等觀點，教學中也無須回避，適時引導學生認識到“外錯角相等”等價于“內錯角相等”“同旁外角互補”等價于“同旁內角互補”，故而在公理化體系中可以簡省.

3.小 結

（1）輔助線的閃亮登場不是憑空而降的，它并不是高不可攀，是以前解決問題的經驗（數量關系與位置關系的轉化）的遷移、未知到已知的轉化.

（2）從角度的數量可以得位置，是否可以從線的數量得位置，等到八年級我們將繼續研究.

4.課堂練習

例1 請在圖中添加一對角的平分線及角的數量關系使直線AB∥CD.

設計意圖：平行線判定方法的直接應用，并把前面所學的角平分線及垂直相結合.

例2 在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？

讓學生嘗試著進行“三段論”的書寫.

設計意圖：本題是判定1的特殊化，嘗試用波利亞的“怎樣解題”理論呈現思考過程，讓學生體會幾何解題的一般思路.用彩筆勾畫基本圖形.

三、基于教學活動的反思

1.基于學情進行合理的教材整合

蘇科版教材對于“平行線的判定”是分成兩個課時，判定1一個課時，判定2、3為一個課時.判定1是從同位角出發，而課堂實踐中也有學生一開始就從內錯角或者同旁內角著手，所以基于學情也可以在教學時做出教材整合的選擇.教材是教與學的基本依據和基礎載體，是最主要最重要的課程資源，它需要教師去“用”，教師既要尊重教材，又不應拘泥于教材，要對教材進行合理的整合，創造性地使用教材，有效地激活教材知識，真正體現“用教材教”[1].

2.關注學情用已有的知識和經驗推動思維的發展

學生有“垂直”的研究經驗作基石，不難想到由“數量關系”推得“位置關系”，再加上前一節課“三線八角”的學習也為本節內容打下了知識基礎，在研究“平行線的判定”時是可以找到突破口的，本節課的教學實踐也得以驗證.學生是學習的主體，教師是引導者與組織者，教師需要做的是更好地為主體服務，這就需要教師了解我們的主體，知道他們的“最近發展區”，加以引導，并擴大他們的認知圈，為推動下一步的思維發展打下基礎[2].

3.重視基本圖形的積累、加強結論證明的書寫能力

筆者在本節課中用彩筆反復勾畫“三線八角”，同時不斷進行幾何三種語言的互譯，這在幾何教學中都是非常重要的.基本圖形一般分為兩種： 平面幾何中的定義、基本事實及定理所對應的圖形可以稱之為理論型基本圖形;重要的例題和習題所對應的圖形可以稱之為經驗型基本圖形.前者所對應的圖形往往是最基礎的基本圖形，為此教師必須十分重視，后者往往是由兩個或兩個以上簡單的理論型基本圖形組合而成的，是以前者的積累為基石的.所以我們在教學中要不斷地幫助學生梳理、提煉基本圖形，也可以鼓勵學生自己去研究圖形，發現平面幾何的基本圖形，在學生的知識儲備中形成更大知識網，建構其自己的圖形體系，進而提高其分析問題的效率及學習興趣.在基本圖形的教學中要有意識地訓練學生對基本圖形結論的“三段論”書寫，可稱為“幾何小定式”，提高他們的書寫能力，避免出現幾何語言表述的不完整、混亂，真正做到言之有理、落筆有據[3].

幾何證明中輔助線的添加在初中數學學習的過程中一直是難點，但“授之以魚不如授之以漁”，學生一旦掌握了學習方法，將終身受益.掌握了數學學習方法就能把握好數學的本質，學好數學的內容，學習效果就會事半功倍[1].因此，作為一名數學教師，在平常的教學中應教給學生學習的方法，讓學生自我發展，掌握分析問題、解決問題的能力，增強數學學習能力，這也是我們教師在教學中所期望的，在今后的教學中筆者將做更多的嘗試.

【參考文獻】

[1]李燕，楊文君.活化教材，整合內容，讓教材“活”起來：以《比的認識》教學為例[J].教育觀察（下半月），2015（18）：53，57.

[2]秦曉.例談初中幾何證明中“輔助線的自然生成”[J].數學教學通訊，2019（11）：42-44.

[3]孫莉.淺談基本圖形分析法在幾何證明題中的應用：以2018南京中考第20題為例[J].