高考一輪復習中“函數壓軸小題”復習策略例談

張清

【摘要】函數是高中數學一個重要的知識板塊，縱觀近三年的全國高考試題和模擬題，函數的重要性不言而喻.本文主要通過具體實例分析了一輪復習中“函數壓軸小題”的復習策略，總結了利用函數的綜合性質解決問題的方法和技巧，為一輪復習備考指明了方向.

【關鍵詞】函數;高考試題;壓軸小題;綜合性質;備考

1.函數的綜合性質

縱觀近三年全國高考試題和模擬題，它們有一個共同特點，涉及函數的小題都是兩道，通常一道容易一道壓軸，壓軸小題都是考查函數的綜合性質.高中數學學習的函數的基本性質有：單調性、極值性、最值性、奇偶性、周期性和對稱性，綜合性質就是至少涉及兩個及以上基本性質.

2.復習策略

函數壓軸小題作為高考的必考內容，很多學生在解決這一類問題時都是一頭霧水，甚至直接放棄，這往往是與一輪復習效果不好有關.古人云：“授人以魚不如授人以漁”，在函數壓軸小題的復習中，教師更注重的是題型的歸納總結、方法的引導傳授，而不是根據一輪復習資料就題講題.下面我們通過具體的實例分析“函數壓軸小題”命題特點，以便學生能更好地掌握命題規律和解題策略，為有效的一輪復習備考提供有力的保障.

命題方向一：單調性和奇偶性綜合應用

解析：本題考查利用函數的單調性和奇偶性比較大小.解題思路是利用奇偶性將要判斷的函數值轉化到同一個單調區間上，再利用單調性就可以比較大小了，很容易能得出答案C.

總結：利用函數的奇偶性和單調性可以解決不等式求解問題、函數值大小比較問題.函數的奇偶性通常有兩種給出方式，一種是抽象函數，還有一種就是給出具體函數讓我們去判斷，而且基本都是偶函數，單調性給出方式亦如此.

命題方向二：單調性和周期性綜合應用

解析：本題考查了函數的奇偶性和單調性.從四個選項中可以看出，利用周期性可以排除C，D，利用單調性可以排除B，故正確選項為A.

總結：利用函數的單調性可以比較函數值大小和解不等式，利用周期性一般都是求值，所以二者結合出題都是比較函數值的大小，但也不排除選擇題中會出現讓我們選擇滿足奇偶性和周期性的一個函數.

命題方向三：單調性和對稱性綜合應用

解析：本題主要考查函數的性質和單調性的應用.

故本題正確答案為D.

總結：函數的對稱性分為直線對稱和中心對稱，關于直線對稱的函數就是廣義的偶函數，關于中心對稱的函數就是廣義的奇函數.解決此類問題之前要熟悉兩種對稱的數學表達式，這樣看到題目條件就知道是什么對稱，然后利用對稱性把給定的函數值轉化到同一個單調區間再進行比較大小，或者利用對稱性畫出函數圖像草圖，再利用數形結合思想也可以快速比較函數值的大小或求解相關不等式.

命題方向四：奇偶性和對稱性綜合應用

總結：利用函數的奇偶性和對稱性可以推出函數的周期性，或由函數的兩個對稱性（兩個中心對稱、兩個直線對稱、一個中心對稱一個直線對稱）也可以推導出周期性（讀者自行證明）.知道了函數的周期性，后續問題就迎刃而解了，這種類型的問題也是高考出題的重點.

命題方向五：奇偶性和周期性綜合應用

解析：本題利用給定的區間解析式畫出相應圖像，再利用偶函數補全[0，2]的圖像，再根據周期性可以畫出（-2，6）上的圖像，然后把所求方程根的個數轉化為兩個函數圖像交點的個數，通過數形結合的思想可以得到關于a的不等式，最后求解這個不等式就可以得出答案B.

總結：通過函數的奇偶性和周期性可以推導出函數的對稱性，解決問題時必須把這三個性質放在一起，通常出現的題型有：利用周期性和奇偶性求值和求解析式、判斷函數零點的個數或由函數零點的個數求參數的取值范圍，解決恒成立問題等.

命題方向六：對稱性和周期性綜合應用

總結：我們要熟悉周期性給出的四種形式，做題時，一看就要知道.對于這類問題的求解，只要是涉及較大數的函數值或者很多個數的函數值之和，我們肯定會想到周期性.但很多問題不是單一考查周期性，所以我們要充分利用好對稱性進一步求解.

命題方向七：奇偶性、單調性和周期性綜合應用

解析：本題考查了利用函數的奇偶性、單調性和周期性綜合性質去畫函數在要求區間上的圖像，然后利用數形結合的思想去求解方程根（或函數零點）問題.首先利用奇偶性和單調性畫出[0，2]上的草圖，然后利用奇偶性和周期性可以推出函數圖像關于x=2對稱，進而可以畫出[2，4]上的圖像，再利用奇偶性可以畫出[-4，0]圖像，所以一個周期圖像就畫出來了，這樣所要求區間圖像也能很好地畫出來，最后的問題就變得很簡單了，答案為-8.

總結：這類問題雖然只考了3個性質，但是用到的是4個性質.里面也是有規律可循的，一般出題是告訴單調性，奇偶性、周期性和對稱性只會告訴兩個，因為有了兩個我們就可以自然推導出第三個.對于這樣類型的綜合題，我們一定要全面分析好函數的綜合性質，然后畫出函數的圖像，利用數形結合的思想很快就能解決問題.

命題方向八：奇偶性、單調性和最值性綜合應用

解析：本題位于2019年全國一卷選擇倒數第二題，考查了具體函數的綜合性質.由函數解析式很容易判斷①是對的;對于②很容易把原函數中兩個絕對值符號直接去掉，解析式變成了2sin x，所以②錯;對于③，我們很容易利用奇偶性畫出函數圖像，通過圖像可以得知函數零點有3個，所以③也是錯誤的;很容易知道④是對的.所以本題答案是C.

總結：如果函數具有奇偶性，我們只需要知道定義域一半區間上的單調性就可以了，通過對稱性補全整個區間上函數圖像，有了函數的單調性，最值問題就變得非常簡單了.上題雖然是具體函數，我們也可以在抽象函數中考查同樣內容.

命題方向九：單調性、極值性和函數零點綜合應用（參考2019年全國三卷理科數學選擇題12題）

3.結束語

掌握函數的綜合性質是學好函數知識的前提，也是順利解決高考試題的一個重要策略.特別是在高三的一輪復習過程中，我們怎樣才能使得復習變得事半功倍，這就需要老師多動腦思考如何“授人以漁”，真正教會學生解決函數小題的方法.雖然“函數壓軸小題”層出不窮，但常考的題型和涉及的方法是有限的，需要老師拋開題海戰術，從典型例題和思想方法上面教會學生.另外，幫助學生消除畏難心理，強調這塊內容在高考中的重要性，讓學生真正喜歡上做函數壓軸小題，我相信這樣的復習一定是成功的.

【參考文獻】

[1]李思源.高中數學“函數壓軸小題”命題方向及解題策略例談[J].數學學習與研究，2018（03）：130.

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