凹凸函數教學對學生創新思維方式培養的探索

【摘要】如何改進教學質量、提高學生對數學的學習興趣，進而培養學生的科學素養與從事科學研究的創新性思維方式， 是高等院校教師面臨的與提高教學效果和教學質量同等重要的另一個挑戰.文章以凹凸函數的教學方法為切入點，結合教學實踐，介紹了如何通過簡單的定義與性質逐步得到出乎意料的深刻的數學定理與應用結果.

【關鍵詞】凸函數;切線;單調函數;不等式

【基金項目】北京航空航天大學教改立項2018雙百工程B級課.

凹凸函數嚴格的數學定義看起來很抽象，如果在課堂上直接給出標準的數學定義，會讓學生覺得這一定義是憑空產生的，不知道為什么要定義這樣的函數.但是，學生通過觀察凹凸函數所對應的圖形，就可以很直觀地感受到凹凸函數與函數作圖的緊密關系以及定義凹凸函數的必然性.

彎曲方向是圖形最獨特的性質之一.知道一個圖形的彎曲特征對全面正確地得到函數的圖像與確定臨界點的位置具有同等重要性.圖形是如何彎曲的實際上就告訴了我們圖形的形狀.對于凹弧（向上彎曲），連接其上任意兩點的線段（弦）總是位于這兩點之間的弧的上方;而對于凸弧（向下彎曲），弦則位于這兩點之間的弧的下方.對于光滑的凹弧，它在任意點處的切線均位于整個凹弧的下方;對光滑的凸弧結論則正好相反.高等數學課程中就以此幾何描述引出函數圖形凹凸性的定義，并用來描繪（可導）函數的圖形，也利用函數的凹凸性證明一些簡單的不等式.數學分析課程則是從幾何描述引入凹凸函數的定義，并利用凹凸函數來證明一些不等式.在通常的教學過程中，受到學時的限制，一般只能講述凹凸函數的簡單性質及其在函數作圖中的應用，很少涉及比較深刻的函數性質討論或在不同領域的漂亮應用.本文通過分析凹凸函數的性質給出一些應用實例，并利用凹凸函數來證明若干重要的不等式.教師在具體的教學過程中可以根據具體情況，選取不同的例子來說明凹凸函數的一些本質.

四、總?結

本文從凹凸函數基本描述開始，引入凹凸函數嚴格的數學定義，并證明了凹凸函數的一些基本性質，最后通過例題講述了凹凸函數在證明不等式中的各種巧妙應用，對培養學生的數學思維方式和創新能力很有幫助.這些也是教師研究型教學所追求的目標，需要任課教師從專業基礎、科研方向和教學方法等角度設計形式多樣的教學方案，使得學生通過具體內容的學習，不僅能夠掌握課堂所講述知識，還可以舉一反三、觸類旁通，迅速學會解決同類問題的思想和方法，從而培養學生學習數學的興趣及未來從事數學研究的能力.

【參考文獻】

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