例談初中視角下圓的動態問題的解決策略

彭麗華

動態幾何問題是近幾年中考的一個高頻考點，如2019年蘇州中考數學卷第27題就是動態幾何和代數的綜合題，此類題目的解題關鍵就是要先理清是哪一種類型的動態問題，再確定臨界條件。本文通過實例分析，對圓的動態問題的解題策略及方法角度進行探究。

為清楚了解學生解決這類題型的疑問和難點，對課堂上例題的錯因進行分析，發現未得分學生中，60%是因為審題失誤而失分的，因此，對于此類題型，要引導學生明確解題策略，從知識、方法的角度思考問題。

例題（軌跡是圓的動態問題）：如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是中點，F則是線段BC上的動點，若將△EBF沿EF所在直線折疊，得到△EB'F，則B'D的最小值為多少？

【解題方法】本題根據圓的定義來確定動態軌跡問題，由動態問題轉化到定圓問題。

【解題策略】要按照“整體感知→定臨界條件→找基本圖形→建立模型→問題解決”的順序進行數學分析，其中，建立模型還要確定動態圖形的始末位置以及找不變化量之間的數量關系。

【例題解析】

（1）整體感知、定臨界條件：本題求解的則是動點B'到定點D的最小距離，本題中E為定點，EB'也就是定長。

（2）找基本圖形：根據圓的定義可知，動點B'的軌跡就是以E為圓心，EB'為半徑的圓弧，如圖2。

（3）建立模型、問題解決：根據已知可得到d=DE=，圓的半徑r=AE=2，則B'D的最小值為定點D到圓弧的最短距離，為d-r=-2。

還有一類就是動態圓與直線相切時的距離求解問題，如圖3所示，∠BAD=30°，已知圓的半徑為2，AO=8，若⊙O沿著OD移動直至與AB相切時，求圓心的運動距離。此類題型就需要作常用輔助線，即連接圓心與切點，這種題目需注意的是要分兩種情況討論，即圓在直線的左側與右側兩類。

若將上圖稍作變式，如圖4：點P沿AE運動，過點P作圓的切線PQ，則PQ的最小值為多少？那么解題關鍵則在于將所求轉化到OP最短時，也就是OP⊥AE，才能使得PQ最小。

上述實例中不僅應用了轉化思想，還充分展示了模型思想在幾何問題中的重要性，解題時通過整體感知迅速找到思維的切入點，再通過確定臨界條件找到動態的范圍，繼而根據確定的基本圖形來建立模型，問題得以解決。因此，教師要注重引導學生學會提煉數學模型，由此來解決一系列圓的動態問題。