落實(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

黃靜 陳福勤

一、背景介紹

在以“讓每個(gè)孩子享受成功——核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué)”為主題，四校聯(lián)合開展同題異構(gòu)教學(xué)展示活動(dòng)中，筆者觀摩了兩位老師的《6.2一次函數(shù)（1）》的課堂教學(xué)，在課堂中，兩位老師都設(shè)置了對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式重新賦予實(shí)際意義的活動(dòng)，但學(xué)生在這一環(huán)節(jié)表現(xiàn)平平，老師最后也都只能匆匆收?qǐng)觯M(jìn)入下一環(huán)節(jié)。課后，筆者對(duì)學(xué)生在這一環(huán)節(jié)的表現(xiàn)進(jìn)行了深入的思考，對(duì)一次函數(shù)定義的引入也有一點(diǎn)淺顯想法，現(xiàn)與大家做一些交流。

二、案例呈現(xiàn)與分析

1.案例（一）片段

師：現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題都可以歸結(jié)為函數(shù)問題，最近學(xué)校剛組織了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，大家思考其中體現(xiàn)的函數(shù)模型。

情景1：給汽車加油的加油槍流量為25 L/min。如果加油前油箱里沒有油，那么在加油過程中，用y（L）表示油箱中的油量，x（min）表示加油時(shí)間。

（1）y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式？

（2）如果加油前油箱里有6L油，那么y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式？

情景2：汽車以80 km/h的速度從學(xué)校開始行駛，x h后，離學(xué)校距離為y km。那么y與x之間又有怎樣的函數(shù)表達(dá)式呢？

情景3：若景區(qū)距離學(xué)校450 km，返校途中，汽車以80 km/h 的速度行駛，行駛x h后與學(xué)校距離為y km，那么y和x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式？

……

師：這些問題的函數(shù)表達(dá)式分別為：y=25x，y=25x+6，y=80x，y=-80x+450。分析這些函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，能否用一般的式子表示？

……

師：你能否對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式“y=25x+6”重新賦予實(shí)際意義？

……

【分析】授課教師有效地組織廣大學(xué)生積極參與設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生的獨(dú)立分析、歸納的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)興趣。教師主要著眼于一次函數(shù)表達(dá)式形式上的特點(diǎn)。

2.案例（二）片段

分別寫出下列函數(shù)表達(dá)式，并指出其中的自變量：

（1）第二中學(xué)到第一中學(xué)的路程為5 km，汽車從第二中學(xué)到第一中學(xué)行駛的時(shí)間t （h）與速度v（km/h）之間的關(guān)系;

（2）加油站占地是一個(gè)正方形場地，加油站占地面積S（m2）與它的邊長a（m）之間的關(guān)系;

（3）如果每升汽油6.4元，油卡中有金額200元，油卡的余額y（元）與加油數(shù)量x（升）之間的關(guān)系;

（4）給汽車加油的加油槍的流量為25 L/ min，加油過程中加油量y（L）與加油的時(shí)間x （min）之間的關(guān)系;

（5）給汽車加油的加油槍的流量為25 L/ min，如果加油前，汽車油箱里還剩有6 L汽油，那么加油過程中油箱中的油量y（L）與加油的時(shí)間x （min）之間的關(guān)系。

……

師：這些問題的函數(shù)表達(dá)式分別為：t=5/v，S=a^₂，y=-6.4x+200，

y=25x，y=25x+6，將以上函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行分類，并說出你的分類依據(jù)。

……

師：你能否對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式“y=25x+6”重新賦予實(shí)際意義？

……

【分析】解決問題的情境類型具有多樣性，關(guān)于自變量的代數(shù)式類型主要有整式和分式，整式有一次式和二次式，讓老師和學(xué)生充分體會(huì)一次函數(shù)表達(dá)式的多樣性。通過老師和學(xué)生的問題分類、辨別等活動(dòng)，加深對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式的形式和特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和理解。

3.教學(xué)案例再設(shè)計(jì)

兩位老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，從一次函數(shù)定義的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，多角度、多層次地設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上達(dá)成度很高，但對(duì)一次函數(shù)定義中的“k”在實(shí)際問題中的意義關(guān)注不夠，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式“y=25x+6”的本質(zhì)意義理解不透。雖說老師在設(shè)計(jì)中突出的教學(xué)理念是“具體——抽象——具體”，但是學(xué)生沒有基本的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，回到具體的問題上就可能會(huì)顯得比較茫然。鑒于此，將教學(xué)設(shè)計(jì)修正如下：

師：現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題都可以歸結(jié)為函數(shù)問題，請(qǐng)大家觀察下列三個(gè)問題情境，思考其中體現(xiàn)的函數(shù)模型。

情景1：已知彈簧秤中彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量m（kg）之間具有如下表所示的關(guān)系：

m/kg 0 1 2 3 4 5

y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5

請(qǐng)寫出y與m之間的函數(shù)表達(dá)式。

情景2：如圖1，張師傅駕車從甲地到乙地勻速行駛，已知行駛中油箱剩余油量y（升）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系用如圖中的線段表示，根據(jù)圖像寫出y與t的函數(shù)表達(dá)式。

情景3：如圖2， A、B兩地相距 200 km，一列火車從B 地出發(fā)沿 BC 方向以 120 km/h 的速度行駛，在行駛過程中，這列火車離A 地的路程y（km）與行駛時(shí)間x （h）之間的函數(shù)關(guān)系式是？

……

師：這些問題的函數(shù)表達(dá)式分別為：y=0.5x+12，y=-10x+60，y=120x+200。

……

師：你能否對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式“y=-10x+60”重新賦予實(shí)際意義？

……

【分析】問題設(shè)置三個(gè)情境，從多種形式呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，教師從函數(shù)的定義出發(fā)，強(qiáng)調(diào)對(duì)給定一個(gè)變量的值，另一個(gè)變量有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生分析得出函數(shù)表達(dá)式。在提煉一次函數(shù)定義時(shí)從兩個(gè)層面進(jìn)行分析，一是函數(shù)表達(dá)式右邊關(guān)于自變量的代數(shù)式的形式特征;二是關(guān)注自變量變化相同時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化規(guī)律，即定義中的“k”在實(shí)際問題中的意義。當(dāng)學(xué)生有了這一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，有效地突破了對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式重新賦予實(shí)際意義這一難點(diǎn)，凸顯了對(duì)一次函數(shù)本質(zhì)屬性的理解。

三、深入反思

1.數(shù)學(xué)定義的教學(xué)，需要多關(guān)注數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)屬性

我們?cè)跀?shù)學(xué)定義的教學(xué)中需強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)定義本質(zhì)，要特別關(guān)注定義與數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;關(guān)注數(shù)學(xué)規(guī)律的基本形成及其過程;數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用及其提煉;數(shù)學(xué)理性精神的培養(yǎng)及其體驗(yàn)等方面。一次函數(shù)定義的教學(xué)是一個(gè)由具體到抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高了初中學(xué)生的思維和認(rèn)知能力水平，是學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上逐步上升到理性認(rèn)識(shí)的一個(gè)過程。在教學(xué)中，我們要努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，突出和把握數(shù)學(xué)的理論主干和基本知識(shí)，淡化數(shù)學(xué)旁枝末節(jié)。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，需要多關(guān)注學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

大部分的學(xué)生由于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完善，缺乏系統(tǒng)性，數(shù)學(xué)知識(shí)零散，不能深入地辨析一個(gè)數(shù)學(xué)問題及其本質(zhì)，找不出其所屬數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的含義和類型，從而不能快速準(zhǔn)確地找到解決數(shù)學(xué)問題的基本方法和切入點(diǎn)。數(shù)學(xué)教師在組織設(shè)計(jì)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，要充分結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)結(jié)構(gòu)和需求，在已有的數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)的積累的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開展有效的活動(dòng)，使新的知識(shí)和學(xué)習(xí)活動(dòng)內(nèi)容充分結(jié)合學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)結(jié)構(gòu)并相互作用，從而引導(dǎo)學(xué)生形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)結(jié)構(gòu)。

3.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，需要多一些深層次的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課堂是數(shù)學(xué)教師主動(dòng)實(shí)施教學(xué)目的的一個(gè)主陣地，也是教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂中獲取豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)自主創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)樂趣和價(jià)值的一種有效途徑。但現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂還是在進(jìn)行一種表層學(xué)習(xí)，通常只是為了考試而孤立地、粗淺地記憶知識(shí)和材料，而沒有對(duì)知識(shí)和材料進(jìn)行分析、提煉、整合和反思，從而整個(gè)學(xué)習(xí)的過程就沒有了深度，無法將自己所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通、舉一反三、推陳出新。課堂教學(xué)是實(shí)施新課程的主渠道，這也就要求我們的課堂教學(xué)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)引領(lǐng)學(xué)生在實(shí)踐中去自主進(jìn)行探索和合作交流，自主進(jìn)行知識(shí)構(gòu)建，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與技能的綜合學(xué)習(xí)與自主探索中，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深層次的綜合加工，產(chǎn)生高層次的創(chuàng)造性思維、深層次的自我體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)內(nèi)在精神品質(zhì)的提升。