基本不等式的應(yīng)用

葛怡彤

摘? 要：基本不等式選自于普通高中教科書（人教A版）必修一第二章內(nèi)容，它不僅是不等式這一章的核心，而且在高中數(shù)學(xué)教材中占據(jù)重要的地位。在不等式的證明以及利用基本不等式求最值等問題中起到工具性的作用。將基本不等式應(yīng)用于具體的實(shí)際問題中，有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，是理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的良好示范。該文以基本不等式中的常見題型為例，探究其常見題型的解題思路。

關(guān)鍵詞：基本不等式? 工具性作用? 常見題型? 解題思路

中圖分類號： G63? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3791（2020）10（c）-0138-03

Abstract： The basic inequality is selected from the second chapter of compulsory 1 in the general high school textbooks （Teaching A version）. It is not only the core of the inequality chapter， but also occupies an important position in the high school mathematics textbooks. It plays an instrumental role in proving inequality and using basic inequality to calculate the maximum value. It is a good demonstration of the combination of theoretical mathematics and applied mathematics to apply basic inequalities to practical problems and effectively cultivate students' mathematical thinking ability. In this paper， the common types of questions in basic inequalities are taken as examples to explore their solutions.

Key Words： Basic inequality; Instrumental role; Common question types; Ideas of solving a problem

1? 問題探究

1.1 基本不等式的地位

不等式在高中數(shù)學(xué)教材中占據(jù)重要的一部分，并且在日常生活中也經(jīng)常會遇到很多關(guān)于不等式的問題，其實(shí)可以說不等式貫穿了我們整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的過程，以及在初中階段和小學(xué)階段不等式也是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的重點(diǎn)內(nèi)容，由此可見不等式的重要地位。而不等式中包含著一個重要的組成部分，即基本不等式，它不僅可以使數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化，而且也為學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)其他不等式的知識做鋪墊。

1.2 基本不等式成立的條件

“一正二定三相等”是不等式成立的3個基本條件，也是在解決不等式問題中所應(yīng)用的3個關(guān)鍵性步驟。即”一正二定三相等”是指在使用不等式a+b≥2證明以及求解問題答案時所規(guī)定和強(qiáng)調(diào)的特殊要求。“一正”是指基本不等式研究的對象都是非負(fù)數(shù)，這是基本不等式成立的首要條件即基礎(chǔ)條件。“二定”是指若a+b為定值時，可以用正向不等式求解ab的最大值;若ab為定值時，可以用反向不等式求解a+b的最小值。“三相等”是指當(dāng)且僅當(dāng)a與b相等時，等式成立[1]。

1.3 基本不等式知識解讀

基本不等式實(shí)質(zhì)是平方的非負(fù)性，包括兩種情形：正數(shù)和零，后一種情形就是等號成立的條件。也就是說，基本不等式問題“等價”于平方的非負(fù)性問題，平方的非負(fù)性是基本不等式的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，基本不等式是平方的非負(fù)性的外在表現(xiàn)[2]。

兩個非負(fù)數(shù)間的關(guān)系可以用基本不等式來加以反映，表示兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)。上述提到的關(guān)系也是基本不等式的外在特性。基本不等式的幾何意義是指半徑不小于半弦。根據(jù)基本不等式的幾何意義，通常可以解決一些實(shí)際問題，對于最值問題的求解也起到工具性的作用。同時，其他的不等式也可以用基本不等式加以證明。

學(xué)生學(xué)習(xí)基本不等式有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高分析、總結(jié)、概括問題的能力，便于學(xué)生形成自己的思維體系和有效對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整合，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

1.4 基本不等式對于提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意義

學(xué)生在學(xué)習(xí)基本不等式的過程中，學(xué)生從基本不等式的實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)問題，在這個過程中培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。基本不等式作為不等式的一個重要組成部分，雖然屬于代數(shù)，但是對于幾何領(lǐng)域也有非常重要的作用，充分了體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)過程中滲透了直觀想象素養(yǎng)。對于基本不等式的證明方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提升邏輯推理素養(yǎng)[3]。

1.5 基本不等式常用公式

2? 基本不等式中的典型例題

2.1 利用基本不等式求最值

方法總結(jié)：求函數(shù)最值時，基本不等式起到了重要的作用，但是應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意應(yīng)用基本不等式的條件，等號是否可以取到。若不滿足基本不等式的應(yīng)用條件，是否能進(jìn)行轉(zhuǎn)化或求解。若等號取不到，是否可以借助函數(shù)圖像，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值。同時選擇合理的解題方法，可以簡便運(yùn)算，更好地對問題進(jìn)行求解[2]。

2.2 證明不等式問題

方法總結(jié)：利用基本不等式證明不等式問題時，通常所給的不等式不符合基本不等式的機(jī)構(gòu)，需要通過使用一定的變形或轉(zhuǎn)化，進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旌蟛拍芨行У膽?yīng)用基本不等式。

2.3 含參數(shù)不等式恒成立問題

方法總結(jié)：基本不等式中含參數(shù)恒成立問題，通常將參數(shù)進(jìn)行分離，然后在利用基本不等式的性質(zhì)求得其最值，從而得到所求參數(shù)的范圍[3]。

2.4 應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題

問題5：如圖1所示，某開發(fā)商計(jì)劃將一塊三角形地皮ABC中的一角APQ開發(fā)做樓盤，已知角A大小為120°，AB和AC的長度不小于200 m，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處鋪路。

已知AP段圍墻高1 m，AQ段圍墻高1.5 m，造價均為每平方米100元。若圍圍墻用了20000元，（1）若圍墻AP，AQ總長度為200 m，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？（2）已知AP段圍墻高1 m，AQ段圍墻高1.5 m，造價均為每平方米100元。若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？

方法總結(jié)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，抽象出函數(shù)的解析表達(dá)式，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最值，當(dāng)?shù)玫胶瘮?shù)的最值時，我們應(yīng)該在定義域中解決這個問題[4]。

參考文獻(xiàn)

[1] 朱占奎，陸賢彬.微專題十七基本不等式的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（1-2）：112-115.

[2] 謝欣宇.高中基本不等式教與學(xué)的問題與對策[D].哈爾濱師范大學(xué)，2019.

[3] 張偉平.從基本不等式談中學(xué)生對等價思想的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009（2）：83-85.

[4] 徐程.微專題三十基本不等式的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（3）：53-56.

[5] 繆林.基本不等式的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（1-2）：76-80.

[6] 孫玲.基本不等式復(fù)習(xí)課三部曲[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（7）：15-16.