基于凸優(yōu)化理論的可掃描稀疏陣列綜合

孔 玥, 邱明華,黃 晟, 祁崢東 ,陳 浩

(1.中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153 ； 2.安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

0 引 言

陣列天線方向圖綜合的研究?jī)?nèi)容是把若干個(gè)天線單元按照一定的組合布陣方式進(jìn)行排列和激勵(lì)，利用電磁波的疊加和干涉機(jī)制，將天線陣列中多個(gè)相干單元的輻射電磁波在空間相互干涉并疊加，使得電磁輻射在某些空間區(qū)域得以加強(qiáng)，而在其他一些空間區(qū)域減弱，使得不變的總輻射能量在空間重新分布以產(chǎn)生特殊的輻射性能指標(biāo)，以實(shí)現(xiàn)理想的方向圖。與單個(gè)天線相比，陣列天線綜合的優(yōu)勢(shì)即在于可以實(shí)現(xiàn)特殊的方向圖，例如可掃描波束、復(fù)雜波束形成(較強(qiáng)的方向性、窄波束、高增益)等。綜上所述，各種類型的陣列天線在電子對(duì)抗、無線通信和雷達(dá)聲吶等領(lǐng)域擁有極為廣泛的應(yīng)用前景。[1-2]

隨著軍用和民用領(lǐng)域?qū)o線通信系統(tǒng)和雷達(dá)聲吶的靈敏度、分辨率等性能指標(biāo)要求不斷提升，使得陣列天線的規(guī)模向著超大型、巨型陣列發(fā)展。與此同時(shí)，稀疏陣的布置可以有效減少天線單元(通道)的總數(shù)，從而降低饋電網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度，以降低系統(tǒng)的造價(jià)。因此，關(guān)于稀疏陣設(shè)計(jì)的研究受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注[3-4]。然而，稀疏陣列綜合中的陣元位置優(yōu)化屬于非線性優(yōu)化問題，以往尋優(yōu)需要采用智能優(yōu)化算法，如粒子群算法(PSO)[5]、遺傳算法(GA)[6]、 蟻群優(yōu)化算法(ACO)[7]和模擬退火法(SA)[8]等。盡管此類全局優(yōu)化算法在陣列綜合領(lǐng)域取得了良好的應(yīng)用成果，但通常只能適用于陣元單元數(shù)量較少的直線陣(平面陣)綜合問題。當(dāng)處理大型陣列綜合問題時(shí)，這些算法會(huì)暴露出運(yùn)算量激增且陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，從而導(dǎo)致優(yōu)化性能明顯下降。目前，針對(duì)大型稀疏陣列的綜合問題是雷達(dá)工程領(lǐng)域一個(gè)熱門的研究方向。

稀疏陣綜合的目的是陣列元數(shù)最少化，此陣列綜合問題屬于L0范數(shù)最小化問題，即NP困難問題。本文針對(duì)以減少陣列單元總數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)的稀布陣綜合問題，將網(wǎng)格中陣元均勻離散化分布的陣列等同于一個(gè)過采樣的虛擬均勻陣。借助壓縮感知(Compressed Sensing，簡(jiǎn)稱CS)理論，上述高度非線性陣列優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為CS的稀疏信號(hào)重建問題，并采用迭代加權(quán)的最小化L1范數(shù)的凸優(yōu)化算法求解得出激勵(lì)幅度及可用陣元位置。

利用相位的規(guī)律變化實(shí)現(xiàn)方向圖在期望空域內(nèi)掃描是陣列綜合領(lǐng)域中一種最基本的應(yīng)用，通常還需滿足副瓣電平的閾值限制要求。以往的文獻(xiàn)資料中[9]稀疏陣綜合中的低副瓣賦形僅限于法向控制，忽視了遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖在掃描狀態(tài)下峰值副瓣電平急劇惡化的情形。這主要是由于以往算法都只考慮了法向方向圖可見區(qū)域的綜合，而忽略了陣列在掃描狀態(tài)下不可見區(qū)域的高副瓣或柵瓣進(jìn)入可見區(qū)域的情形。

針對(duì)可掃描陣列低副瓣綜合問題，本文綜合區(qū)域不限于可見區(qū)域，而是將范圍擴(kuò)大至陣列設(shè)計(jì)要求的俯仰向最大掃描角。將此思想與最大化稀疏陣列綜合方法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了可掃描最大化稀疏陣列低副瓣設(shè)計(jì)，且本文算例中對(duì)掃描范圍與稀疏陣的陣元縮減比的關(guān)系進(jìn)行了對(duì)比。

此外，本文也討論了凸優(yōu)化(Convex programming optimization, CP)方法在平面陣列綜合中的應(yīng)用，提出了一種結(jié)合動(dòng)態(tài)控制策略的凸優(yōu)化算法，將控制主瓣寬度的非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解，在天線主瓣不展寬的情況下可以有效降低峰值副瓣電平。仿真實(shí)驗(yàn)表明，與傳統(tǒng)陣列相比，本文提出的陣列可以用更少的陣元數(shù)實(shí)現(xiàn)相同角度的波束掃描。

1 算法應(yīng)用模型

1.1 遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖模型

本節(jié)假設(shè)有2M×2N個(gè)各向同性陣列單元均勻分布一個(gè)平面上，各陣元等間距排布，沿x軸和y軸陣元間距分別為dx和dy，則其遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖可以表示為

(1)

a=[a1，1,a1，2,…,a2M，2N-1,a2M，2N]，

w(u,v)=[ejβ[(-M+1/2)du+(-N+1/2)du]·

ejβ[(-M+1/2)du+(-N+3/2)du],…,

ejβ[(M-1/2)du+(N-3/2)du]·

ejβ[(M-1/2)du+(N-1/2)du]]

綜上所述，遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖(1)表述為AF=wa。

1.2 凸優(yōu)化方法

本文將凸優(yōu)化算法應(yīng)用于陣列天線方向圖綜合問題，以期減少陣列中單元數(shù)量的同時(shí)提高方向圖性能，優(yōu)化問題表述為

(2)

這里，遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖|AF|2的主瓣區(qū)域(SB)應(yīng)盡可能地逼近期望波形d(u)，其中d(u)∈R+。|AF|2與d(u)之間的距離ε盡可能地縮小。副瓣部分(SB)的峰值電平應(yīng)該小于ρ(u)。

從式(2)中可以明顯看出，控制主瓣寬度的約束條件為非凸函數(shù)。這里對(duì)以往凸優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，引入多變量的Multi-Convex算法，通過迭代的多凸模型來近似求解關(guān)于控制主瓣寬度的非凸問題，表述如下：

|(wal)Hwar-d|≤ε,al=ar|war|≤ρ

(3)

|car-d|≤ε，al=ar

(4)

為快速獲得全局最優(yōu)解，這里利用文獻(xiàn)[10-13]中的基于迭代傅里葉算法獲得的滿足式(2)的激勵(lì)權(quán)值作為本節(jié)凸優(yōu)化算法的初值。

根據(jù)文獻(xiàn)[10-13]，針對(duì)掃描陣列低峰值副瓣綜合問題，待綜合的區(qū)域不能僅限于可見區(qū)域，應(yīng)將綜合區(qū)域擴(kuò)大到u2+v2≤r2范圍，其中r=1+sinθm。這里θm為陣列掃描過程中需要實(shí)現(xiàn)的俯仰向最大掃描角。

1.3 迭代加權(quán)L1范數(shù)理論

為使陣列盡可能地稀疏,即陣列中單元總數(shù)盡可能少，稀疏陣列的優(yōu)化問題由下式表述:

min‖a‖0

(5)

式(5)表示激勵(lì)向量或矩陣中非零激勵(lì)陣元的個(gè)數(shù)的累加。正是L0范數(shù)的這一特點(diǎn)使得其式(5)范數(shù)作為稀疏化的度量非常適合。但是，式(5)的L0范數(shù)本質(zhì)上屬于NP問題，無論陣列規(guī)模大小均難以求解。為解決此問題，這里將式(5)的約束問題松弛變換到維度更高的L1范數(shù)最小化問題，函數(shù)如下：

min‖a‖1

(6)

本節(jié)中，利用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法完成式(5)中L0范數(shù)最小化的陣列稀疏化設(shè)計(jì)目標(biāo)。在迭代過程中上一步迭代完成的封閉解將作為下一步迭代的初值。結(jié)合第1章激勵(lì)矢量表達(dá)式，在第k+1次迭代過程中激勵(lì)約束表述為

(7)

為防止式(7)在迭代過程中出現(xiàn)分母為零的情況，這里引入?yún)?shù)μ(>0)，則基于凸優(yōu)化理論的可掃描稀疏陣列綜合問題可以表述為

(8)

2 計(jì)算實(shí)例

為了驗(yàn)證第1章中提出的凸優(yōu)化算法，本文選擇文獻(xiàn)[14]中凸優(yōu)化算法綜合得出的圖15作為期望方向圖。本節(jié)所有仿真算例均采用臺(tái)式計(jì)算機(jī)，硬件數(shù)據(jù)如下：處理器為Intel? CoreTMi5-6500T，主頻為3.4 GHz，內(nèi)存為12 GB。仿真軟件為MATLAB R2018a。式(8)中μ值選擇0.001。

初始陣列選擇口徑為5λ×5λ的正方形平面陣。假定單元方向圖各向同性，且各陣元等間距排布，沿x軸和y軸陣元間距分別為0.5λ和0.5λ。仿真過程中，待綜合的區(qū)域不僅限于可見區(qū)域，而且還將綜合區(qū)域擴(kuò)大到51°(與文獻(xiàn)[14]中設(shè)置相同)。此角度為陣列設(shè)計(jì)指標(biāo)中的期望掃描范圍上限值。

圖1給出了本文算法綜合優(yōu)化后得到的三維遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖。

圖1 法向三維方向圖

值得注意的是，圖中已將副瓣區(qū)域擴(kuò)大至不可見區(qū)域，顯示了u2+v2≤[1+sin(51°)]2范圍內(nèi)的方向圖。方向圖的峰值副瓣電平為-24.39 dB，與文獻(xiàn)[14]中的峰值副瓣電平一致。圖2給出了歸一化u方向和v方向切面圖。

綜合后得出的稀疏陣的陣元激勵(lì)幅度和分布如圖3所示。

圖2 歸一化u/v切面遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖

圖3 105個(gè)單元非對(duì)稱稀疏陣的 陣元位置與激勵(lì)幅度

如圖3中的陣元激勵(lì)幅度和位置所示，稀疏陣中的陣元總數(shù)(The Number of Active Elements,簡(jiǎn)稱Ne)僅為105，實(shí)現(xiàn)了13.22%的陣元縮減比(Element Number Reduction Ratio(ENRR),其中有ENRR=1-Ne/(M×N))。與文獻(xiàn)[14]中綜合得出的滿陣(Ne=121)相比，本文的設(shè)計(jì)結(jié)果節(jié)省了16 個(gè)陣元。

圖4 三維方向圖的二維投影(主波束 指向(θ, φ)=(51°,0°))

由圖4中可以明顯得出，當(dāng)陣列掃描角度達(dá)到51°時(shí)副瓣電平始終低于閾值，為-24.39 dB，即沒有高副瓣進(jìn)入可見區(qū)域。

圖5和表1為本章算法綜合得出的低副瓣掃描稀疏陣中掃描范圍、陣列孔徑以及ENRR這3個(gè)性能指標(biāo)之間的關(guān)系。

圖5 掃描范圍與ENRR的對(duì)應(yīng)關(guān)系(對(duì)應(yīng)表1)

表1 低副瓣掃描稀疏陣中最大掃描角度和陣元總數(shù)兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系

由圖5和表1中方向圖輻射性參數(shù)和天線口徑數(shù)據(jù)可以得出結(jié)論，ENRR隨著掃描角度的不斷增加而逐漸減小，即表示隨著掃描角的增加需要更多的天線單元來實(shí)現(xiàn)峰值副瓣電平的抑制。針對(duì)孔徑為25λ2的平面陣列，本文算法得出的稀疏優(yōu)化空間的掃描角度極限為51°。在相同峰值副瓣電平閾值、主瓣寬度約束條件下陣元數(shù)、陣列孔徑如表1內(nèi)容所示。

3 結(jié)束語

本文提出了一種基于迭代算法的可掃描稀疏陣綜合方法。該方法包含凸優(yōu)化算法，即將控制主瓣寬度的非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成凸約束問題，并結(jié)合壓縮感知理論，將構(gòu)建理想輻射性能方向圖的具有周期結(jié)構(gòu)的稀疏陣列綜合問題轉(zhuǎn)化為迭代加權(quán)L1范數(shù)最小化的稀疏重構(gòu)問題。收斂過程中將本次迭代獲得的激勵(lì)權(quán)值閉式解作為下次迭代的初值，由完成迭代過程后獲得的激勵(lì)向量中的非零解來確定激勵(lì)權(quán)值以及可用陣元位置。與參考文獻(xiàn)中的算法相比,本文算法在方向圖主瓣不展寬的情況下可以實(shí)現(xiàn)掃描最大化稀疏陣列低副瓣設(shè)計(jì)。