談?wù)労瘮?shù)概念中的三要素

劉紅漫

摘 要：理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，用構(gòu)造法、換元法求解函數(shù)解析式;求函數(shù)定義域的一般方法，求與已知函數(shù)有著相同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域;通過(guò)求反函數(shù)的定義域求原函數(shù)的值域，通過(guò)x的有界性求函數(shù)的值域。

關(guān)鍵詞：對(duì)應(yīng)法則;定義域;值域;構(gòu)造法;換元法;復(fù)合函數(shù);有界性法

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。它揭示了其定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則這三要素之間是相互聯(lián)系、相互制約的。正確認(rèn)識(shí)函數(shù)概念中的三要素，是樹(shù)立函數(shù)思想，用函數(shù)方法解決有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。

一、函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則

函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，決定了函數(shù)y與自變量×之間的關(guān)系，它是函數(shù)概念的核心。下面的例子可幫助大家更清楚地認(rèn)識(shí)函數(shù)的“對(duì)應(yīng)法則”。

如：已知函數(shù)f（x+1）=x，求f（x）。

這里我們先應(yīng)找到“對(duì)應(yīng)法則”，其“對(duì)應(yīng)法則”是：函數(shù)y對(duì)應(yīng)自變量減去1，即f：：x+1→x，自然有f：x→x-1，即f（x）=x-1。由此也可得到f（t）=t-1，即f（x）=x-1.

這樣，我們便得到了解決此類(lèi)題型的典型方法;構(gòu)造法、換元法。

例：已知f（x+1）=x2-1，求f（x）

解法一（換元法）設(shè)t=x+1，則x=t-1

∴f（t）=（t-1）2-1=t2-2t，即f（x）=x2-2x

解法二（構(gòu)造法）

f（x+1）=x2-1=（x+1）（x-1）=（x+1）（x+1-2）

∴f（x）=x（x-2）=x2-2x

二、函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，它取決于確定函數(shù)關(guān)系的對(duì)應(yīng)法則。

（一）求函數(shù)定義域的一般方法

在求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循以下幾個(gè)原則

（1）分式中分母不等于0

（2）偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)（即大于等于零）

（3）零次冪中底數(shù)不等于零

（4）在對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0;底數(shù)大于0且不等于1

求函數(shù)定義域有兩種表示方法：集合形式、區(qū)間形式。

例：求函數(shù)? ? ? ? 的定義域

解：函數(shù)需滿足

∵ <1? ?∴x2-5x+9≤3

得2≤x≤3，故得函數(shù)的定義域?yàn)閇2，3]

（二）求與已知函數(shù)有著相同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)的定義域

有的函數(shù)，它們有著相同的對(duì)應(yīng)法則，但它們卻是不同函數(shù)，如f（x）與f（x+2）

例：已知f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，求E（x）=f（x+2）的定義域

分析：

（1）函數(shù)f（x）與f（x+2）有著相同的對(duì)應(yīng)法則

（2）函數(shù)f（x）是以x為自變量，而f（x+2）是以x+2為自變量

由此可得：0≤x+2≤1 ∴-2≤x≤-1

∴E（x）的定義域?yàn)閇-2，-1]。

注意：

不要將題目錯(cuò)誤地理解為：已知0≤x≤1，求x+2的取值范圍

（2）不妨設(shè)? ? ? ，其定義域?yàn)閇0.1]，

則? ? ? ? ?的定義域?yàn)閇-2，-1]，這個(gè)具體例子能更好地幫助我們加深對(duì)上述例題的理解。

又如f（x）的定義域是[0，2]，求函數(shù)? ? ? 的定義域，這道題可用以上類(lèi)似方法求解。

（三）求復(fù)合函數(shù)的定義域

復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]中，內(nèi)層函數(shù)u=g（x）的值域等于外層函數(shù)y=f（x）的定義域，若已知函數(shù)y=f（x）的定義域，可求得f[g（x）]的定義域，反之亦然。

例：已知f（x2）的定義域?yàn)閇-1，1]，求f（log x）的定義域。

分析：當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，內(nèi)層函數(shù)u=x的值域?yàn)閇0，1]，就是外層函數(shù)f（x）的定義域，而由u=log：x的值域等于外層函數(shù)的定義域得到0≤log x≤1，∴ ≤x≤1，所以函數(shù)的定義域是[ ，1]

另外，在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)的定義域應(yīng)根據(jù)問(wèn)題本身的實(shí)際意義求得。

三、函數(shù)的值域

函數(shù)的值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的

（一）通過(guò)求反函數(shù)的定義域求原函數(shù)的值域

比較函數(shù)y=f（x），x=f-1（y）.y=f-1（x）之間的異同

即反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

如：求? ? ? ? ? ? ?的值域。

（二）通過(guò)x的有界性求函數(shù)的值域

函數(shù)中兩個(gè)變量x，y是相互制約的，由x有界，可求y的取值范圍，y有界，可求x的取值范圍，由此形成求函數(shù)值域的另一種典型方法：有界性法。

例：求? ? （x≥0）的值城

解：將原式變形得? ? ，

由x≥0知：? ≥0，即1

∴函數(shù)值域?yàn)椋?，2]。

由以上知，函數(shù)y=f（x）可以看作是一個(gè)含字母y的關(guān)于x的方程，函數(shù)的值域就是這個(gè)方程有解的條件。

例：求? ? 的值域。

解：將方程變形為

即函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）

又如求? ? ?的值域，也可用類(lèi)似方法求解。

總之，函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三者之間是緊密聯(lián)系的，但它們也有著不同的內(nèi)涵，在解題過(guò)程中，我們需不斷加深對(duì)它們的認(rèn)識(shí)，不斷發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、探索新方法，為用函數(shù)方法解決有關(guān)問(wèn)題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。