戲法人人會變，巧妙各有不同

董彪

摘 要：對于有些不等式的證明，我們可以從研究題目的條件與結論入手，將問題中的條件和數量等關系，設法巧妙地構造成函數、數列、幾何模型及向量等問題，可以使不等式得到簡潔證明。

關鍵詞：構造法;不等式證明

不等式的證明方法有很多種，構造法因其構造對象的靈活性而獨具魅力。所謂構造法是指根據題設條件和結論的特征、性質，運用已知數學關系式和理論，構造出滿足條件或結論的數學對象，從而使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助該數學對象方便快捷地解決數學問題的方法。構造法的關鍵是“定目標構造”，能夠從已知條件入手，緊扣要解決的問題，將陌生問題轉化成熟悉問題。下面結合例題談談構造法在不等式證明中的一些應用。

一、構造函數證明

例1已知? ? ，且? ? ?，求證：? ?.

分析 直接構造函數，然后用導數判斷該函數的增減性;再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立。

證明 由? ? ?可得，? ? ? ?，即? ? .

設? ? ? ? ?則? ? ? ? ?.因為? ?，所以? ? ，故函數f（）x在（2，e）上單調遞增.又因為f（n）

評注 導數是研究函數性質的一種重要工具，在求函數的單調區間、最大（小）值、函數值域等方面發揮重大作用。而在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質，將兩個式子比較大小的問題轉化成比較函數值大小的問題，從而使問題得之解決。

二、構造數列證明

例2 求證

分析 直接構造數列，左邊就是前n項和，這樣就可以運用數列的性質了。

證明 構造數列? ? ? ? ?，則

所以xn+1>xn，即{xn}是單調遞增數列，從而? ? ? ?，

但? ? ? ? 所以

三、構造幾何模型證明

如果問題中的數量關系有明顯的幾何意義，可以通過某種方式與幾何圖形建立聯系，通過構造圖形，將題設中的數量關系直接在圖形中體現，然后在構造的圖形中尋求所證的結論。

例3 已知? ? ，求證：

分析 本題不等式的形式很復雜，用常規方法很難湊效。如果注意到交叉項系數? ? 的數字特征，在聯系到余弦定理，從而想到夠做一個四面體V-ABC（如圖1）

由余弦定理得：

評注 分析式子結構特征，將抽象的數學式子轉化為形象的幾何圖形，結合余弦定理實現證明，其中體現了數形結合的思想。

四、構造向量證明

向量本身作為一種解題的工具，不僅能夠解決幾何問題，同樣能夠解決代數問題。利用向量的數量積證明不等式，運算方便，能使復雜問題簡單化。

例4 設a，b，c為任意實數，求證：

評注 解題的關鍵在于能夠結合所給不等式的結構特征，巧妙地構造兩個向量，再用數數量積的兩種不同算法進行替代，借助向量夾角取值范圍得以證明。

可見，構造法是一種富有創造性的解題方法，它很好地體現了數學中類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、歸納等重要的數學方法。在數學解題中，除了注重基礎知識和基本思想方法外，還應敢于打破思維的框框，盡可能對某一問題的研究展開各種類比聯想，有目的地注意前后知識之間的聯系與遷移，新舊知識之間的類比與轉化，具體與抽象的變更，從而構造出一種新穎獨特的解題模式，極大地提升了解題效率。