對數及其對數函數在數學建模中的應用

王麗艷

摘 要：對數及其對數函數在實際生活中應用廣泛，歸納總結對數及其對數函數模型在實際生活中的應用，強調其實用性，能對數知識與實際生活相關聯

關鍵詞：對數;對數函數;常用對數;自然對數

在16世紀初期，第一張對數表問世，大文學家兼數學家拉普拉斯滿腔熱情地稱贊這是一項“讓天文學家壽命倍增”的一項發明。若從數學的角度看，對數產生的意義就更加深遠了。對數、解析幾何、微積分被稱為17世紀數學領域最偉大的成就。早在公元前200年前，阿基米德就注意到了

之間的對應關系。這就是關于對數的原始思想。到了17世紀中葉，商業、工業的興起，促進了天文學、力學的發展，在航海、天文學等實際工作中，出現了大量及其繁雜的計算，耗去工作人員大量的時間，當務之急，科學家們提出了對數的理論。

一、用對數表示一些數據的單位

對數（log）是17世紀初根據現實生活的需要發明的數學概念。當時隨著天文學的發展，對龐大的數據有了更加廣闊的需求，因為當時的計算工具并不發達，所以只能由人類一步一步的算，但如果利用對數的額性質，就可以將乘法轉化為加法，除法轉化為減法，則處理大數之間的乘法與除法就非常方便了

一、對數的概念

一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN.

其中a叫做對數的底數，N叫做真數.

注意：

a、N的范圍：a>0且a≠1和N>0.（負數與零沒有對數）

對數符號是一個完整的符號.

（1）以10為底的對數叫做常用對數.

為了方便，N的常用對數log10N簡記為：lgN.

（2）以e為底的對數稱為自然對數.

為了方便，N的自然對數logeN簡記為：lnN.

二、生活中與對數相關的知識.

（一）酸堿度PH值

酸堿度是個根據溶液中含有的氫離子的濃度來決定的，PH值所表示的就是氫離子的濃度。但是酸堿度不是直接用氫離子的濃度來表示，而是用濃度的常用對數來表示。所以濃度有10倍的變化時，PH值就會變化1，PH值為從0到14的數字，兩個極端氫離子的濃度相差100兆，所以說沒有對數，為了表示酸堿度要動員1到100兆內的非常龐大的數據。就這樣對數就可以把這么龐大的數據簡化了。

（二）地震的強度“里氏”

從美國的地質學家里克特的名字衍生出來的表示地震強度的里氏規模震級。里克特設計此標度的目的是區分當時加利福尼亞州發生的大量小規模地震和少量的大規模地震，而靈感則來自天文學中表示天體亮度的星星等等。為了不使結果為負數，里克特定義在距離震中100千米處的觀測點與地震儀記錄到的最大水平位移1微米的地震作為零級地震。按照這個定義，如果距離震中100千米處的城市，則該城市的震級為3級。里氏震級并沒有規定上限和下限，現代精密的地震儀經常記錄到震級為負數的地震。

里氏規模也可以用來表示地震的能量。在這種情況下，里氏規模每增加1，能力就增加約32倍，里氏規模若增加2，能量大約增加1000倍。地震有從人類幾乎察覺不到的輕微地震到破壞城市建筑物等威力無比的大地震，它們之間的能量差異非常大，所以一般用對數來表示。用里氏表示曾經發生在日本廣島爆炸的原子彈的能量，則大約為6.1，。據報道1995年，在日本的神戶發生的地震里氏規模約為7.5，那么所發生的能量相當于日本廣島的45倍。2008年我國汶川發生里氏8.0級地震，其釋放的能量相當于25000個日本廣島原子彈的能量。

三、對數函數在實際生活中的應用舉例

（一）研究燕子的科學家發現，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬。兩歲的燕子飛行速度可以表示為函數v=5log2，單位是m/s.

（二）分貝是將聲音的強弱和標準音的強弱作比較后表示噪音的數據，聲音的強弱有很大的差異，聲音的強度用瓦/平方米（W/m2）表示。

總之對數在實際生活中應用廣泛，值得我們去進一步的探索與研究。三百年來，世界科技一直把對數作為不可缺少的數學工具，它把科學家們從繁重的勞動中解放出來，等于延長了科學家們的生命，對數為人類勞動生產做出了巨大的貢獻。