HPM視角下數系擴充的教學研究

魏丹 藍田

摘 要：為了讓學生了解虛數是怎么產生的、為何一定要引入i2=-1讓無解方程有解，筆者將數學史融入數學教學，讓學生切實感受數系擴充的必要性及數學家在研究虛數過程中的曲折與創新。

關鍵詞：虛數;數系擴充;數學史

高考中復數的考察方式僅局限于填空或選擇，教師在教學中往往偏重于復數的四則運算等內容，對虛數單位的引入常用書本給出的方程x2+1=0的求解問題，但許多學生學完復數后并沒有真正認識復數，認為既然“負數沒有平方根”是眾所周知的，為何一定要引入i2=-1讓無解方程有解呢？學生覺得很矛盾，對復數的產生與其意義感到茫然。而虛數概念的產生與被廣泛接受歷經了數學家們幾百年的探尋與思考，有必要讓學生了解數學家們探索的大致過程。

一、虛數產生的歷史背景

虛數的起源最早可追溯到公元3世紀，古希臘數學家丟番圖在《算術》中遇到“不可約”的一元二次方程336x2+24=172x。12世紀時，印度數學家婆什迦羅在研究方程時注意到負數開平方問題，他斷言“負數沒有平方根”。13世紀意大利數學家斐波那契及15世紀意大利數學家帕西沃里在討論一元二次方程的根時，也遇到了△<0的情形，但他們認為負數開方是“逆天而行”的事[1]。

虛數的真正歷史始于1545年，意大利數學家卡丹在《大術》中提出：將10分成兩部分，使其積為40，他求出答案為

和? ，卡丹是第一個使用負數平方根的人，但他不理解也不接受這樣的數。

1572年，意大利數學家邦貝利對虛數做了進一步的深入討論，他在《代數學》中討論三次方程x3=15x+4的解，發現它有三個實數根：? ? ，但他在利用三次方程求根公式時卻出現同樣的“不可約”情形，他得到? ? ? ? ? ，他做了個大膽的假設：? ? ? ? ? ? ? ? ? ，并求出? ? 。就這樣，邦貝利用自己造的數解決了矛盾，使“無意義”的數變得有意義，這標志著復數的產生，他稱 為“負之正”，? 為“負之負”，并規定了復數的運算法則，為復數理論的發展奠定了基礎。

18世紀，法國數學家笛卡爾仍不承認負數開平方這類數的存在，他在解n次方程有n個根時，將那些數稱為“虛數”。后來高斯把虛數? 和? ?區分開，便引入了復數一詞。1777年，歐拉第一個用符號i表示虛數，并定義? ?，系統地建立了復數的理論。此后，復數表示成a+bi，而后，柯西將

作為復數的模。

漸漸地，許多數學家在數學的推理過程中使用了虛數，結果都被證明是正確的，數學家對虛數的存在有了信心。1799年，高斯關于“代數基本定理”的證明中需依賴對復數的承認。而后高斯用實數對（a，b）代表復數，并建立了復數的某些運算，并將表示平面上同一點的直角坐標系法和極坐標法加以綜合，分別用復數的代數式和三角式來表示，高斯不僅把復數看作平面上的點，并還將其看做一種向量，用復數和向量間的一一對應關系闡述了復數的加法與乘法，至此，復數理論比較完整和系統地建立起來了。

二、借助數學史，引入虛數單位

在教學中，教師應結合書本教材和學生的認知程度，借助數學史知識引入虛數單位i，可在教學中利用信息技術如多媒體課件向學生簡述虛數產生的歷史背景，可簡單地向學生介紹一元三次方程的的求解問題，讓學生明白數學家并非是為了解一元二次方程才去研究虛數，而是在解三次方程、二元二次方程組甚至是解n次方程時都繞不開“負數開平方”這一問題，才不得不去研究虛數的。

在學生了解了虛數產生的歷史背景后，教師可引導學生回顧數系的每一次擴充，從自然數集到整數集引入了負數，解決了“不夠減”的數學內部矛盾，從整數集到有理數集引入了分數，解決了“不能整除”的數學內部矛盾，從有理數集到實數集引入了無理數，解決了“不能開方”的數學內部矛盾。由此，可引導學生概括出數系擴充的一般規律：（1）引入新數;（2）在新數集中，原有運算及性質仍適用，并解決了某些運算在原數集中不總可以實施的矛盾[2]。教師可適時引導學生回顧之前學習的數學史實，讓學生思考，從實數到復數引入了什么新數，而這個新數解決了什么數學內部矛盾？基于數學史的學習，大部分學生能回答出“引入了新數? ?，解決了負數不能開平方的數學矛盾”。教師應給予學生肯定及表揚，并說明數學家規定

，即i2=-1，i是一種新引進的數，叫虛數單位，i和實數之間仍能像實數系那樣進行四則運算。學生了解虛數的由來，虛數的神秘面紗便被揭開了，接下來復數的相關概念便水到渠成了。

三、小結

數學史是人類數學思想的發展史，其蘊含了許多豐富的數學思想方法[3]，學習數學史知識能對學生的思維有著積極的啟發意義，教師應認真學習相關數學史知識，根據學生的認知程度思考如何將其融入數學教學，引導學生從HPM的視角看待數學知識，讓學生從歷史的角度了解數學知識的產生，探索數學知識的發展，從而發揮數學史在數學教學中的深刻教育價值。特別地，虛數的產生與發展歷程曲折而艱辛，數學家們對虛數的接受過程也是緩慢而曲折的。教師在教學過程中應勉勵學生，在學習過程中遇到困難，經歷困惑實乃常事，需靜下心來慢慢研究攻克難題。

參考文獻：

[1]胡典順、孔凡祥.高考中的數學文化[M].第一版.湖北科學技術出版社：2017：192—196.

[2]陸明明.《數系的擴充》的教學設計與教學體會.中小學數學[J]，2011，10：20-23.

[3]方國青、王芳.HPM視角下“數系的擴充與復數的引入”課例研究.[J]，2013，04：29-32.

作者簡介：

魏丹，1990.10，女，漢族，福建三明，福建省三明市第九中學，中學二級教師。