地球公轉軌道危地小行星天基光學監測仿真研究

王新濤，鄭建華，李明濤*

(1.中國科學院 國家空間科學中心，北京 101499；2.中國科學院大學，北京 100049)

1 引 言

危地小行星軌道與地球軌道存在交叉，存在與地球碰撞的可能，歷史上地球曾多次遭到小行星撞擊，對小行星進行監測預警具有重要意義[1]。地基望遠鏡易受大氣、天氣等因素影響，只能在晴朗的夜晚進行觀測，導致地基望遠鏡的觀測時間短，且無法對來自太陽方向的小行星進行預警；天基探測具有布置靈活、不受大氣和天氣影響、覆蓋范圍大等優點[2]，天基監測是小行星監測預警領域的發展趨勢。

美國的NEOCam任務計劃在日地L1點對小行星進行監測，計劃于5年內發現2/3、10年內發現90%以上直徑超過140 m的危地小行星[3]。為發現并跟蹤對地球有威脅的小行星，美國民間組織B612基金會提出運行在類金星軌道的哨兵任務概念，計劃在6.5年內發現90%以上超過140 m的小行星[4]。R. Michelsen等人提出運行在地球軌道的Bering任務，構建基于最佳尺寸分布的小行星數據庫，分析可見性時采用最小軌道交叉距離進行剪枝減少計算量，分析對比了地基和天基望遠鏡對小行星的發現能力[5]。A. Mainzer等人采用模型生成的小行星數據庫，對比日地L1點軌道與類金星軌道望遠鏡，仿真結果表明日地L1軌道與類金星軌道望遠鏡對直徑140 m以上的危地小行星具有相當的觀測效能[6]。2005年，美國國會通過“喬治布朗近地天體授權法案”，授權NASA在2020年對90%直徑超過140 m的小行星進行探測、跟蹤、分類和物理特性獲取[1]，但目前僅完成了約30%。

本文針對來自太陽方向危地小行星的監測預警問題，提出在地球公轉軌道部署光學望遠鏡進行監測。首先對地球公轉軌道望遠鏡的軌道穩定性進行仿真，得到了軌道維持所需的速度增量；然后以小行星視星等和望遠鏡視場作為約束條件建立小行星可見性模型，仿真分析了位于地球公轉軌道光學望遠鏡對危地小行星的觀測和預警效能。

2 不同軌道望遠鏡對來自太陽方向

小行星監測視場分析

除了地基望遠鏡，還可以利用天基望遠鏡監測小行星，天基望遠鏡的軌道通常選擇在日地系統L1點軌道或類金星軌道[1]。不同軌道的光學望遠鏡對來自太陽方向的小行星監測視場如圖1所示。

地基天文觀測受制于地球大氣特性，如塵埃、大氣輝光等[7]，只能在晴朗的夜晚進行觀測，因此太陽方向是地基光學望遠鏡的觀測盲區。車里雅賓斯克隕石事件發生在白天，在進入大氣層前所有地基望遠鏡都沒有發現該小行星[8]。來自太陽方向的小行星在飛越地球前，地基望遠鏡對其沒有觀測能力。

日地L1點位于日地連線距地球150×104km處，有利于對地通信，對來自太陽方向的小行星具有一定的觀測能力，但最多只能為地球提供約(150～180)×104km的預警范圍[3]。

類金星軌道位于地球內側，有利于發現位于地球軌道內側的小行星；但類金星軌道的周期與地球相差較大，望遠鏡與地球的相位關系時刻變化，大部分時間距離地球較遠。當小行星對地球產生威脅時，地球不一定在類金星軌道光學望遠鏡的視場內，因此無法為地球提供實時預警。

本文提出的地球公轉軌道光學望遠鏡位于地球前方或后方約1 058×104km處，視場始終指向地球方向。地球公轉軌道與地球始終保持近似的相位關系，因此對監測來自太陽方向的小行星具有得天獨厚的優勢，可為地球提供最遠超過千萬公里的預警距離。由于視場始終指向地球方向，望遠鏡部署在地球前方或者后方對小行星的監測效能是相當的。這里以將望遠鏡部署在地球后方為例開展仿真。

(a)日地L1點(a)Sun-Earth L1 orbit

(b)類金星軌道(b)Venus-like orbit

(c)地球公轉軌道(c)Earth trailing heliocentric orbit

3 地球公轉軌道特性分析

如果只考慮太陽的中心引力，望遠鏡與地球相位差始終保持恒定，但由于距離地球較近，來自地球較大的第三體引力攝動會使望遠鏡軌道偏離預期。為使望遠鏡相對地球保持近似恒定的距離，需施加速度增量進行軌道維持。

3.1 軌道維持模型

在任務壽命期內，間隔一定時間對望遠鏡施加控制速度增量，使得望遠鏡保持在目標軌道附近，直至達到設計壽命。用t0和rv0表示望遠鏡初始時刻的狀態，施加第一次速度增量的時刻為t1，大小為Δv1，之后每一次的速度增量都需要兩個參數來描述：

xi= [ti，Δvi].

(1)

因此望遠鏡軌道維持總設計參數為：

x=[t0，rv0，x1，x2，xi，…，xn].

(2)

目標為望遠鏡在設計壽命內軌道維持所需的速度增量最小：

(3)

為防止出現漂移量過大(超過120×104km)的情況，須添加約束：

φ(x)=|d-d0|-1.2×106≤0，

(4)

其中d為望遠鏡與地球的距離。

對于兩次速度增量之間的軌道，望遠鏡在太陽中心引力和地球第三體引力攝動下的狀態方程為：

(5)

其中：μs，μE分別為太陽和地球的引力系數，r和rE分別為望遠鏡和地球在慣性系中的位置矢量[9]。

3.2 軌道維持模型求解

上述軌道維持模型的解空間較大，因此在求解時采用部分—整體的優化方法。首先對速度增量進行逐次優化，求解時先利用遺傳算法進行全局搜索，并將遺傳算法得到的解利用序列二次規劃算法SQP進行局部尋優，目標函數選取為施加速度增量后望遠鏡的漂移量達到120×104km所需的時間最大，即：

(6)

重復上述過程直至時間達到望遠鏡的設計壽命，最終得到望遠鏡軌道維持設計參數的局部最優解x=[t0，rv0，x1，x2，xi，…，xn]；然后將得到的局部最優解作為初值，利用序列二次規劃算法SQP進行整體優化，優化參數x=[t0，rv0，x1，x2，xi，…，xn]，目標為總的速度增量和望遠鏡相對地球的漂移量加權最小：

(7)

其中：P為懲罰因子，采用固定值4 000；d為望遠鏡相對地球的距離。

優化結果表明，在6年內施加8次共580.1 m/s的速度增量，可使望遠鏡相對初始狀態的漂移距離不超過635 798.9 km(為入軌時望遠鏡相對地球距離的6%)，望遠鏡與地球的距離隨時間變化情況如圖2所示。定義日地旋轉坐標系的原點在地球質心，R軸為地球在日心慣性系中位置矢量的方向，N軸指向地球軌道角動量方向，T軸與其他兩軸構成右手坐標系，軌道維持后的望遠鏡在日地旋轉坐標系中的運動軌跡如圖3(a)和圖3(b)所示。地球公轉軌道望遠鏡是可控的，具體的速度增量施加時刻和大小如表1所示。

圖2 軌道維持后望遠鏡相對地球的距離隨時間的變化

(a)望遠鏡在日地旋轉坐標系中的軌跡(a)Telescope’s trajectory in the Sun-Earth rotation coordinate system

(b)望遠鏡在日地旋轉坐標系中的軌跡放大圖(b)Enlarged figure of the telescope’s trajectory in the Sun-Earth rotation coordinate system

表1 軌道維持時刻和速度增量大小

4 小行星觀測模型

4.1 星等約束

太陽系中小行星的絕對星等定義為如果將小行星放到距離太陽1AU的距離處，在“太陽中心”(此時為0°相位角)觀測到的小行星視星等，小行星的絕對星等由星體的直徑和反照率決定，具體關系如式(8)所示：

(8)

其中：D為小行星直徑(km)，H為絕對星等，pv為反照率，反照率是指從太陽看小行星的亮度與相同大小和相同距離的白色漫反射球之間的比率，星體全吸收pv=0，全反射pv=1，本文中pv=0.15[5]。

視星等是指觀測者用肉眼看到的或者CCD得到星體亮度，數值越小亮度越高，反之越暗。視星等由小行星的絕對星等、小行星與望遠鏡的距離和兩者之間的相位關系決定，太陽、望遠鏡和小行星之間的相位關系如圖4所示，具體的計算公式如式(9)所示：

(9)

其中：V是小行星的視星等，r是小行星與太陽質心的距離，單位為AU；Δ是小行星與望遠鏡的距離，單位為AU；κ是太陽-小行星-望遠鏡形成的夾角，單位為rad；G是斜率參數，其值取決于光被小行星表面上的粒子散射的方式[10]。由于極少數小行星測得了G的數值，對于大多數小行星G的假設值為0.15。假設望遠鏡的極限視星等為Vmax，小行星某時刻的視星等為V，則小行星的視星等可見條件為：

V≤Vmax.

(10)

圖4 太陽、望遠鏡、小行星的相位關系

4.2 視場約束

望遠鏡的極限視場中心始終由望遠鏡指向地球方向，視場為矩形，采用方位角α和俯仰角β進行描述，方位角α為望遠鏡和小行星的連線在望遠鏡軌道平面內的投影與望遠鏡極限視場中心方向的夾角，俯仰角β為望遠鏡和小行星的連線在垂直于望遠鏡軌道平面內的投影與望遠鏡極限視場中心方向的夾角。假設望遠鏡極限視場角αmax，βmax，望遠鏡極限視場如圖5所示。

圖5 望遠鏡的極限視場

采用望遠鏡的極限視場對小行星的可見性進行仿真，因此小行星出現在極限視場內的條件為：

(11)

4.3 小行星星歷模型

近地天體是軌道近日點在1.3 AU以內的太陽系小天體，包含小行星和彗星兩類，其中近地小行星占絕大多數。與地球軌道的最近距離在0.05 AU以內且絕對星等小于22等(相當于直徑大于140 m)的近地小行星被定義為危地小行星[11]，撞擊時可對地球造成區域級破壞[12]。仿真時所用的危地小行星數據庫是從MPC(Minor Planet Center)中獲得的1 971顆危地小行星在日心黃道J2000坐標系下的軌道根數和絕對星等[13]，為快速地獲得小行星在任意時刻的位置速度，小行星的軌道動力學模型如式(12)所示：

(12)

其中：r，v為小行星在日心慣性坐標系的位置速度，μs為太陽引力常數。

5 望遠鏡效能仿真分析

假設望遠鏡入軌日期為2026-05-18，壽命為6年，以MPC中獲得的1 971顆危地小行星的星歷和絕對星等為數據庫；望遠鏡的極限視場角αmax=45°，βmax=45°，仿真位于地球后方1 058×104km處地球公轉軌道光學望遠鏡的觀測與預警效能。

5.1 觀測效能

首先仿真了數據庫中小行星在望遠鏡極限視場內可見弧段的最大持續時間，如圖6所示，橫坐標為小行星的標號，縱坐標為小行星在望遠鏡視場內連續可見弧段的最大持續時間，其中可見的危地小行星共1 665顆，可見的小行星中可見弧段最大持續時間不足一天的僅有1顆，其持續時間為0.7 d。數據庫中幾乎全部危地小行星可見弧段的最大持續時間都在1 d以上。

圖6 數據庫中小行星可見弧段的最大持續時長

假設望遠鏡的瞬時視場為3°×6°，瞬時視場內停留時長為180 s[14]，極限視場角45°，采用如圖7的掃描方式，望遠鏡在81 000 s(不足1 d)可完成上述極限視場的掃描。采用瞬時視場仿真時可見的小行星為1 665顆，因此利用極限視場替代瞬時視場開展監測效能評估是合理的。

圖7 望遠鏡掃描方式示意圖

其次，仿真了望遠鏡極限視星等對觀測效能的影響，仿真不同極限星等下望遠鏡觀測到的小行星數量，結果如圖8所示，橫坐標為時間，縱坐標為不同時間望遠鏡觀測到的小天體數量與數據庫中小天體總數量的比值，由圖可知Vmax=24時6年內可觀測數據庫中84.5%的危地小行星，比Vmax=25時少7.0 %，比Vmax=23時多12.4%；仿真極限視星等為24時，數據庫中小行星首次被觀測到和可見時的平均視星等，如圖9所示，橫坐標為小行星的視星等區間，縱坐標為可見時的視星等在該區間中的小行星數量與可見小行星總數量的比值，可知大多數危地小行星首次發現時的視星等在(23，24]區間內，可見時的平均視星等集中在(22，24]區間。綜合望遠鏡的觀測效能、極限視星等的技術實現難度和觀測時對極限視星等的利用效率，將望遠鏡的極限視星等設置為24是合理的，以下仿真的極限視星等均為24。

圖8 不同極限視星等下觀測到小行星的比例

圖9 數據庫中小行星首次被觀測到的視星等和可見弧段內的平均視星等

然后，仿真了數據庫中小行星6年內被望遠鏡連續可見弧段的數量，如圖10所示，橫坐標為可見弧段數，縱坐標為具有該可見弧段數的小行星數量與數據庫小行星總數的比值。仿真結果表明數據庫中70.0%的危地小行星都具有多個可見弧段。較多的可見弧段有利于對小行星進行定軌[15]。

圖10 數據庫中小行星可見弧段的數量

之后，統計了望遠鏡對數據庫中不同軌道元素(半長軸、偏心率)小行星的觀測能力，仿真結果如圖11所示，結果表明望遠鏡對數據庫中半長軸小于2 AU的危地小行星有較好的觀測能力。數據庫中部分小行星不可見的原因有兩個，一是小行星未進入望遠鏡視場內，二是小行星的視星等超過24。半長軸為1 AU附近出現較多的不可見小行星，原因是這些小行星與望遠鏡的半長軸接近，與望遠鏡形成共振，未進入望遠鏡視場內，導致望遠鏡對其不可見；半長軸和偏心率較大的小行星，進入視場時與望遠鏡距離較遠亮度較低無法被識別[16-17]，導致未被觀測到。

圖11 地球公轉軌道光學望遠鏡對數據庫中不同軌道元素小行星的觀測能力

最后，為評估能對地球造成不同程度破壞的危地小行星的觀測能力，仿真望遠鏡對數據庫中不同尺寸區間小行星的觀測完整度。觀測完整度的定義為任務周期內可見的小行星數量與小行星總數量的比值。仿真結果如圖12所示，橫坐標代表不同的小行星尺寸區間，縱坐標為望遠鏡對數據庫中位于該尺寸區間的危地小行星觀測完整度。望遠鏡對能造成地球區域級破壞的直徑140 m以上的危地小行星的觀測完整度為84.5%，其中對直徑在140～300 m，300～500 m及500 m以上的危地小行星觀測完整度分別為76.3%，87.1%，97.2%。地球公轉軌道光學望遠鏡對尺寸相對較大的危地小行星觀測完整度較高，因為當小行星與望遠鏡的相位關系相同時，尺寸較大的小行星相對望遠鏡更亮。

圖12 望遠鏡對數據庫中不同尺寸區間小行星的觀測完整度

5.2 預警效能

望遠鏡的極限視場角為45°，望遠鏡和地球的距離d與望遠鏡可完全覆蓋地球周圍空間的半徑r如圖13所示，d與r存在如下關系：

r=d×sin 45°.

(13)

望遠鏡位于地球后方1 058×104km時，由式(13)可知，此時望遠鏡恰好可以對地球周圍0.05 AU的空間實現全覆蓋。

預警率的定義是危地小行星進入地球0.05 AU范圍內并被觀測到的次數與危地小行星進入地球0.05 AU范圍內的總次數的比值。仿真了6年內地球公轉軌道光學望遠鏡對數據庫中與地球的距離小于0.05 AU的危地小行星的預警率，結果表明望遠鏡對距離地球小于0.05 AU的危地小行星的預警率為100%。也就是說，地球公轉軌道望遠鏡對地球周圍0.05 AU范圍內的空間具有極好的覆蓋。

圖13 望遠鏡可完全覆蓋地球周圍空間的大小

計算地球周圍不同位置處小行星相對地球公轉軌道光學望遠鏡視星等為24時的尺寸，得到望遠鏡對不同尺寸危地小行星的預警范圍，望遠鏡能為直徑為20，30，40，48，60，90，140 m來自太陽方向的危地小行星提供最遠約215，485，650，752，875，1 095，1 345×104km的預警距離，如圖14 所示。

圖14 望遠鏡對不同尺寸危地小行星的預警范圍

6 結 論

地基望遠鏡易受到大氣環境和光線的影響，只能在晴朗的夜晚進行觀測，有效觀測時間嚴重不足；并且無法對來自太陽方向的小行星進行監測預警，本文提出地球公轉軌道光學望遠鏡任務，利用其獨特的位置對危地小行星進行監測。

本文仿真分析了地球公轉軌道望遠鏡軌道維持所需的速度增量，施加約580 m/s的速度增量可使望遠鏡相對地球距離的漂移量不超過635 798.9×104km(為入軌時望遠鏡相對地球距離的6%)；建立了小行星的光學可見性模型，仿真表明數據庫中幾乎所有危地小行星可見弧段的持續時間在1 d以上，因此在保證合理性的前提下可忽略復雜的觀測策略利用望遠鏡的極限視場快速評估觀測效能；通過仿真不同極限視星等下觀測到危地小行星的數量、危地小行星可見時的視星等，綜合視星等實現的技術難度，證明極限視星等設置為24是合理的，此時望遠鏡對數據庫中危地小行星的觀測完整度為84.5%；以45°視場角和24極限星等為條件進行仿真，地球公轉軌道光學望遠鏡在6年內可觀測到數據庫中84.5%直徑超過140 m的危地小行星，能對來自太陽方向直徑為48 m的危地小行星提供最遠約752×104km(0.05 AU)的預警距離，表明地球公轉軌道光學望遠鏡能有效地監測危地小行星。需要指出的是，本文利用MPC中已經發現的危地小行星作為數據庫，實際上還有大量的危地小行星有待發現，下一步將采用小行星數量模型構建出來的大樣本作為小行星數據庫，對觀測與預警效能開展進一步仿真分析。