“茶意數學”常微分方程教學改革
——以應用統計專業為例

王亞男

（衡水學院數學與計算機科學系，河北衡水 053000）

應用統計專業要求學生在具有良好的數學素養的基礎上，還要掌握統計學的相關理論和知識方法，可以熟練地應用計算機對數據進行分析，以便在今后能勝任統計調查、數據分析、統計信息管理等工作。專業的數學知識是應用統計學專業的基礎，而常微分方程是高等學校應用統計專業的一門專業必修課，是在學習數學分析、高等代數等基礎課程后的又一門重要的專業課。此外，常微分方程還是統計專業后續課程的基礎，所以常微分方程在應用統計專業中有著重要的地位。在實際問題中存在著大量用來反映現實世界運動過程的量與量之間的關系的滿足常微分方程關系式的數學模型，比如常見的人口模型、傳染病模型、生態模型等，在統計學的研究中也會出現各種不同的用常微分方程表示的數學模型，這些模型需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數的性質。所以常微分方程是解決實際問題的重要工具。隨著計算機技術的快速發展，常微分方程理論也進入了新的時期，微分方程理論與其它學科有了越來越緊密的聯系。目前，統計專業的常微分方程教學遠遠不能適應學科和專業的發展，因此，對常微分方程的教學改革勢在必行，且有著廣泛的實用價值。

1 教與學的現狀

1.1 學習方面

由于常微分方程的理論性較強，學生在學習這門課程時僅僅停留在判斷方程類型，進而求出方程的通解或特解的程度，只是為了應對考試，并不注重學習如何用微分方程建立數學模型，如何求方程的近似解以及用數學軟件解微分方程這些與實際問題相關的問題。另外，也很少自己去思考哪些問題會在今后的專業課中遇到。所以，現階段學生學習常微分方程只是為了學習這門課程而學習，不能認真地去研究課程的內在和與其它課程的聯系。

1.2 教學方面

目前，由于師資力量的限制，統計專業的常微分方程大都是由數學專業的老師來講授。受專業限制，大部分老師在講課時與數學專業的常微分方程的教授并沒有什么區別，都是在講解方程解法的同時，注重強調這門課程的理論性，對于常微分方程在統計專業的應用很少提到，這就導致學生不能明白學生學習這門課程對于自己專業的意義，對提高學生的學習興趣的一定的阻滯。此外，老師在授課時對求常微分方程的數值解法以及應用數學軟件解決常微分方程的問題很少提到。而實際上，能夠用求出通解的常微分方程是很少的，大部分由實際問題得到的常微分方程是沒辦法求出通解，需要借助數值解法和數學軟件來求解。對兩部分內容的不了解，直接導致了學生不能深入學習后續的專業課。

針對以上問題，統計專業常微分方程的課程改革勢在必行。這門課程的改革將進一步幫助學生明確學習目標，有效地減輕學生的學習負擔，將所學常微分方程內容更好地應用于統計學的專業課，還可以提高學生解決實際問題的能力。

2 課程教學改革的具體措施

2.1 研究常微分方程與應用統計專業之間的聯系，制定新的課程標準和教學大綱

教學大綱的制定是為了讓教師了解課程的性質，明確教學目標，掌握重點和難點，以此為標準來提高學生的學習能力，增強學生解決實際問題的能力。統計專業的常微分方程教學大綱首先應符合統計專業的培養計劃，并根據專業課需要壓縮課時、整合課程、優化內容。新的教學大綱要分基礎理論和實踐應用兩部分，要融入數學建模思想，提高學生學習效果。

2.2 優化課程，有針對性地刪除一些內容，加強授課內容與統計學專業課相結合

在常微分方程這門課程中，有關常微分方程的基本概念，如何求解一階微分方程、高階常系數線性微分方程、常系數線性微分方程組是必須要學會的，只有學會了這部分內容才能在以后的學習中能熟練地應用這些內容解決實際問題，所以統計專業的這門課程重點仍然應放在微分方程的基本概念和基礎解法上。求解微分方程組的內容是與高階微分方程的解法相通的，在講解過程中要給學生介紹兩者的內在聯系，并讓學生理解高階微分方程的解法是在微分方程組解法的基礎上得來的。一階微分方程解的存在唯一性定理、解的延拓這兩部分內容要要求學生能理解定理的內容，會求一階微分方程的 次近似解，至于定理的證明過程要給學生介紹大體的證明思路，而沒有必要去講解完整的證明過程，要讓學生理解皮卡逐步逼近法的思想，這種思想對于在用數值方法求解常微分方程的過程是有用的。解對初值的連續性和可微性只做了解內容就可以。另外，還要給學生介紹一些與教材相符的習題集，多做習題對于掌握求解各種微分方程的求法有很大的幫助。

2.3 注重課上教學形式的多樣化，提高學生的學習興趣

目前常微分方程的上課形式主要是老師講授，學生聽課做筆記，學生的學習主動性積極性較差，不能進行自主學習，這就要求老師改變現有的教學模式，可以充分利用線上教學，翻轉課堂，鼓勵學生自主學習，提高學生的學習興趣和自學能力。教學方式的改革可以通過增加討論小組、鼓勵學生上講臺講解一些簡單的內容這些方法來進行。老師還應注重分層教學，針對不學習能力的學生靈活設計課堂教學活動。另外，現在大部分老師上課使用多媒體，由于使用多媒體上課進度較快，這就導致很多學生對微分方程的求解過程不能充分理解，所以老師在上課時應該多媒體和板書相結合，特別是基礎知識部分可以全部用板書教學，更有利于學生的理解和記憶，而多媒體教學可以在講解幾何意義和軟件操作等問題時使用，比如在講授一階或高階微分方程的解法時，要讓學生一步步跟著思考，如果使用多媒體教學，學生的思路不容易跟上，使用板書教學，一邊講解，一邊寫板書，學生更容易跟著老師的思路走，而在講授方向場的概念時，用板書很難畫出一個一階微分方程的方向場，而用數學軟件結合多媒體展示給學生則簡單明了，還可以顯示方向場的幾何意義。老師還可以在課上播放一些名師課堂，讓學生體會不同的教學方式。要注重啟發式教學，可以在課下給學生布置一些較難的題目，讓學生自己去尋找答案，特別是一些使用數學軟件建立模型求解模型的題目。

2.4 增設實踐課程，加強學生實踐操作能力

在統計學中有大量的數學模型都可以用微分方程來描述，很多近代自然科學的基本方程本身就是微分方程。從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預見各種自然現象，不斷地取得了顯著的成效。遺憾的是，絕大多數的常微分方程不能求出其解析解，這就產生了理論與實際的矛盾，這就需要用數值解法來解決這些問題。雖然常微分方程的數值解法可以追溯到18世紀，但是由于受計算機發展影響，一直到20世紀50年代才發展成一門理論上嚴謹、實用的學科。所以學生要想用數值方法求解常微分方程，在有微分方程解法的基礎上，還要學習多種數值計算方法以及所要用到的數學軟件。這就要求我們在講解這門課程的同時，給學生強調數學軟件學習的重要性，同時在課時允許的范圍內講解一些微分方程數值解法的算法，并可以在增設的實踐課上進行實踐操作。

2.5 制定合理多樣的考核方式

合理的考核方式不僅能準確體現學生的學習情況，還可以激發學生的學習積極性。目前常微分方程的考核方式大多采用平時成績和期末成績相結合形式進行，這種方法基本是合理的，既能體現學生平時學習的情況，又能通過期末成績檢驗學生整體的學習情況。但是現在的平時成績大多靠作業和考勤成績以及一次測驗來決定，且作業成績占比重較大，由于學生抄作業的現象，這樣的考核方式不能很好地體現學生平時的學習情況，所以平時考核成績的形式應該多樣化，除作業、考勤之外，教師還要考察學生的上課情況，針對學生上課回答問題以及聽課情況可以適當加分或者減分。教師還可以給學生布置一些小論文的作業，既可以提高學生論文寫作的能力，也可以增強學生分析實際問題的能力。

2.6 學生要打好基礎，端正學習態度

常微分方程這門課程是數學分析和高等代數的的后繼課程。在這門課的學習過程中會大量用到數學分析和高等代數中的內容，比如在求解一階微分方程時會大量用到求函數的不定積分，在判斷一個方程是否為恰當微分方程以及求積分因子的過程中都需要用到偏導數。依往年的教學經驗，經常會出現學生會求解微分方程的步驟，但是到最后求通解時積分不會算，導致最后沒辦法求出微分方程的通解。再比如，求解高階常系數線性微分方程時，會用到求解代數方程和函數求導，這些都需要扎實的數學分析高等代數的基礎理論和知識。所以，學生在學習這門課程前，應該熟練掌握不定積分的各種方法，不要出現會微分方程的解法卻仍然求不出微分方程解的現象。此外，學生還要注意端正學習態度。現在大部分學生都是為了考試而學習，要考慮這門課程對今后學習的重要性，注重常微分方程對后續的數學建模等課程的影響。學生在平時學習時還要多做練習，以此來提高解題的熟練度，加深對課程內容的理解程度。

2.7 適當介紹微分方程發展前沿理論

20世紀六、七時年代以后，隨著計算機技術的飛速發展，微分方程理論也得到了迅速發展，發現了具有新性質的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇異吸引子及孤立子等，這些都與微分方程直接有關。適當給學生介紹這些知識，可以引起學生對這門課程的興趣，了解本課程與其它學科的聯系。

總之，對于應用統計專業的常微分方程的教學改革，應該從學生的實際情況出發，分層教學，因材施教，在達到教學大綱要求的前提下，根據學生的學習水平和學習目標，適當刪減或增加教學內容，以此來改變現階段統計專業常微分方程不適應專業需要的現狀，加強常微分方程的課程建設，進一步提高學生學習的積極性，提高學生的學習效率。