基于專業背景的教學案例在高等數學教學中的應用

周會娟 蘭曼

摘?要：本文以專業背景知識為基礎，結合專業前沿，介紹了高等數學課程中關于空間曲線的參數方程和用微元法建立微分方程的應用案例及其解決過程，從而激發學生的學習興趣和提高解決問題的能力。

關鍵詞：空間曲線參數方程;微元法;微分方程;案例教學

洛陽理工學院在2013年被確立為河南省首批五所應用型本科轉型發展試點院校之一，2016年被確定為河南省示范性應用技術本科院校。應用型本科院校人才培養注重的是將基礎理論知識有效應用到實踐當中，強調學生適應社會的能力，重點培養他們的基礎理論、拓展知識領域、提升專業技能與素養，激發創新意識[1]。因此這樣的培養目標對高等數學的傳統教學提出了新的要求，作為教師不能再把思維禁錮于講授系統而嚴謹的高等數學體系，更多的是要關注到數學知識在現實生活中的應用，在學生所學專業中的應用，以此發揮出高等數學這門基礎而又重要的課程對學生應用能力培養中的作用。傳統的高等數學教學中，在引入數學概念、定理的實際背景時仍采用古典幾何和物理學的相關知識作為應用實例，因此學生學習高等數學，僅僅根據教材上所舉的理想化的例子很難體會到高等數學知識在實際生活中和自己專業中的應用，這樣的教學也有悖于應用型人才的培養需求。

本文以高等數學中空間曲線參數方程的建立和一階微分方程的建立為例，結合機械生產中怎樣測量紡織繞線機的絲線繞線長度和材料科學中新型功能材料的設計這兩個問題，引入專業案例，將抽象化的數學知識與具有專業背景和科學前沿的實例緊密聯系在一起，形成理論與實踐相結合，教學與專業相結合的教學內容，使得高等數學的教學內容更加貼近專業實踐需要[2]，幫助學生更好地掌握專業知識，成為應用型人才。

一、針對空間曲線參數方程的應用案例

（一）案例的背景分析

紡織業目前亟待解決的問題：怎樣測量紡織繞線機的纏繞絲線長度？目前國內紡織行業主要采取的方法是對絲線密度長度的測量。但是，由于絲線本身線徑很細，質量很輕，而繞線機成品后絲線的長度很長，這就給準確測量帶來了很大困難[3]。除了這些問題，還要考慮到絲線越纏越厚、是否容易斷線，以及退線方式等問題。所以，一種準確可靠的測量手段亟待出現。為了解決這些實際問題，在數學上，最重要的就是建立合適的數學模型。

繞線機的工作過程：（1）絲線以螺旋方式纏繞到絲線輥上，絲線輥做旋轉運動，撥叉做軸向往復運動;（2）絲線線軸與絲線輥同軸轉動，即絲線以恒定速度纏繞在線軸上;（3）通過撥叉的往復運動，改變纏線位置;（4）絲線線軸一般為圓臺形狀，將絲線的線軸延長，就形成了一個圓錐。因此，絲線的繞線曲線就可以看成是動點在圓錐面上的運動軌跡。

所以，要解決上述問題，測得絲線長度，首先最重要的就是建立質點在圓錐面上運動的軌跡方程，也即建立空間曲線的參數方程。

（二）案例的數學描述——空間曲線的參數方程

（三）問題分析與假設

1.問題的分析

繞線機的繞線過程：考慮到卷繞絲線輥的結構，絲線以螺旋方式纏繞到絲線輥上，工作過程中絲線輥做旋轉運動，撥叉做軸向往復運動;絲線的線軸與擺子（撥叉）同軸轉動，即絲線以恒定速度纏繞在線軸上，通過撥叉的往復運動，改變纏線位置。絲線線軸一般為圓臺形狀，簡化工作過程，撥叉擺動一次，卷繞絲線的纏繞曲線即為圓錐面上的螺旋線。由此可以考慮建立圓錐面上的螺旋線的參數方程。

2.根據分析，提出假設

由問題分析，可以假設：（1）假設撥叉在往復擺動一次時，絲線繞線軸旋轉的圈數為2n圈（n值可由實際情況測出）;（2）不考慮線軸逐漸變厚。

3.由問題分析和假設，建立方程

即為絲線纏繞的圓錐螺旋線的參數方程。

二、利用微元法建立微分方程的應用案例

（一）案例的背景分析

在工業生產中，需要生產出一種能同時耐受溫差極大的材料。比如超音速燃燒沖壓式發動機，在燃燒室內部氣體燃燒后溫度能達到2000℃，使得燃燒室壁受到非常強烈的沖擊，但是燃燒室壁的另一側又需要承受住液氫的冷卻作用，溫度在-200℃左右。這樣燃燒室壁兩側需要承受極大的溫差，一般的材料很難滿足這個要求。功能梯度材料是一種新型材料，最早由日本科學家新野正之、平井敏熊和渡邊龍三等提出。其材料組分在一定的空間方向上連續變化，使界面消失，材料性能隨著材料的組成和結構變化而緩慢變化，因此可用作界面層來連接不相容的兩種材料，減小殘余應力和熱應力，在新型材料科學中有著廣泛的應用[4]。

（二）案例的數學描述

如果實際問題所描述的是對象的某些性質隨時間、空間的演變過程;那么就可以建立這樣一個數學表達式，它以時間或者空間為自變量，以對象的性質為未知函數，反映的是自變量、未知函數以及未知函數的變化率之間的關系，那么這就是一個微分方程，我們還可以結合微元法建立微分方程。

微元法的思想是：將研究對象化整為零，得到它的微元;分析微元，以勻代變，建立微分方程;用微分方程的解來分析所研究對象。

微元法的步驟如下：

（三）問題的提出與解決

1.問題的提出

粉末冶金是功能梯度材料的一種生產方式，將不同密度的材料碾成粉末，逐層排列，實現內部性質連續變化，兩端性質滿足需求。由此我們可以一起來設計一種簡單的功能梯度材料，密度逐層減小，要求每層密度的改變率與已經鋪設的緊鄰層密度成比例，并實現當厚度為6mm時，密度為初始密度的50%。

2.問題的解決

第一步，選取距離底層的高度為自變量x;

三、結語

在教學內容上選用既與學生專業相結合，又與科學前沿相結合的案例，可以將高等數學的理論性、技巧性與應用性相結合。通過課上提出案例、分析案例以及解決案例，不但讓學生掌握了相關的數學理論知識，還進一步激發了學生對數學知識的分析和應用能力，以此達到知識的融會貫通。

參考文獻：

[1]林美容，王逸勤.應用型本科院校高等數學課程改革與探索[J].山東農業工程學院學報，2018，35（12）：147-148.

[2]黃浩，余雪.基于“案例+模塊化”的應用型本科高校高等數學翻轉課堂教學模式改革探討[J].合肥師范學院學報，2019，37（3）：106-110.

[3]宋繼紅，衣文索.紡織卷繞筒絲線長度測量系統設計[J].長春大學學報，2012，22（8）：929-932.

[4]蘭曼，周會娟.結合專業前沿的高等數學教學研究[J].科教文匯，2018，01：44-47.

作者簡介：周會娟（1981—），女，碩士研究生，講師，主要研究方向：應用數學。