深溝球軸承復合故障動力學特征

王 凱，剡昌鋒，王風濤，常斌全，吳黎曉

(1.蘭州理工大學 機電工程學院， 蘭州 730050；2.蘭州理工大學 能源與動力工程學院， 蘭州 730050；3.舜宇光學科技有限公司， 浙江 寧波 315400)

軸承的運行狀態對整臺設備的精度、可靠性和壽命都有影響，其性能的退化或失效會影響整機性能，甚至導致設備非計劃停機，嚴重的還會造成巨大的經濟損失和人員傷亡[1]. 《國家中長期科學和技術發展規劃綱要(2006年-2020年)》列出的16項重大專項中，精密機床、高速機車等重大核心零部件之一就是軸承，它對整個設備制造業的發展起著舉足輕重的作用[2]. 為了預測滾動軸承早期故障，降低因軸承故障導致的損失，就必須要解決故障軸承的振動機理及其振動特性這一基礎性問題. 因此,開展滾動軸承故障動力學建模并對其進行分析研究具有重大的工程應用價值和現實意義[3].

在軸承故障診斷研究中，學者們較多地關注軸承的單故障診斷及其振動響應特性[4-8]，而對復合故障誘發機理的研究較少. 實際運行中，裂紋、凹坑和剝落等軸承故障[7-8]往往同時出現或先后聯級發生，將會產生群故障或多點復合故障[3].

為了從機理上研究清楚復合故障所激勵的振動響應，學者們建立了動力學模型來模擬和分析內、外圈表面同時存在單點或多點故障(即復合故障)所激勵的振動響應. Patel等[9-10]分析了內、外圈表面存在單點和復合故障的深溝球軸承的振動特性，建立了6自由度動力學模型，分別研究了軸承內、外圈表面存在單故障和多故障的振動響應特性；另外針對深溝球軸承復合故障所誘發的振動問題，推導出了兩個連續脈沖之間的時間延遲方程. Yaqub等[11]考慮了故障的位置分布對軸承振動特性的影響，建立了一種可模擬復合故障的動力學模型. 朱永生等[12]利用Lempel-Ziv量化軸承振動信號特性，建立了一種6自由度動力學模型，探究了復合故障對軸承振動響應的影響. 董振振等[13]給出了滾珠與故障區域之間的撞擊力計算公式，模擬了多點故障產生的沖擊信號之間耦合的現象. Yuan等[14]構建了一種新型軸承系統的多體動力學模型，研究了復合缺陷的演變過程，分析了缺陷演化對振動響應特性的影響. Mohammadi等[15]基于高頻共振技術(HFRT)，利用包絡檢波器找出缺陷頻率諧波(ADFH)，檢測軸承的復合缺陷. Koulocheris等[16]將被污染的油脂填充于滾動軸承中，利用振動分析方法來檢測軸承的磨損，并驗證了該方法能有效識別出復合故障. Tang等[17]提出了一種基于AMCKD診斷復合故障軸承的方法，從復合故障振動信號中分離出與單點故障相關的信號分量，通過對所獲得的單故障信號進行調制解調，識別故障類型. Pandya等[18]利用小波分解和希爾伯特變換的自適應算法，從振動信號中提取軸承故障特征分量，研究了復合故障引起的非線性動態響應問題. Singh等[19]提出了一種CNN-CMF-EEMD復合方法，可有效解決軸承元件間復雜的非線性耦合問題，更容易提取和識別軸承復合故障特征.

盡管國內外眾多學者已經開展了對復合故障軸承振動響應特性的研究，但軸和軸承座與軸承之間的耦合激勵、時變位移激勵等因素的存在，使得軸承系統的建模和仿真都相對比較困難，因此國內外許多研究人員僅針對影響軸承振動響應的簡化模型進行了研究，并沒有綜合考慮多個因素對故障軸承振動的共同影響. 針對該問題，本文基于內、外圈同時存在單點故障，建立了深溝球軸承-軸承座系統4自由度復合故障動力學模型，考慮軸和軸承座與軸承之間的耦合激勵、時變位移激勵和滾動體滑動等因素的共同影響，探究因復合故障誘發的力和位移激勵響應的機理，并通過實驗驗證了所建模型的正確性.

1 建立復合故障軸承動力學模型

1.1 深溝球軸承建模假設

為簡化模型，在考慮模型的主要影響因素基礎上，設定以下合理的條件對軸承進行建模假設.

1)滾動體與滾道之間的接觸滿足Hertz接觸理論，忽略接觸界面材料的塑性變形.

2)忽略滾動體數目奇偶對載荷分布的影響.

3)滾動體均勻分布，由于轉速為中低速，忽略滾動體慣性效應、陀螺運動的影響.

4)針對軸承的早期缺陷，缺陷深度和寬度尺寸遠小于滾動體直徑，缺陷邊緣的曲率半徑遠小于滾動體的半徑.

1.2 簡化模型

將滾動體與滾道之間的接觸簡化為彈簧-阻尼系統. 系統簡化模型如圖1所示. 圖中A和B分別代表內圈和外圈故障；內圈和軸之間的接觸剛度為Ks，阻尼為Cs；外圈和軸承座之間的接觸剛度為Kp，阻尼為Cp；滾動體與滾道間的等效接觸剛度為Kio.

圖1 簡化模型示意圖

1.3 剛度計算

1.3.1 滾動體與滾道間的接觸剛度計算

滾動體與內、外滾道的接觸剛度計算公式[20]分別為

(1)

(2)

滾動體與滾道間的等效接觸剛度Kio[20]為

(3)

1.3.2 軸和內圈接觸剛度、軸承座和外圈接觸剛度計算

通過Pro/E軟件建立軸和軸承座的三維模型，將其導入ABAQUS軟件中進行有限元分析和計算. 軸和軸承內圈之間的接觸剛度為Ks，軸承外圈和軸承座之間的接觸剛度為KP.

1.4 時變位移

時變位移由兩部分組成：一部分是由軸承變剛度振動引起的時變徑向變形，另一部分是由軸承缺陷引起的時變位移.

1.4.1 軸承變剛度振動引起的時變徑向變形

模型中主要考慮深溝球軸承承受徑向載荷. 承受載荷的滾動體數量會隨著滾動體方位角的變化而改變，且由于軸承徑向游隙的存在，組件的剛度會發生周期性的變化，軸承會產生變剛度振動. 圖2所示為游隙與軸承載荷分布的情況，本文考慮正游隙下軸承承受的徑向載荷.

(a)正游隙 (b)零游隙 (c)負游隙

Fig.2 Load distribution of rolling bearing under different clearance

軸承的變剛度振動會引起軸承系統水平方向和豎直方向上位移的變化，如圖3所示，規定向右、向下分別是X、Y軸的正方向，逆時針方向為角度的正方向. 保持架的速度為

(4)

式中：db是滾動體直徑，Dm是軸承節徑，ws是軸的轉速.

第i個滾動體在時刻t的方位角為

(5)

式中：Z是滾動體數量，i是滾動體編號，θ0是編號為1的滾動體相對于Y軸的初始角位置.

根據圖3所示的幾何位置關系，得到徑向變形δγ為

δγ=(xs-xp)sinθi+(ys-yp)cosθi-Cγ,

(i=1,2,...,Z),

(6)

式中：xs和ys是軸的位置坐標，xp和yp是軸承座的位置坐標，Cγ是徑向游隙.

圖3 滾動軸承的變剛度振動

1.4.2 軸承缺陷引起的時變位移

軸承故障類型為剝落故障，為了便于計算接觸剛度和建立動力學方程，將故障簡化為位于滾道中央的長方形的坑. 坑的長度為L，寬度為0.1778 mm，深度為0.1778 mm. 滾動體從進入缺陷到離開缺陷的過程中會產生附加位移Hf，如圖4、5所示. 考慮缺陷尺寸即缺陷長度L遠小于滾動體直徑db，滾動體與缺陷底部不發生碰撞的情況，則最大附加位移Hmax和附加位移Hf分別如式(7)和式(8)所示:

(7)

式中L是缺陷長度，如圖5(b)所示.

(8)

式中：υ=mod(θi,2π)-φ0,(i=1,2,...,Z)，θq是缺陷角，φ0是缺陷初始角.

圖4 缺陷引起的時變位移

圖5(a)所示為軸承內、外圈故障位置的示意圖, 圖5(b)～(d)是以內圈故障為例，滾動體經過缺陷的過程細節圖. 軸承外圈故障時，滾動體經過缺陷時情況與內圈故障時相似.

圖5 缺陷位置和時變位移細節圖

(9)

同理，第i個滾動體位于外圈缺陷區域時應滿足

(10)

式中Do為外滾道直徑.

1.5 滾動體的滑動

滾動軸承中滾動體的滑動是客觀存在的現象，本模型用范圍為[0.01 rad,0.04 rad]的θslip和[-θslip,θslip]上的隨機函數Δ來表示軸承運行過程中滾動體的隨機滑動特性[21]，則第i個滾動體在任意時刻t的方位角為

(11)

2 建立動力學方程

基于Hertz接觸理論，滾動軸承點接觸載荷-位移關系為[20]

(12)

式中K為Hertz接觸剛度，δ為徑向變形量.

軸承內圈表面有單故障情況下總徑向變形可由式(6)變為

δ=(xs-xp)sinθi+(ys-yp)cosθi-Cγ-βHi.

(13)

軸承外圈表面有單故障情況下總徑向變形可由式(6)變為

δ=(xs-xp)sinθi+(ys-yp)cosθi-Cγ-βHo.

(14)

軸承表面有復合故障(內、外圈表面各同時含有一個故障)情況下總徑向變形可由式(6)變為

δ=(xs-xp)sinθi+(ys-yp)cosθi-Cγ-βHi+o,

(15)

式中：Hi為滾動體經過內圈故障時的附加位移，Ho為滾動體經過外圈故障時的附加位移，Hi+o為滾動體經過復合故障時的附加位移，Hi+o=Hi+Ho.

滾動體與內、外滾道之間的非線性赫茲接觸力與滾動體是否位于載荷區域有關. 如圖3所示，當滾動體位于非載荷區域時，認為滾動體與滾道不接觸，只有當滾動體位于載荷區域時才會受到力的作用. 因此引入Dirac函數判斷滾動體是否進入載荷區域，只有當δ大于零時滾動體與內、外滾道之間才有Hertz接觸力.

根據Hertz接觸理論，滾動軸承內、外圈總非線性赫茲接觸力F為

(16)

其中，β表示為

(17)

在水平、豎直方向的分量Fx、Fy分別為

(18)

(19)

根據牛頓第二定律，建立了復合故障滾動軸承動力學模型，其動力學方程為式(20)(23).

(20)

(21)

(22)

(23)

其中，Wx、Wy分別為水平方向和豎直方向上滾動軸承系統的外加載荷.

3 模型求解及驗證

設定X軸和Y軸方向上的初始位移為Xs=10-6m，Xp=10-6m和Ys=10-6m，Yp=10-6m，初速度為0 m/s，載荷Wx=500 N，Wy=0 N，步長設定為1×10-6. 采用龍格庫塔方法求解方程(20)～(23), 模型求解過程如圖6所示.

圖6 模型求解流程圖

采用凱斯西儲大學(Case Western Reserve University)的故障軸承實驗數據和董振振[13]的實驗結果來驗證本模型的正確性.

實驗所用軸承為SKF 6205深溝球軸承，該軸承具體參數見表1. 表2所示為西儲大學實驗時SKF 6205深溝球軸承在1750 r/min時轉頻(fs)、內滾道故障頻率(fbpi)、外滾道故障頻率(fbpo)、滾動體頻率(fb)、保持架頻率(fc)計算的數值.

實驗和模型研究的軸承故障類型均為剝落故障. 對于實驗數據采用包絡分析的方法得到故障特征頻率及相關信息，先通過Protrugram[22]方法得到中心頻率和帶寬，再利用帶通濾波器和低通濾波器將調制的故障信號從原始信號中分離出來，對信號進行平方包絡和傅里葉變換，得到解調后信號的時域和頻域圖.

表1 SKF 6205深溝球軸承參數

表2 轉頻、內外圈故障頻率、滾動體、保持架故障頻率值

Tab.2 Values of fault frequency for rotating frequency, inner and outer race, ball, and cage in 1750 r/min

Hz

3.1 內圈局部單故障軸承振動響應

當主軸轉速為1750 r/min，缺陷尺寸為0.5334 mm時，內圈含單故障軸承的模擬和實驗振動響應分別如圖7和圖8所示.

(a)內圈單故障模擬時域圖

(b)內圈單故障模擬頻域圖

Fig.7 Simulation time domain and frequency domain of bearing inner race with single fault

(a)內圈單故障實驗時域圖

(b)內圈單故障實驗頻域圖

Fig.8 Experimental time domain and frequency domain of bearing inner race with single fault

從圖7和圖8中可以看出，模型仿真信號在時域上存在周期性沖擊現象；在頻域圖上轉頻29.12 Hz、特征缺陷頻率157.3 Hz及其倍頻成分清晰可見. 實驗的內圈故障軸承信號在時域上同樣存在明顯的周期性沖擊現象；在頻域上轉頻28.94 Hz、特征缺陷頻率157.5 Hz及其倍頻成分清晰可見. 比較圖7和圖8中的數據，發現模型仿真數據與實驗數據基本吻合，具有較高的準確性，故本模型可用于內圈局部單故障軸承振動響應特性的分析與研究.

3.2 外圈局部單故障軸承振動響應

當主軸轉速為1 750 r/min，缺陷尺寸為0.533 4 mm時，外圈含單故障軸承的模擬和實驗振動響應分別如圖9和圖10所示.

從圖9和圖10中可以看出，模型仿真信號在時域上存在較明顯的周期性沖擊現象；在頻域上特征缺陷頻率104.7 Hz及其倍頻成分清晰可見. 試驗的外圈故障軸承信號在時域上同樣存在較明顯的周期性沖擊現象；在頻域上特征缺陷頻率104.8 Hz及其倍頻成分清晰可見. 比較圖9和圖10中的數據，發現模型仿真數據與試驗數據基本吻合，具有較高的準確性，故本模型可用于外圈局部單故障軸承振動響應特性的分析與研究.

從圖7～圖10中可以看出，時域上，模擬和實驗的單故障軸承信號都具有周期性沖擊現象，內圈與外圈相比其周期性沖擊現象更明顯，振幅更大. 在頻域上，模型內圈單故障模擬頻域圖中轉頻、故障特征頻率及其倍頻清晰可見，模型外圈單故障模擬頻域圖中故障特征頻率及其倍頻清晰可見；實驗內圈單故障頻域圖中轉頻、故障特征頻率及其倍頻和邊頻帶清晰可見，外圈單故障頻域圖中轉頻、故障特征頻率及其倍頻清晰可見.

(a)外圈單故障模擬時域圖

(b)外圈單故障模擬頻域圖

Fig.9 Simulated time domain and frequency domain of bearing outer race with single fault

(a)外圈單故障實驗時域圖

(b)外圈單故障實驗頻域圖

Fig.10 Experimental time domain and frequency domain of bearing outer race with single fault

3.3 軸承復合故障軸承振動響應

當主軸轉速為1750 r/min，缺陷尺寸為0.5334 mm時，內、外圈各同時含一個故障即復合故障時軸承的振動響應，分別如圖11和圖12所示. 從圖12中可以看出，軸承復合故障模型模擬頻域圖中轉頻、特征缺陷頻率及其二倍頻、三倍頻成分和它們周圍的邊頻帶清晰可見.

通過圖12可以看出，本模型模擬的特征頻率成分和表2中得到的理論特征頻率數值誤差在2%以內，有較好的吻合度. 誤差產生的原因與預緊力、滾動體滑動等因素有關.

圖11 軸承復合故障模擬時域圖

圖12 軸承復合故障模擬頻域圖

Fig.12 Simulatied frequency domain of bearing with compound fault

通過觀察、對比圖7～圖12，可以清晰地看出滾動軸承內、外圈各包含一個故障(復合故障)時，其頻率成分與單故障相比較，其幅值增大，復合故障的振動響應是由內、外圈單故障的振動響應耦合作用的結果，這與董振振的實驗結論[13]相一致，如圖13所示，董振振通過實驗驗證了軸承復合故障信號是單點故障信號耦合作用的結果. 故本文所建復合故障滾動軸承動力學模型具有一定的可靠性與正確性.

圖13 復合故障信號圖[13]

4 復合故障滾動軸承振動特性分析

4.1 缺陷尺寸對復合故障軸承振動的影響

軸承在工作運行中會產生裂紋、點蝕和凹坑等局部缺陷[7-8]，且缺陷的尺寸會不斷增大，導致軸承產生異常的振動，引起振動頻率和幅值的變化. 故障的形貌特征與其激勵的沖擊響應之間有一定的關系，故研究缺陷尺寸對揭示振動特性有重大的意義.

圖14是在軸承轉速1 750 r/min，外部載荷500 N的情況下，剝落缺陷尺寸分別為0.177 8、0.355 6、0.533 4、0.711 2 mm的軸承振動響應情況. 從圖14中可觀察出，隨著缺陷尺寸由0.177 8 mm增大到0.711 2 mm時，相對應的故障特征頻率及其倍頻成分的頻率值沒有發生改變，但其所對應的加速度幅值呈上升趨勢，軸承振動沖擊愈加強烈，表現在加速度幅值的增大. 這是由于軸承缺陷尺寸增大導致系統內部激勵力的增加，表現為振動幅值的增大.

圖14 不同缺陷尺寸模擬信號頻率幅值趨勢圖

4.2 轉速對復合故障軸承振動的影響

設備在運行過程中，轉速的大小對于軸承系統的穩定性有著極大的影響，故研究復合故障軸承在不同轉速條件下的振動響應是十分必要的. 考慮到在頻域上能直觀的分析不同轉速下振動信號的變化情況，而在時域上觀察僅能看到故障信號的沖擊現象，故在分析轉速對振動的影響時本文僅考慮振動信號在頻域上的變化.

圖15是在缺陷尺寸0.355 6 mm，載荷500 N的情況下，主軸轉速分別為1 730、1 797、1 830、1860 r/min時軸承的振動響應情況. 由圖15可以觀察出，轉速的增加會導致內圈的轉頻、故障特征頻率及其倍頻成分的頻率值增大，對應的加速度幅值呈上升趨勢.

圖15 不同轉速下模擬信號頻率幅值趨勢圖

Fig.15 Simulated frequency domain under different shaft rotational speed

4.3 載荷對復合故障軸承振動的影響

圖16是軸承在轉速為1 750 r/min，缺陷尺寸為0.355 6 mm情況下，載荷分別為300、600、900、2 000 N時軸承的振動響應情況. 從圖16中可觀察出，在一定載荷范圍內，隨著載荷由300 N增大到2 000 N時，故障特征頻率及其倍頻成分的頻率值沒有發生改變，但其所對應的加速度幅值呈上升趨勢，表現為軸承振動更加劇烈.

圖16 不同載荷下模擬信號頻率幅值趨勢圖

5 結 論

1)復合故障的振動響應是由內、外圈單故障的振動響應耦合作用的結果，在頻譜圖中可以明顯地分辨出內、外圈故障特征頻率及倍頻成分，與單故障相比較，其對應的幅值增大.

2)研究了在不同工況條件下復合故障軸承的振動響應規律，缺陷尺寸增大、轉速增高和載荷增強都會使復合故障軸承的振動幅值增大，影響其運行狀態，進而加速軸承的失效，降低軸承的使用壽命.