線上教學(xué)模式在線性代數(shù)中的應(yīng)用探究

張 卿 高清芬

（衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 河北 衡水 053000）

新年伊始，突如其來(lái)的疫情打亂了所有的計(jì)劃，為阻止疫情向校園蔓延，教育部下發(fā)了春季延期開(kāi)學(xué)的通知，并發(fā)出了“停課不停教，停課不停學(xué)”的號(hào)召，全國(guó)師生積極響應(yīng)教育部的號(hào)召，進(jìn)行了一場(chǎng)超大規(guī)模的授課方式的變革， 《線性代數(shù)》 作為各類大學(xué)理工科專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課程，與其他數(shù)學(xué)課程相比有所不同，它具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性以及廣泛的應(yīng)用性，且具有概念多、論證量大、計(jì)算技巧強(qiáng)的特點(diǎn)，對(duì)于提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用[1]。筆者結(jié)合自己的授課經(jīng)驗(yàn)談?wù)剬?duì)這門課進(jìn)行線上教學(xué)的體會(huì)。

1 課前準(zhǔn)備

對(duì)于課前準(zhǔn)備，線上授課不同于線下授課，首先要選擇好平臺(tái)；其次，將本節(jié)內(nèi)容課件、視頻等上傳至學(xué)習(xí)平臺(tái)；最后，對(duì)本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、大綱要求甚至對(duì)定理的理解、掌握程度都要做出明確要求，讓學(xué)生了解。這樣學(xué)生才能做到心中有數(shù)，有利于學(xué)習(xí)任務(wù)的完成，為網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的順利開(kāi)展做了充分的準(zhǔn)備。

2 新課講授

由于線上授課，教師無(wú)法對(duì)學(xué)生的聽(tīng)課情況進(jìn)行操控，如果還是采用“滿堂灌”、“老師講學(xué)生聽(tīng)”的傳統(tǒng)教學(xué)模式，勢(shì)必造成學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，因此，每節(jié)課可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的多少、難易程度將線上授課控制在一定時(shí)間內(nèi)，留出一定的時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)討論來(lái)提升課堂效果。根據(jù)線性代數(shù)這門課的特點(diǎn)，線上授課重點(diǎn)要做好以下幾點(diǎn)。

2.1 抓核心，以點(diǎn)帶面。萬(wàn)事萬(wàn)物都是有聯(lián)系的，知識(shí)也一樣，只要善于發(fā)現(xiàn)，總能發(fā)現(xiàn)蛛絲馬跡。線性代數(shù)主要研究的不外乎就是行列式與矩陣及在矩陣基礎(chǔ)上派生出來(lái)的線性方程組、特征值與特征向量、二次型。行列式是基礎(chǔ)，矩陣中利用初等行變換化矩陣為梯矩陣或最簡(jiǎn)梯矩陣是線性代數(shù)的核心，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)貫穿第二章、第三章、第四章、第五章，可以說(shuō)幾乎涉及每個(gè)章節(jié)，學(xué)好了這部分對(duì)學(xué)好整個(gè)課程起著至關(guān)重要的作用，將矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q化為行階梯形矩陣進(jìn)一步再化為行最簡(jiǎn)形說(shuō)容易其實(shí)也不容易，容易是指將一些數(shù)做些加減、數(shù)乘之類的運(yùn)算，初中生也能計(jì)算，不容易是指面對(duì)不同的矩陣，采用的方法不同，但都有一定的規(guī)律，計(jì)算的數(shù)值次數(shù)多，一次完全做對(duì)需要仔細(xì)、認(rèn)真地計(jì)算才行。因此教學(xué)中首先線上講解化簡(jiǎn)的規(guī)律，反復(fù)強(qiáng)調(diào)這一過(guò)程的重要性，通過(guò)課上示范、課下作業(yè)練習(xí)、章節(jié)小測(cè)等多種形式加強(qiáng)這方面的練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握這一方法。在此基礎(chǔ)上再結(jié)合相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)去求解逆矩陣、矩陣的秩、求線性方程組的解、求向量組的秩、求正交矩陣、將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等等，以“點(diǎn)”帶“面”，使學(xué)生學(xué)習(xí)其他知識(shí)時(shí)能夠游刃有余，事半功倍。

2.2 重概念，化難為易。基本概念通常是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，深入理解基本概念是數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的前提，基本概念的教學(xué)方法將直接影響數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果[2]，因此線上授課重點(diǎn)是講清概念，比如線性代數(shù)中線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念，給定向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得k1a1+k2a2+…kmam=0 成立，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱為線性無(wú)關(guān)的[3]。這里著重理解“不全為零的數(shù)”幾個(gè)字，即如果這組數(shù)全為零等式成立，并不能說(shuō)明線性相關(guān)，也不能說(shuō)明線性無(wú)關(guān)，而只有當(dāng)且僅當(dāng)這組數(shù)全為0時(shí)成立，才能說(shuō)明線性無(wú)關(guān)，再加上實(shí)例的驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)這樣反復(fù)的強(qiáng)調(diào)，相信學(xué)生一定能牢牢地掌握此概念。總之，授課中要讓學(xué)生深刻地理解各個(gè)概念，學(xué)習(xí)起來(lái)才能游刃有余。

2.3 重總結(jié)，溫故知新。線上授課，學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更加碎片，要將所學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系在一起，習(xí)題課的優(yōu)越性更加突出地體現(xiàn)出來(lái)。線性代數(shù)課程中有很多相似的知識(shí)點(diǎn)，授課時(shí)多進(jìn)行對(duì)比更有利于學(xué)生掌握新知識(shí)，比如行列式與矩陣，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)完行列式和矩陣之后，分不清矩陣和行列式，經(jīng)常把兩者的符號(hào)混同，甚至到這門課結(jié)課時(shí)都不能很好地掌握，習(xí)題課上教師主要引導(dǎo)學(xué)生分析它們的異同，雖說(shuō)行列式與矩陣都用行、列的形式呈現(xiàn)，行列式性質(zhì)與矩陣的初等變換有些敘述相似，行列式的性質(zhì)與矩陣的初等變換都有某行各元素的k 倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上；某兩行進(jìn)行對(duì)換[3]，這兩條看似相同，實(shí)質(zhì)意義不同，前者對(duì)行列式來(lái)說(shuō)，其值不變，對(duì)矩陣來(lái)說(shuō)被加到的這行的元素發(fā)生了改變，而第二種變換對(duì)行列式來(lái)說(shuō)，其值變號(hào)，對(duì)矩陣來(lái)說(shuō)對(duì)應(yīng)兩行的元素都變了。行列一樣時(shí)都為方形，但行列式與矩陣實(shí)際是完全不同的概念，它們?cè)谟浱?hào)、形狀、意義上完全不同，行列式是一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式，矩陣是個(gè)數(shù)表。線性代數(shù)中相似的概念還有很多，比如矩陣的相似、合同、正交等等這些都要在習(xí)題課時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，從而讓學(xué)生真正理解其含義，掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。

3 課后作業(yè)

3.1 作業(yè)的布置。作業(yè)是對(duì)授課教學(xué)的有效延伸，是課堂學(xué)習(xí)的鞏固和深化。數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，既不用做實(shí)驗(yàn)也不用上機(jī)演示，它需要每次課后的書面作業(yè)來(lái)鞏固所學(xué)知識(shí)。而這種線上教學(xué)，由于教師沒(méi)有與學(xué)生面對(duì)面互動(dòng)，看不到學(xué)生的情感態(tài)度，不了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，因此就需要加大課后考評(píng)來(lái)反映，針對(duì)這種情況，需要教師精心準(zhǔn)備課后作業(yè)，一般第一題就是針對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)來(lái)布置，考查學(xué)生在真正理解所學(xué)知識(shí)后才能總結(jié)出來(lái)的知識(shí)，后面的題再根據(jù)本節(jié)所學(xué)知識(shí)從課后練習(xí)題中精心選出，注意難度適中、覆蓋面要廣，以便鞏固所學(xué)知識(shí)。比如求矩陣的秩，一種方法用定義求，即矩陣的最高階非零子式的階數(shù)；另一種用初等變換求，即行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。根據(jù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以布置一道習(xí)題：用定義求3 4 階矩陣的秩，從最高階子式判斷還是最低階子式判斷？如果有一個(gè)一階子式，一個(gè)二階子式不為零，有一個(gè)三階子式為0，能否說(shuō)明矩陣的秩為3？通過(guò)對(duì)這種問(wèn)題的思考讓學(xué)生深刻理解矩陣的秩的定義，從而對(duì)兩種求矩陣秩的方法的優(yōu)劣有更深的認(rèn)識(shí)。

3.2 作業(yè)的批改。作業(yè)是教師獲取教學(xué)反饋信息的重要手段，通過(guò)批改作業(yè)，教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與弱點(diǎn)。線上教學(xué)布置作業(yè)一般要求提交到學(xué)習(xí)平臺(tái)，而這種公共課往往是大班教學(xué)，屬多作業(yè)課程，教師看作業(yè)占用太多時(shí)間，批改起來(lái)有一定難度，因此，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的作業(yè)，一般在平臺(tái)上“廣撒網(wǎng)”的形式大致看看，之后記下出現(xiàn)的問(wèn)題，挑出做得好的作業(yè)，用照片的形式在學(xué)習(xí)群發(fā)布，對(duì)一些共性問(wèn)題以書面形式發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生修改并保存。這樣做，一方面讓學(xué)生做到知己知彼，找出差距，確定自己的努力方向；另一方面讓學(xué)生通過(guò)自己修改，加深了對(duì)知識(shí)的理解，鞏固所學(xué)知識(shí)。

3.3 章節(jié)小測(cè)。線上教學(xué)總體來(lái)說(shuō)不如線下帶給的沖擊直觀，教師“看不見(jiàn)摸不著”，知識(shí)的學(xué)習(xí)不是很系統(tǒng)，因此學(xué)完每章后都要系統(tǒng)總結(jié)，通過(guò)章節(jié)測(cè)試鞏固所學(xué)知識(shí)，章節(jié)測(cè)試不宜過(guò)難，主要考查基本知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生在學(xué)完后獲得成功感，在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中更加自信。

3.4 輔導(dǎo)答疑。線性代數(shù)作為基礎(chǔ)課，選課人數(shù)較多，加上線上授課的模式不能滿足所有學(xué)生實(shí)時(shí)提問(wèn)、實(shí)時(shí)答疑的需求，為彌補(bǔ)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的短板，教師通過(guò)建立微信群、QQ 群等進(jìn)行互動(dòng)，對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題通過(guò)語(yǔ)音、圖片等形式及時(shí)給予回復(fù)，保證當(dāng)天的問(wèn)題當(dāng)天解決。還可以通過(guò)在線討論，組織學(xué)生進(jìn)行反思，促進(jìn)知識(shí)的吸收內(nèi)化和問(wèn)題解決。

總之，線上教學(xué)既有優(yōu)點(diǎn)又有缺點(diǎn)，如何將線上教學(xué)與線下教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，相得益彰，是今后仍要探究的課題。