對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性

趙皓宇 祝長生

摘要：為了研究帶有比例微分控制的對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，首先建立了對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子徑向四自由度系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動分解為平動運動和錐動運動;其次，分別求解平動運動及錐動運行的特征根，利用特征根分析了比例系數(shù)、微分系數(shù)以及轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速等參數(shù)對平動運動和錐動運動固有特性的影響，并提出了比例微分控制器參數(shù)的設(shè)計原則;然后，求得了由轉(zhuǎn)子不平衡引起的平動和錐動振動的解析表達式，分析了轉(zhuǎn)子剛體平動及錐動的共振特性以及控制器參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡振動的影響;最后，通過實驗，對對稱電磁軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性的理論分析結(jié)果進行了驗證。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)子動力學(xué);電磁軸承;剛性轉(zhuǎn)子;比例微分（PD）控制;轉(zhuǎn)子不平衡

中圖分類號：0347.6文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）05-0940-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2020.05.009

引言

電磁軸承（也稱之為主動電磁軸承ActiveMagnetic Bearing，以下簡寫為AMB）通過對電磁鐵線圈中電流的實時控制，使其產(chǎn)生受控的電磁力來實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子的懸浮，具有無接觸、適合高速、動力特性易于控制等特點，已成為高速旋轉(zhuǎn)機械的典型支撐單元。為使AMB支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有良好的振動特性，過去雖然已經(jīng)提出了一系列的智能控制方法，如魯棒控制、自適應(yīng)控制、非線性控制等，但工程中最常用的仍然是分散的比例一積分一微分（PID）控制。大量的實踐已經(jīng)證明，分散控制在大量AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的控制性能和魯棒性都能夠滿足一般的工程要求。

就分散PID控制的AMB支承的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，其動力學(xué)特性的分析通常有根軌跡法、頻率特性法、相位圖法和時域仿真法等。由于系統(tǒng)特征根能夠準確地描述系統(tǒng)的頻率和衰減等特性，因此剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析首選特征根法。Polajzer等用根軌跡法設(shè)計了一種PI和PD級聯(lián)的位置控制器，研究了控制器的穩(wěn)定性。Fan等利用根軌跡法研究了陀螺效應(yīng)對AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。Psonis等利用特征方程和勞斯穩(wěn)定判據(jù)研究了單自由度AMB轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Yang等給出了單自由度AMB轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)特征根的解析式，分析了PD控制器的整定問題。肖凱等分析了單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)剛度和阻尼特性以及PD控制器參數(shù)對其剛度和阻尼特性的影響。Akash等在研究單自由度模型的基礎(chǔ)上，引入自適應(yīng)PID技術(shù)，對系統(tǒng)進行閉環(huán)控制。董淑成等用根軌跡法分析了PD參數(shù)對AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特性的影響，然后結(jié)合相位圖法對積分參數(shù)的作用進行了分析。雷新亮等根據(jù)單自由度AMB系統(tǒng)模型求得了PD參數(shù)的穩(wěn)定域，分析了控制器參數(shù)對轉(zhuǎn)子動力特性的影響，最后用實驗對控制參數(shù)進行修正。袁崇軍等以多質(zhì)點離散轉(zhuǎn)子為對象，采用迭代算法逼近系統(tǒng)特征根，用迭代計算結(jié)果判別AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。汪希平根據(jù)單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，計算了系統(tǒng)復(fù)剛度和復(fù)阻尼，分析了系統(tǒng)的阻尼和共振頻率特性。wei等在分散PID控制器中加入濾波器，以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。Kascak等研究了PD控制下AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

本文首先建立了考慮轉(zhuǎn)子不平衡的對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子徑向四自由度系統(tǒng)的動力學(xué)模型;其次在分散PD控制下得到了轉(zhuǎn)子各模態(tài)特征根的解析表達式，從而獲得了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自然振動衰減特性和頻率特性;然后求解了轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的解析表達式，分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛體共振等特性;最后通過實驗對相關(guān)理論結(jié)果進行了驗證。

1對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型

如圖1所示為一般的AMB軸對稱剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

由微分方程理論可知，非齊次微分方程的解分別由非齊次微分方程的特解以及與之對應(yīng)的齊次微分方程的通解兩部分組成。在動力學(xué)中，將非齊次微分方程的特解稱為系統(tǒng)的受迫振動，其特性由不平衡激振力決定。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)齊次微分方程的通解稱為系統(tǒng)的自然振動或固有振動，它僅由系統(tǒng)本身的特性決定，與外部激勵無關(guān)。由此可見，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非齊次微分方程式的特解表示了不平衡引起的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動/錐動的受迫振動。在沒有其他外部激勵的情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動/錐動的受迫振動由轉(zhuǎn)子的不平衡力決定。因此這種受迫振動又稱為不平衡振動;而與之對應(yīng)的齊次微分方程式則表示了系統(tǒng)平動/錐動的固有振動，即系統(tǒng)的固有特性。

下面首先求解齊次微分方程式（15）和（16），以研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動/錐動的固有特性。然后求解非齊次微分方程式（13）和（14），以研究轉(zhuǎn)子不平衡量導(dǎo)致的系統(tǒng)受迫振動。

2對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有特性

2.1轉(zhuǎn)子平動振動的固有特性

a）D值不能選得過低。由表2可知，平動和錐動的衰減主要由D決定。如果D選得過小，就無法為系統(tǒng)提供足夠阻尼，使振蕩迅速衰減，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)速度慢，當系統(tǒng)中存在非線性時閉環(huán)系統(tǒng)甚至?xí)霈F(xiàn)不穩(wěn)定問題。

b）D值不能選得過大。由于速度信號中的噪聲要比位移信號中的噪聲更為嚴重，因此，高阻尼系統(tǒng)就意味著高噪聲水平，只有保證位移和速度信號中的噪聲水平足夠低，才能考慮選擇較高的阻尼。對于復(fù)雜的AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，位移傳感器、功率放大器、外部流體和電氣等設(shè)備都會引人噪聲，因此不宜采用過高阻尼的控制方式。

c）D值的選取應(yīng)與比例系數(shù)P的選取相配合。由表2可知，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率由系數(shù)P和D共同確定，所以為了達到滿意的控制效果，二者必須在選擇上進行配合。以WFw為例，當提高系數(shù)P時，WFw會隨之增大，此時若再減小系數(shù)D，則WFw會變得更大，嚴重時甚至可能超過系統(tǒng)帶寬，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。由此可見，P值越高，D值必須選擇越大，以保證頻率在一個合理的范圍內(nèi)。

4解析分析和實驗結(jié)果

解析分析和實驗中AMB對稱剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。根據(jù)表1中系統(tǒng)參數(shù)，由式（37）和（38）計算出比例系數(shù)P和微分系數(shù)D的數(shù)值。取k=2，v=0.2時，P=6335，D=3.5。

根據(jù)解析式計算得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)曲線如圖13所示。

圖14為某磁懸浮高速電機實驗裝置，該實驗平臺由電源，變頻器，dSPACE，傳感器，開關(guān)功放，電機和上位機等組成。電機的轉(zhuǎn)子徑向由兩個AMB支撐，軸向由一對永磁軸承支撐。

在P=6400，D=5的條件下，實驗得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)曲線如圖15所示。實驗結(jié)果表明，根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有振動特性所選擇的PD參數(shù)能夠使實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運行，并具有較好的動態(tài)特性。將圖13與15進行比較可知，解析式能較為準確地反映AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動狀態(tài)。

理論解析與試驗結(jié)果之問存在一定差異的主要原因為：

1）實際系統(tǒng)任一時刻的運動都是由固有振動和不平衡振動共同組成。轉(zhuǎn)子在0轉(zhuǎn)速附近時，不平衡振動很小，固有振動對轉(zhuǎn)子振動幅值的影響尤為明顯。然而實驗中固有振動幅值由初始條件決定，具有隨機性，因此解析式曲線與實驗曲線在0轉(zhuǎn)速附近區(qū)別較為明顯。

2）實際系統(tǒng)并非完全對稱系統(tǒng)，主要表現(xiàn)在轉(zhuǎn)子質(zhì)心并不是準確位于兩端電磁軸承的中點處。這種非對稱性將平動與錐動耦合在一起，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動特性造成影響。

3）實際控制系統(tǒng)中存在的滯后（如采樣滯后，計算滯后等），以及功放傳感器等環(huán)節(jié)的延遲效應(yīng)，都會影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動特性。

5結(jié)論

針對對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)的動力特性進行了解析分析，得出如下結(jié)論：

（1）對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子的平動和錐動方程互相解耦，可以分別對轉(zhuǎn)子的平動和錐動振動的固有特性及不平衡響應(yīng)特性進行解析分析。

（2）對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)的固有振動特性不僅與系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)有關(guān)，而且還與PD控制器的比例系數(shù)P和微分系數(shù)D有關(guān)。當選取P為“自然”剛度時，D值應(yīng)與P值相匹配，才能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定運行，且具有良好的動態(tài)特性。

（3）對于對稱AMB剛性轉(zhuǎn)子PD閉環(huán)系統(tǒng)，當轉(zhuǎn)速較低時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動受P和D參數(shù)的影響較為明顯，調(diào)節(jié)P和D參數(shù)，可以調(diào)節(jié)平動位移共振和錐動角度共振點的位置和振幅。