初中數學函數教學中滲透模型思想的研究
——以“一次函數”為例

陜西省延安市實驗中學 薛曉霞

在義務教育數學課程標準中，模型思想與數感、符號意識、空間觀念等一同被列入十大核心素養中，在函數教學中滲透模型思想受到重視。以下擬結合筆者自身的教學實踐體會對此作簡要探討，希望對一線教師有所啟示。

一、函數教學中滲透模型思想的策略

根據課標中的敘述，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程主要是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。可見，在初中數學中，函數所表示的數量關系和變化規律本身就屬于重要模型之一，它是利用函數知識解決現實生活中具體問題的基本載體和必由途徑，所謂數學建模的意義主要就在于此，這也是函數教學中滲透模型思想的主要目的所在，即讓學生具備基本的建模意識和建模能力，能夠應用函數知識去解決相關的實際問題。由此而見，在函數教學中滲透模型思想的基本策略就是多引入一些實際問題，多列舉一些真實案例，讓學生在具體情境中運用函數知識。進一步而言，教師要注重在教學中引導學生經歷建立數學模型并應用其解決實際問題的過程，使學生形成深刻體驗，實現從感性認識到理性認識的躍遷和升華，這也代表著學生真正掌握了數學模型的本質，長此以往，必能在潛移默化中促進學生模型思想的形成。下面以一次函數為例對此進行具體探討。

二、一次函數教學中模型思想的滲透

一次函數是初中函數知識的基礎和重要組成部分，很多實際問題可以利用一次函數來解決。在學生掌握其定義和特征后，就可出示一些實際問題，引導學生通過一次函數的模型來解決。

1.直接給出模型

所謂直接給出模型，就是問題中說明了數學關系和變化規律是一次函數，或者沒有明確說明但很容易看出來，這是最簡單的一種情況。例如：“已知某彈簧在一定限度內，其長度y（cm）是所掛物體重量x（kg）的一次函數。當所掛物體重量為4kg 時，彈簧的長度是7.2cm；當所掛物體重量為5kg 時，彈簧的長度是7.5cm。那么當所掛物體重量為6kg 時彈簧的總長度是多少？”

顯然，此題很簡單，一次函數的關系明確給出，這意味著解題者就不再需要分析題意建模了，直接利用模型y=kx+b即可，只要將題目中的兩個已知條件分別代入這一關系式中，得到二元一次方程組，求解得到k和b的值，進而得到模型關系式為y=0.3x+6，然后將x=6代入，求得此時彈簧的長度為7.8cm。這種直接給出模型的題目屬于層次較低的應用，省略了通過分析從具體實際問題中抽象出數學模型的過程，但不妨作為一種鋪墊和踏板，在初期供學生練習進步。

2.猜測建立模型

這類問題就不再有一次函數模型的明確顯示或強烈暗示了，需要解題者自己判斷，進而建立模型。例如：“張老師的鞋子是42 碼的，長26cm；王老師的鞋子是39 碼的，長24.5cm；黃老師的鞋子是36碼的，長23cm；李老師的鞋子是41 碼的，長多少呢？”

這個問題中鞋碼和長度的關系顯然是不確定的，可能是一次函數關系，但也可能不是，需要解題者猜測并驗證，解題的思路是先假設問題中的關系是一次函數模型，設y=kx+b，然后利用題目中給出的兩組數據得到一個方程組，求得k和b的具體值，得到模型關系式的表達式，再用另一組已知數據進行驗證，最終得到結論：鞋碼和鞋的長度之間是一次函數關系，最后利用得到的模型關系式求解即可。這類題目顯然比直接給出模型的問題增加了難度，同時也可真正地鍛煉學生的建模素養，促進其模型思想的形成。

3.實際推導模型

實際推導，顧名思義，就是需要根據已知條件進行推導分析，以明確模型關系。例如：“李老師提著重量為0.5 斤的籃子去超市買10斤雞蛋。當售貨員稱好了雞蛋往籃子里放時，李老師發現個數比以前買的10 斤雞蛋少了很多，于是將雞蛋連著籃子又讓售貨員稱量，結果是10.55 斤。李老師看到這一結果，立刻要求售貨員退1 斤雞蛋的錢，售貨員認錯并退錢。那么，李老師是如何很快知道少了一斤雞蛋的呢？（精確到1 斤）請寫出分析過程并說說啟發。”

這個問題顯然有著一定難度。如果設雞蛋實際重量為x斤，顯示重量為y斤，在正常情況下是y=x。但售貨員顯然是作弊了，即要令y大于x。如果是秤盤底下加了吸鐵石，相當于在x后加了一個常數，使得y=x+a，但售貨員由于不知道顧客買多少東西，如果顧客買得多會很容易發現弊端，因此，售貨員不會采取這種方式作弊。那么，要讓y大于x，其實可以調整秤，使得y=kx成立，k為大于1 的常數，這樣就可以達到作弊且不易被發現的效果了。根據問題已知條件有：10=kx，10.55=k（x+0.5），由此式得到10.55=kx+0.5k，將10=kx代入該式求得k=1.1，再把k=1.1 代入10=kx可求得x=9.09，由此可知售貨員少給了大于1 斤雞蛋。這樣，就通過推導確定了模型關系，從而解決了問題。

本文簡要探討了初中數學函數教學中如何滲透模型思想。事實上，初中函數教學中模型思想的滲透是一個兼具深度和廣度的教學話題，需要一線教師在教學實踐中積極探索和總結，本文拋磚引玉，尚盼同仁指教。