查找錯因 用對方法

文朱 萍

方程與不等式是刻畫數量關系的數學模型，二者相互聯系，相互滲透。如何正確地用方程與不等式的知識解決問題，是中考的熱點。下面就將同學們在方程與不等式學習中經常出現的錯誤和容易混淆的地方進行匯總，以幫助大家更好地掌握知識、用對方法。

一、對一元二次方程和方程解的定義不清晰

例1 已知關于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0 有一個根為x=0，則a的值為（ ）。

A.0 B.±1 C.1 D.-1

【錯解】B。

【錯誤原因】把x=0 代入原方程得a2-1=0，解得a=±1，所以選B。解題時忽略了一元二次方程二次項系數不為零的條件，沒有把a=1舍去。

【正解】D。

【點撥】一元二次方程是指只含有一個未知數（一元），并且含有未知數的項的最高次數是2（二次）的整式方程。遇到方程中有參數時，一定要仔細審題，注意題目中的隱含條件，把求出的值逐一驗證。

二、對等式的性質理解不徹底

【錯解】去分母得3x=2x+1，解得x=1。

【錯誤原因】解題時最后一項“1”漏乘了最簡公分母3（x+1），最后也沒有檢驗。

【正解】去分母得3x=2x+3（x+1），解得

【點撥】由于分式方程去分母變為整式方程時，未知數的取值范圍擴大了，有可能產生增根，所以解分式方程時一定要進行檢驗。去分母時用到了等式的基本性質：在等式的兩邊同時乘或除以一個不為零的整式，等式仍然成立。使用該性質時，方程的每一項都要乘最簡公分母，不能漏乘。

三、不會靈活運用不等式的性質

例3 下列說法不一定成立的是（ ）。

A.若a＞b，則a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則ac2＞bc2

D.若ac2＞bc2，則a＞b

【錯解】D。

【錯誤原因】對不等式的性質機械背誦，不會靈活運用。選項D 中隱含了c2≠0，所以是正確的；而選項C中，當c2=0時不等式是不成立的。

【正解】C。

【點撥】在不等式的性質中，如果不等式兩邊同時乘或除以一個正數，不等號方向不變；同時乘或除以一個負數，不等號方向改變。要仔細讀題，對不等式兩邊乘或除以的整式認真辨別。

四、混淆分式方程有增根和無解的情況

【錯解】去分母得：x-2=mx，

∵分式方程無解，

∴方程有增根x=-1，

把x=-1代入，得m=3。

【錯誤原因】把分式方程的無解當成了有增根。

【正解】去分母得：x-2=mx，即（m-1）x=-2，由分式方程無解，得到：

①方程有增根x=-1，把x=-1 代入，得m=3；

②當m-1=0 即m=1 時，方程左邊=0，右邊=-2，∴左邊≠右邊，∴方程無解。

綜上所述：m=3或m=1。

【點撥】分式方程有增根和無解是兩個不同的概念。分式方程在去分母時把方程變成整式方程，未知數的取值范圍擴大了，所以有可能求出的未知數的值不適合原方程，我們把這個值叫做增根，此時原方程無解。但是分式方程無解，不一定就是方程有增根，還有可能是變形后的整式方程無解（關于x的一元一次方程ax=b，當a=0且b≠0時方程無解）。

五、遺漏分式方程分母不為0 的隱含條件

例5 已知關于x的分式方程

A.-2＜k＜0

B.k＞-2且k≠-1

C.k＞-2

D.k＜2且k≠1

【錯解】C。

【錯誤原因】只看到題目表面的條件“解為正數”，而忽略了分式方程本身的隱含條件：分母不為0。

【正解】解分式方程得x=2+k，

∵該分式方程有解，

∴x≠1，即2+k≠1，∴k≠-1?！叻质椒匠痰慕鉃檎龜担鄕=2+k＞0，∴k＞-2，

∴k＞-2且k≠-1。

故選：B。

【點撥】遇到分式方程的問題，一定要考慮到使原方程有意義的條件：分母不等于0。

以上是同學們在方程與不等式的學習中常見的一些錯誤，主要原因是概念和知識點理解得不透徹，甚至有的知識點混淆。所以，我們平時要做個有心人，學會及時進行總結和反思，只有這樣，才能提升我們的數學思維和解題能力。