知識成體系 方法成系統

文浦敘德（特級教師）

一、從宏觀到微觀，全面認識方程與不等式體系

從宏觀層面來認識初中數學，可以將其分為“數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐”四大板塊。其中“綜合與實踐”屬于數學知識的應用，不涉及新知識，所以，嚴格來說，初中數學就是“代數板塊、幾何板塊、統計板塊、概率板塊”四大部分。其中的代數板塊又分成“數、式、方程、不等式、函數”五部分內容，顯然，方程和不等式處在初中代數的中間部分，其重要性可想而知。兩者可以看成是前面“數、式”知識的應用，也可以看成是后面“函數”知識的基礎，所以，方程與不等式在初中代數中起著承前啟后的橋梁作用。

從中觀層面來認識方程，初中方程涉及七（上）“一元一次方程”、七（下）“二元一次方程組”、八（下）“分式方程”、九（上）“一元二次方程”共四章內容。其中，一元一次方程是最基礎的，二元一次方程（組）是它在“元”（未知數個數）上的推廣，一元二次方程是它在“次”（未知數次數）上的推廣。按照特殊到一般的規律，我們還了解了“三元一次方程（組）”，當然還可以繼續推廣了解“一元三次方程”等知識。上述四章方程內容，我們可以把它看成是同類單元，這樣我們可以把方程部分作為一個整體來加以認識。從中觀層面來認識不等式，初中不等式涉及七（下）“一元一次不等式”，包括一元一次不等式與一元一次不等式組兩部分，如果與方程知識加以比較，還可以進一步研究“一元二次不等式”等知識。

從微觀層面來認識方程（不等式），他們都是從生活問題中兩個量之間的“相等關系”（不相等關系）開始進行抽象，根據“元”“次”不同各自得出方程（不等式）的定義，再根據等式（不等式）的性質對方程（不等式）進行變形，然后解方程（不等式）得出解（解集），最后利用方程（不等式）的知識解決生活中的實際問題，完成數學到生活的回歸。上述微觀認識體現了生活與數學兩個過程，一個是“生活問題——抽象——數學方程（不等式）——建?！顔栴}”的生活數學關聯過程，另一個是“定義——方程（不等式）解（解集）——等式（不等式）性質——解方程（不等式）”的數學自身發展過程。

二、從知識到方法，全面深化方程與不等式認識

從上面的知識產生過程可以看出，“數學抽象”是方程與不等式中非常重要的思想方法。數學抽象是指通過生活問題或數學問題對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。顯然，問題中如果得到兩個量之間是“相等關系”，并且含有未知數，那么就可以得到數學中的“方程”；問題中如果得到兩個量之間是“不相等關系”，那么就可以得到數學中的“不等式”。因為這一思想方法主要是用于新知的產生過程，所以，此處不再展開。

從方程與不等式自身發展過程可以看出，“數學推理”是方程與不等式中又一個非常重要的思想方法。數學推理包括很多種思想方法，“轉換與化歸”就是其中之一。解一元一次方程（不等式）的基本步驟是“去分母——去括號——移項——合并同類項——系數化為1”，這其實就是利用等式性質（不等式性質）一步一步轉換化歸的過程，最后求出解（解集）。把二元一次方程組與一元一次方程放在一起進行比較，你會發現，它多了一個元，所以，“消元”是我們的目標，我們正是通過“代入消元法（加減消元法）”把“二元一次方程組”變成“一元一次方程”，完成了轉化的目的；把一元二次方程與一元一次方程放在一起進行比較，你會發現，它高了一次，所以，“降次”是我們的目標，我們正是通過“直接開平方法”“因式分解法”“配方法”“公式法”等“降次”手段，把“一元二次方程”變成“一元一次方程”，完成了轉化的目的。由此可以看出，在數學學習上，我們都是盡量把所學的新知識轉化為已經學過的同類舊知識來解決問題。所以，不管方程在元和次上如何不斷推廣，其解決的根本方法都是“消元”和“降次”，把復雜的方程（組）最后轉化成一元一次方程。

從學習了數學知識后有什么用的數學應用過程可以看出，“數學建模”是方程與不等式中另一個非常重要的思想方法。利用方程與不等式的知識解決生活中的實際問題是學習的根本目的。它需要經過這樣一個規范的建模過程，即“生活中的實際問題——數學抽象出相等關系或不等關系——變成數學中的方程或不等式——解方程或不等式——得到方程或不等式的解（解集）——把解（解集）放到生活問題中去檢驗——得到實際問題的解”。很顯然，教材中“用一元一次方程解決實際問題”“用二元一次方程組解決實際問題”“用一元一次不等式（組）解決實際問題”“用分式方程解決實際問題”“用一元二次方程解決實際問題”都可以借助上面的“方程建模（不等式建模）”的過程達成解決問題的目標。