創設發現活動，培養數學思想
——從“確定位置”一課說起

江蘇無錫市新吳區旺莊實驗小學 錢 慧 顧萬春

“確定位置”一課是四年級下冊第八單元的內容，是學生在學習了用前后、左右、上下等表示具體位置和簡單路線知識的基礎上，進一步認識物體在空間的具體位置。四年級學生之前有了對“列、排”的初步認知，但對“數對”這個概念沒有足夠的認知,是極為抽象而又陌生的。如何讓學生既對其生成過程有所經歷，又對其實質能順理成章地輕松接受呢？用心思考之后，筆者把本節課的設計理念定位為：既尊重教材，又超越教材；既自主發現，又適當講授；既夯實基礎，又適當拓展。讓學生在自主發現的學習過程中，逐步培養數學思想方法。

一、從一維到二維，體會對應思想

對應思想是指用“聯系的視角”來看待自然界或社會上的各種變量之間的關系，也就是人們對兩種事物的合集建立某種聯系的一種思想方法。數學中的對應思想就是通過數量之間的對應關系來理解與思考數學中的問題。在這節課的教學中，教師創設“小豬佩奇和小伙伴們排隊”的生動情境，由一維（只有一行或一列）到二維（幾列幾行），讓學生明確：只有一列或一行時，確定方向后一個數就能確定佩奇的位置，幾列幾行時，一個數就不能確定佩奇的位置了，要兩個數才能確定佩奇的位置，進而明確數對的標準——先列再行，不能顛倒，一個數對確定一個位置，學生在排隊中體會位置與數對之間的一一對應思想。

師：同學們，看，誰來了呀？（視頻）今天佩奇和小伙伴們要給大家表演節目，瞧，它們上場了。

師：我們從這個角度觀察，動物們排成一行，佩奇排在第幾個？

生：從左向右數佩奇排在第2個，從右向左數佩奇排在第5 個。

師（小結）：是呀，數的方向不同，位置的表達就不同。

師（出示箭頭）：這樣呢？

生：從左向右數佩奇排在第2 個。

師：那它的位置可以用哪個數來表示呢？

師：從左向右佩奇排在第2個，用2 這個數就能確定佩奇的位置。

師：注意！變隊形了，動物們排成了一列(用箭頭和數同時出示)，現在佩奇的位置可以用哪個數來表示？

師：我們一般說從前向后數佩奇排在第4 個，用4 這個數就能確定它的位置。

師（小結）：看來只有一列或一行時，統一方向后我們用一個數就能確定位置。

師：小動物們來排隊，現在還能用一個數來確定佩奇的位置嗎？佩奇的位置在哪里？你是怎么觀察的？

師：同學們，佩奇的位置只有一個，為什么會有這么多不同的說法呢？

師：看來，想要確定位置，我們需要一個統一標準。

……

師：按照這個標準，佩奇的位置怎么確定？你是怎么知道的？先和同桌說一說。

師：從左向右數佩奇排在第4 列，從前向后數佩奇排在第3行，它的位置就是第4 列第3 行。誰能像這樣來完整地說一說？

師：照這樣，你能說說喬治的位置嗎？

師：佩奇好朋友的位置在第2 列第4 行，你能在圖上找到它嗎？誰來指一指。

師（小結）：我們用第幾列第幾行就能確定位置。

……

師：數對（4,3）表示什么意思？

師：那你覺得寫數對時要注意什么？（先寫列，再寫行）

師（小結）：你的理解真到位，這是兩個有序的數，先列再行，不能顛倒。一個數對只對應一個位置，它們是一一對應的。

以上教學片段，學生在排隊中身臨其境，利用數形結合的方式，讓學生體會對應思想。在這樣的教學中，教師有意識地讓學生先在一維空間中體會一個數對應一個位置，再到二維空間中體會兩個數才能對應一個位置，學生在自主發現的學習中，一維到二維體會對應思想的同時，提高了分析問題和歸納問題的能力；學生在認知沖突中，從一個數到兩個數，加深對應思想中孕伏的函數思想，體會數對中變與不變的聯系，從而深刻理解數對的知識。

二、從直觀到抽象，滲透模型思想

從廣義角度來看，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系、圖表、程序等都是數學模型。模型思想就是學生在面對具體的數學問題時，能夠運用實驗觀察、體驗操作、比較分析、綜合概括等活動得到簡化的容易理解的數學模型，是把生活中實際問題轉換為數學問題模型的一種思想方法。在這節課的教學中，教師從實物（動物）圖到圓圈圖，再從圓圈圖到方格圖，再從方格圖拓展為以O 為原點的格點圖，最后抽象成直角坐標系，學生從直觀一步一步進行抽象，在經歷數對形成的過程中，數學模型也隨著抽象的過程越來越得以滲透，加深了思維的深度。

師：其實每個小動物都在某一列和某一行的交叉點上（PPT），如果每個小動物都用一個圓圈表示，這樣就得到了一張圓圈圖。對比剛才，你覺得這樣的圓圈圖看起來怎么樣？

生：簡潔清晰，一目了然！

師：在圓圈圖上，我們用紅圈代表佩奇，誰來說一說佩奇的位置？

生：佩奇在第4 列第3 行。

師：藍圈代表喬治，粉圈代表蘇西，誰來說說它們倆的位置？

師（小結）：我們用第幾列第幾行就能確定位置。

師：圓圈圖上，淘氣的佩奇開始和我們玩起了捉迷藏，它會藏在哪兒呢？請你仔細觀察佩奇的位置，并在練習紙第一題記錄下來！

時間到！一起來看這幾位同學的記錄。

交流：（1）第一個，怎么沒寫完呢？（太快，來不及）（2）再看這位同學的，他寫了2 列3 行，表示什么意思？（3）再來看這位同學的，他就寫了2 個數（6 5）你知道表示什么意思嗎？

師：這些方法，每一個位置都用了幾個數來記錄的？

師：原來，2 個數就能確定佩奇的位置了。

師：那這些方法中，你更欣賞哪一種？

師：大家都非常有數學的眼光，想知道數學家是怎么表示的嗎？

（錄音）：第4 列，第3 行，先寫4 表示第4 列，再寫3 表示第3 行，兩個數表示的意思不同，所以中間用逗號隔開，因為4 和3放在一起才能表示一個完整的位置，所以兩邊要打上括號（紅色），這種表述方法在數學上叫做數對。讀作“數對四三”也可以直接讀“四三”。

師：我們一起來讀一讀：數對四三或四三。

師：這就是我們今天要學習的內容：用數對確定位置。

……

師：如果我們用線把這些圓圈連起來，就得到了一張方格圖。

師：佩奇和喬治來到了豬爺爺家的菜園。你能用數對來表示這個綠塊的位置嗎？

……

師：世界那么大，佩奇想出去走一走。現在它的位置是？

現在，它走到了哪里？

師：那怎么辦呢？

師：我們可以用這樣的方格圖表示列與行，列數與行數都是用0 作為起始刻度，它又叫作原點。佩奇的位置是？（7,6）

師：淘氣的佩奇又走到了這里，你知道它的位置嗎？你是怎么想的？（-1,5）

師：現在呢？（-2，-1）

師：哇，你可真厲害！已經知道初中的知識了!這是我們初中要學習的直角坐標系。

以上教學內容，學生在發現學習的過程中經歷實物圖—圓圈圖—格點圖—直角坐標系的抽象，同時經歷著第幾列第幾行——數對（x,y）的抽象，由直觀到抽象，形成了概念、圖象、關系等數學模型，滲透模型思想不僅能夠幫助學生分析解決數學問題，更有利于激發學生的學習興趣，提升學生的數學思維力。

三、從基礎到拓展，感悟類比思想

類比思想是指把兩個或兩類不同的數學對象進行比較，依據兩個或兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上的思想。數學中的類比就是學生通過觀察比較，感知發現兩個數學現象之間的“同”與“異”，從而更有效地解決問題。本節課的教學中，學生認識數對之后，教師設計了形式各樣的鞏固練習，從基礎到拓展，抓住不同數對的共同點，讓學生學會分類、歸納；找到類似數對中的不同點，讓學生體會數學知識的遞進性與復雜性，從而更有興趣地解決實際問題。

1. 師：佩奇想來考考大家，請聽。

（1）錄音：我說數對你定位置。請你用水彩筆在練習紙的第3 題，涂出相應的位置，準備好了嗎？數對（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

師：仔細觀察，這些數對有什么特點？

師：如果點的位置都在第5列，這些數對又會有什么特點呢？

師（小結）：是啊，同一列的數對中，第一個數相同。

（2）師：佩奇還想考考你。繼續聽。

錄音：我定位置你寫數對。我要找的點的位置，都在第3 行，想想有哪些數對？在點子圖上涂一涂，寫一寫。

師：誰來說一說你寫的數對？

師：好樣的！比一比這些數對，你有什么發現？

師（小結）：看來，同一行的數對中第二個數相同。

（3）師：這8 個數對都在第3行，你能用一個數對來概括嗎？

瞧，佩奇用了這個數對，誰來讀一讀：數對（x,3）。

師：（x,3）在這里可以表示哪些數對？

師：如果圓圈圖夠大（課件），（x,3）還可以表示哪些數對？

師（小結）：看來，任意一列的第3 行都可以用數對（x，3）表示。

2. （1）師：看大家表現得這么棒，佩奇想送一個禮物給大家，禮物就在我們的教室里，它藏在數對（x,y）中，數對（x,y）表示什么？你是怎么想的？

師：數對（x,y）表示第x 列，第y 行，列確定嗎？行呢？

表示的是全班同學，你有機會獲得這個禮物嗎？

（2）很遺憾，禮物只有一個，縮小范圍 ，禮物藏在數對（x，x）中。

師：想一想，這里可以表示哪些數對？

師：真棒！數對（x,x）表示第幾列和第幾行相同。

是哪些同學呀，請起立！

（3）師：能確定禮物在哪里了嗎？還不行，再給一個條件（3，x），禮物在哪呢？

師：這位同學看看你的課桌里有沒有禮物？哇，這是一張禮物券，課后到老師這來兌換，全班一起分享。

3.（1）師：如果我們用線把這些圓圈連起來，就得到了一張方格圖。

師：佩奇和喬治來到了豬爺爺家的菜園。你能用數對來表示這個綠塊的位置嗎？

師：如果把這個綠塊平移2格，你想怎么平移，它會在哪個位置？

師：你是怎么平移的？綠塊的位置是？（3,6）（3,2）（1,4）（5,4）

師：仔細觀察，你有什么發現？

師（小結）：上下平移2 格，列數不變，行數相差2。左右平移2 格，行數不變，列數相差2。

（2）師：佩奇和你們想的一樣，它把綠塊平移到了這個位置。（3,6）如果把它看作一個整體，繞點0 順時針旋轉90°，綠塊（3,4）的位置旋轉到了哪里？（3,6）呢？（4,4）（6,4）

師：繼續繞點O 順時針旋轉90°，綠塊的位置又會到哪呢？小組討論一下。

師：對不對呢？我們一起來看，恭喜你們答對了！

師：看，綠塊的位置發生了變化，數對也在變化，它們是一一對應的，雷達就是利用這個原理進行工作的。

以上教學片段，每一個練習都分層設計，由基礎到拓展，學生動手、動腦、動口，趣味性與鞏固性并存，學生在快樂的氛圍中觀察比較、鞏固提升，通過類比思想中的“同”與“異”，潛移默化地影響著學生的數學學習，學生養成了用類比思想思考問題的好習慣，掌握了解決問題的方法，提升了學生的創造能力和數學素養。

美國教育家布魯納提出：掌握了基本的數學思想和方法，能使數學學習更易于理解和記憶。數學思想蘊含在數學知識的形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。教師要創設有效的學習情境，讓學生通過形式多樣的活動完成有意義的數學研究，習得數學學習方法，學會用數學的思考方式進行學習。這樣，不僅解決了數學問題，更提升了學生的數學思維水平，數學思想也一步一步得以滲透與培養。