“設而不求”解題技巧在初中數學解題中的應用策略探究

摘 要：在初中數學教學中，“先設后求”是較常使用的解題思路。但有時候按照先設后求的解題思路會使得題目解題過程變得復雜起來。因此，初中數學教師需要引導學生另辟蹊徑，運用“設而不求”的解題思路與方法簡化解題的步驟，準確求解題目。所以，文章將從“分數比大小”“幾何問題代數化”“方程代數求解”三個角度談一談“設而不求”解題技巧在初中數學解題中的應用。

關鍵詞：設而不求;分數;幾何;解方程

一、 分數比大小時“設而不求”

解題技巧需要教師在教學的過程中幫助學生不斷歸納、提煉，促使他們能夠在學習的過程中掌握解題技巧，提升一定的解題能力。在復雜分數比大小的問題中，學生往往會運用正向思維，求解每個分數的大小，從而實現解答問題的目的。這樣不僅會消耗學生大量的計算時間，還有計算出錯的可能。因此，教師必須引導學生在題目中探究解題的技巧，運用“設而不求”的解題方法對復雜的分數進行比較。

【例1】 比較368972764797與368975764804的大小。

解析：在這類復雜分數比大小問題的求解中，兩個分數的分子及分母相差不大，如果運用“先設后求”的解題思路，就會使得整個計算過程變得十分復雜。因此，教師需要引導學生運用“設而不求”的解題技巧，先將其中一個分數的分子與分母設為a與b，自然另一個分數就會變為a+常量b+常量的形式，這不僅簡化了復雜的分數，還建立了兩個分數之間的關系，從而為比較分數之間的大小提供了實質性的突破。在本例題的求解中，首先應當將分數368972764797設為ab，因此368975764804=a+3b+7。通過計算可以得到：ab-（a+3）（b+7）=7a-3bb（b+7）。又因為7a-3b>0，b（b+7）>0。所以7a-3bb（b+7）>0，即ab-（a+3）（b+7）>0。因此可以得到結果：368972764797>368975764804。通過對例1的解析，能夠發現設而不求的解題技巧形成于特殊的解法中，如果運用一般常用的解題方法無法將問題的答案求解得出時，教師就可以引導學生想一想是否有特殊的解答方法能夠求解題目。這樣不僅能夠幫助學生培養發散的解題思維，還能夠幫助學生養成運用解題技巧解題的能力。

二、 幾何問題代數化時“設而不求”

幾何問題代數化的意思就是將幾何問題通過轉換的方式轉為代數問題。其實質就是將證明題目變成計算題目進行求解。在一些復雜的幾何證明題中，如果僅僅依靠點、線、面之間的關系很有可能會使證明過程變得煩瑣復雜。因此，初中數學教師需要將“設而不求”的解題思路運用到幾何問題的求解中，促使學生能夠知曉其解題原理，并學習掌握其運用方法。

【例2】 假如在一條直線上依次存在四個點：A、B、C、D（如圖1所示）。請證明A、B、C、D之間存在關系：AD·BC+AB·CD=AC·BD。

解析：在該幾何問題中，并沒有說明A、B、C、D之間的關系，也沒有說明線段與線段之間的關系。因此，如果學生依舊使用幾何證明的方法對該關系式進行證明，就會無從下手。因此，教師需要培養學生“設而不求”的解題思想，將幾何問題轉化為代數問題，如：先設線段AB=a，BC=b，CD=c。因此，點與點之間的關系可以為：AD=a+b+c，AC=a+b，BD=b+c。所以，可以對AD·BC+AB·CD可以進行算式計算，得到：AD·BC+AB·CD=（a+b+c）·b+a·c=ab+b2+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）。又因為AC·BD=（a+b）·（b+c）=ab+ac+b2+bc=b（a+b）+c（a+b），所以AD·BC+AB·CD=AC·BD得證。

【例3】 直角三角形斜邊上的中線長為1，周長為6，求該三角形的面積？

解析：因為斜邊上的中線長為1，由直角三角形斜邊等于斜邊中線的2倍這一定理，可以知道所求直角三角形的斜邊為2，又因為所求直角三角形的周長為6，所以兩個直角邊的和為周長減去斜邊的長。設直角三角形的兩條直角邊的邊長分別為a，b，則有a+b=4，a2+b2=4，聯立兩方程式：前者平方后減去后者，可以得到2ab=12，ab=6。再根據直角三角形的面積公式：S=12ab=12×6=3，可以求出所求直角三角形面積：3。學生在解決該類數學題型時，教師需要讓學生重視題目中兩直角邊之間的聯系，理清楚a+b，a2+b以及ab之間的關系，掌握它們之間的聯系規則，學生不必求出直角邊的實際值，利用“設而不求”的方式利于學生更好地掌握這一類題型的解題方式，提高解題效率。

通過例2，例3的解析可以明確在一些復雜的幾何證明題中，可以運用設而不求的解題方法為幾何與代數之間搭建橋梁，從而降低問題的思考坡度，使得計算成立從而證明關系成立。因此，在日常教學中，教師應當讓學生通過反復練習鞏固“設而不求”解題技巧的運用。

三、 方程或代數求解時“設而不求”

方程和代數式都是初中數學教學中占比較大的內容，也是中考的重要考點。方程求解一般是相對簡單的題型，但是也有一些較為特殊的方程需要采用特殊的方法才能夠解決。同樣的，代數式求值中包括整式、分式與根式，在一般情況下只需要按照代數式的運算法則對其進行直接運算即可。但是，在特殊情況下，也需要運用“設而不求”的方式進行求解。

【例4】 請試著求解方程x-12+x+23=2x-1+3x+2。

解析：如果采用常規的方法，對方程進行去分母、去括號、移項、合并、化系數為1等過程，不僅需要進行大量的計算，還有可能在某一步驟的計算時出現差錯。所以，需要將這一具有特殊性的題目特殊化，運用設而不求的方法對進行求解：設x-12=a，x+23=b，即原方程=a+b=1a+1b。接著，再進行去分母得：a2b+ab2=a+b，移項因式分解可以得到：（a+b）（ab-1）=0，a+b=0，ab=1。即x-12+x+23=0，x-12·x+23=1。通過設而不求的方法，將方程化繁為簡從而將最終答案計算得出：x1=-15，x2=-1+332，x3=-1+332。

【例5】 已知a3=b5=c7，試著求解代數式3a-2b3c+2a的值。

解析：例4的求解中，運用常規轉化的方法也能起到解決問題的目的，但是其過程較為煩瑣復雜，并且，極其容易在計算的過程中出錯。因此，可以采用設而不求的方法達到化繁為簡的目的，使得題目能夠輕松解決。在本題的求解中，首先需要將已知的條件等于一個參數，即a3=b5=c7=k，接著，在對其進行變形可得：a=3k，b=5k，c=7k，將這三部分分別代入代數式即可得到答案：3·3k-2·5k3·7k+2·3k=-k27k=127。

綜上所述，在解題技巧的探索過程中，初中數學教師不應當一味追求學生將問題的正確答案求解出來。而是要讓學生在反復的題型練習的過程中，找到解題的方法，促使學生能夠在下一次遇見相同題型時，快速找到解題的思路并運用相應的解題技巧進行解答。因此，在“分數比大小”“幾何問題代數化”“解方程換元”等題型中，教師必須深入貫徹“設而不求”解題技巧的運用，幫助學生形成發散思維。

參考文獻：

[1]丁榮軍.“設而不求”在初中數學解題中的運用探析[J].理科考試研究：初中版，2016，23（11）：48.

[2]賀智峰.“設而不求”解題技巧在初中數學中的應用[J].新教育時代電子雜志：教師版，2014（10）：253.

[3]田珍娥.設而不求思想在初中數學解題中的應用[J].課外閱讀：中，2013（3）：248.

作者簡介：

曹志芳，廣東省深圳市，廣東省深圳市寶安區福永中學。