基于組合賦權和屬性區間識別理論的巖爆烈度分級預測模型

殷 欣，劉泉聲，王心語，黃 興

(1.武漢大學 土木建筑工程學院，湖北 武漢 430072; 2.中國科學院武漢巖土力學研究所 巖石力學與工程國家重點實驗室，湖北 武漢 430071)

巖爆是硬巖礦井、深埋隧道、地下水電站等深部巖體工程開挖過程中，圍巖受到應力重分布的作用，其內部集聚的高彈性應變能猛烈釋放，使巖體發生脆性破壞的一種常見地質災害，常常表現為片狀剝落、嚴重片幫，有的伴有聲響、彈射甚至拋擲，直接威脅到施工人員、設備以及建筑安全。世界上最早有資料記載的巖爆發生于1738年英國的錫礦坑道，我國最早記錄的巖爆發生于1933年撫順勝利煤礦[1]。隨著我國經濟建設的不斷發展，地下工程日益增多，巖爆災害呈頻發趨勢，開展巖爆災害預測研究已迫在眉睫[2-4]。

早期主要是從單一因素出發進行巖爆的預測研究，在強度、剛度、能量、穩定、斷裂、損傷、分形和突變等方面提出各種假設和判據，如Russenes判據[5]、陸家佑判據[6]、王元漢判據[7]和Kidybinski判據[8]等。隨著研究的不斷深入，逐漸意識到巖爆是一種非常復雜的動力失穩現象，其涉及的影響因素眾多，目前多采用多指標綜合評價法對巖爆進行預測，如模糊數學綜合評判法[7]、Bayes判別分析法[9]、距離判別分析法[10]、Fisher判別分析法[11]、集對分析法[12-13]、證據理論[14]、物元分析理論[15]、未確知測度理論[16]、云模型[17-18]、人工神經網絡[19-20]、支持向量機[21]等，取得諸多研究成果。但由于巖爆問題的模糊性和復雜性，目前的研究中主要存在2方面的問題:① 迄今為止還沒有一種理論或方法能非常準確地預測巖爆，需要多種方法和理論的結合，因此，引入新的有效預測方法是十分必要的；② 運用多指標綜合評價法預測巖爆的一個關鍵問題是評價指標權重的確定，目前常用的權重確定方法有層次分析法、德爾菲法、熵權法等，但這些方法都存在一些不足，如層次分析法、德爾菲法主觀性太強，熵權法對指標差異度敏感性較大，因此，探索新的賦權方法對于巖爆問題也是至關重要的。

為了較合理地確定巖爆烈度分級預測中各評價指標的權重，筆者提出一種新的組合賦權方法，并將屬性區間識別模型[22]引入到巖爆問題中進行巖爆災害預測。該模型采用反熵權法，克服了傳統熵權法對指標差異度敏感性較大的問題，并基于離差平方和最大的原則將主、客觀權重相結合得到組合權重，最后利用置信度準則進行巖爆等級判別。研究結果表明該模型的預測結果能客觀地反映巖爆的真實狀況，為巖爆預測提供了一種新的思路。

1 屬性區間識別模型

設X為評價對象的全體，xi∈X(i=1,2,…,m)為評價對象，每個評價對象有n個評價指標I1,I2,…,In，xij為第i個評價對象的第j個評價指標的測量值。假定F為X上的某類屬性空間，(C1,C2,…,Ck)為F的有序分割，根據已知的分級標準構造的分級標準矩陣為

其中，ajp,bjp(1≤j≤n,1≤p≤k)分別為第j個評價指標在屬性Cp上的左右端點值，且滿足aj1aj2>…>ajk，bj1>bj2>…>bjk。

1.1 屬性測度區間的計算

當ajl≤xij≤aj(l+1)(或aj(l+1)≤xij≤ajl)(1≤l≤k-1)時，

當bjl≤xij≤bj(l+1)(或bj(l+1)≤xij≤bjl)(1≤l≤k-1)時，

1.2 屬性測度的計算

計算得到各評價指標測量值的屬性測度區間后，通過引入均化系數[23]按下式計算各測量值的屬性測度μijp:

(1)

式中，α為均化系數且α∈(0，1)。

1.3 評價對象等級識別

根據各測量值的屬性測度，按式(2)計算第i個評價對象屬于等級Cp的綜合屬性測度μip:

(2)

式中，wj為第j個評價指標的權重。

按照置信度準則，對置信度λ(0.5≤λ≤1.0)，計算

(3)

取p直到滿足式(3)，則評價對象xi屬于Cp級。

2 組合賦權

2.1 層次分析法

層次分析法[24](簡稱AHP)由美國著名的運籌學家Saaty于20世紀70年代提出，目前主要應用于確定模糊、復雜的決策問題中不同層次的指標權重。該方法簡單、靈活、易于分析計算，但帶有一定的主觀性，不夠客觀全面。運用層次分析法確定權重的步驟如下:

(1)構造判斷矩陣。判斷矩陣中的元素表示的是同一層次指標之間的相對重要性。筆者引入適當的賦值標準來描述指標之間的相對重要性，將其以數字形式體現，賦值標準見表1。設判斷矩陣為R，rij為第i個指標相比第j個指標的重要程度且滿足rii=1和rij=1/rji，則判斷矩陣的基本形式為

其中，n為指標的數目。

表1 賦值標準Table 1 Assignment standard

(2)求出判斷矩陣R的最大特征值λmax所對應的特征向量，對該特征向量進行歸一化處理，得到新的向量，該向量中的每個元素值即是相應指標的權重。

(3)一致性檢驗。判斷矩陣是否滿足一致性要求，用指標CR刻畫。當CR<0.1時，判斷矩陣滿足一致性要求，標準化后的特征向量可以作為權向量。其相關計算公式為

CR=CI/RI

(4)

CI=(λmax-n)/(n-1)

(5)

式中，CI為一致性指標;RI為平均隨機一致性指標，其取值標準見表2。

表2 平均隨機一致性指標賦值標準Table 2 Assignment standard for average stochastic coincidence index

2.2 反熵權法

熵的概念來源于熱力學，用來表征系統的無序程度。在信息論中，熵還可以用來度量數據本身所提供信息的有效性，并在多個領域均得到了廣泛的應用。傳統熵權法生成的權重對指標差異度敏感性較大，在權重分配時可能會出現個別權重過大或過小的極端情況，導致部分指標的信息被淹沒。與傳統熵權法相比，反熵權法[25]對指標差異度的敏感性較弱，可以有效地避免上述極端情況。所以筆者在確定客觀權重時采用反熵權法，其主要步驟如下：

(1)建立原始數據矩陣。

其中，m為評價對象的數目;n為評價指標的數目。

(2)對原始數據進行標準化處理。

對越大越優的指標有

(6)

對越小越優的指標有

(7)

則可得到標準化處理后的矩陣

(3)計算第j個評價指標的反熵值Ej，公式為

(8)

(4)根據所求得的各個指標的反熵值，計算第j個評價指標的權重

(9)

2.3 基于離差平方和的最優組合賦權

層次分析法主要是根據評價者的主觀經驗來確定權重，而反熵權法則是依據評價對象的指標信息來確定權重，將主客觀權重相結合可以得到組合權重，使屬性賦權達到主觀與客觀的統一。筆者采用基于離差平方和最大的最優組合賦權方法[26]，確定主、客觀權重在組合權重中的比重，使m個評價對象的總離差平方和達到最大。

Wc=θ1W1+θ2W2

(10)

式中，θ1,θ2為組合系數。

定義第i1個評價對象和第i2個評價對象的離差為

(11)

則第i個評價對象和其他各評價對象的離差平方和為

(12)

根據前述基本思想，要使m個評價對象的總離差平方和達到最大，可構造如下目標函數:

(13)

若令矩陣Y1為

則目標函數J(Wc)可表示為

(14)

要求出組合權向量Wc，由式(10)知只要求出系數向量Θ即可。于是基于離差平方和的最優組合賦權即為如下最優化問題:

maxF(Θ)=ΘTWTY1WΘ

(15)

設λmax為矩陣WTY1W的最大特征值，Θ*為最大特征值所對應的單位特征向量，則F(Θ)的最大值可記為λmax，式(15)的最優解可記為Θ*。

(16)

3 巖爆烈度分級預測模型

3.1 模型框架

本文建立的基于最優組合賦權巖爆烈度分級預測屬性區間識別模型的基本框架如下:① 根據巖爆的發生機制選取評價指標并建立評價指標體系;② 統計近些年來國內外典型巖爆相關數據并對其進行預處理;③ 結合屬性區間識別模型的基本原理，根據巖爆烈度分級標準確定各評價指標測量值的屬性測度;④ 利用層次分析法和反熵權法分別確定各評價指標的主觀權重和客觀權重，提出一種基于離差平方和的最優組合賦權規則確定各評價指標的最終權重;⑤ 根據評價指標測量值的屬性測度和對應評價指標的權重，計算樣本隸屬于各個巖爆等級的綜合屬性測度;⑥ 按照置信度準則確定樣本所對應的巖爆等級。

具體流程如圖1所示。

3.2 評價指標體系的確定

巖爆的影響因素眾多，它的發生不僅取決于巖石的物理力學性質，還受巖體完整性和地應力大小的影響[27]。綜合考慮巖爆發生的內外因條件，結合國內外的一些巖爆判據，選取圍巖最大切向應力與巖石單軸抗壓強度比σθ/σc、巖石單軸抗壓強度與抗拉強度比σc/σt、彈性變形能指數Wet和巖體完整性系數Kv作為巖爆烈度分級預測的評價指標。其中，σc,σt和Wet反映了巖石的物理力學性質，Kv反映了巖體節理和裂隙的發育情況，σθ反映了地應力的大小。參照王元漢等[7]及張樂文等[28]的研究成果，將巖爆劃分為無巖爆(Ⅰ級)、弱巖爆(Ⅱ級)、中等巖爆(Ⅲ級)和強烈巖爆(Ⅳ級)4個等級，并建立了巖爆等級與4個評價指標之間的關系。為了正確應用屬性區間識別模型，根據Ⅱ級和Ⅲ級巖爆各評價指標分布的區間狀況，應該為Ⅰ級和Ⅳ級巖爆的指標分布區間補充相應的上限值和下限值，經過補充修正之后的巖爆等級和各評價指標的關系見表3，對應的分級標準矩陣為

圖1 巖爆烈度分級預測模型實現過程Fig.1 Realization process of prediction model of rockburst intensity classification

表3 補充修正后的巖爆等級與評價指標的關系[7，28]Table 3 Relationship between grade of rockburst and evaluation indexes after revising[7，28]

3.3 原始工程數據及預處理

為了檢驗本文所采用的最優組合賦權-屬性區間識別模型的可行性和有效性，統計整理了近些年來國內外12個典型巖爆相關數據[29]，見表4。

為了消除評價指標的量綱影響，使各評價指標具有可比度和可公度性，便于利用反熵權法確定各評價指標的客觀權重，需對原始工程數據進行標準化處理。由表3可知，σθ/σc,Wet和Kv越小時，巖爆等級越低，屬于越小越優型指標，應采用式(7)進行標準化處理;σc/σt越大時，巖爆等級越低，屬于越大越優型指標，應采用式(6)進行標準化處理。標準化后的數據見表4。

表4 原始工程數據和標準化后的工程數據Table 4 Original engineering data and standardized engineering data

3.4 組合權重的確定

3.4.1層次分析法主觀權重計算

綜合文獻[24，30]和相關專家意見構建的判斷矩陣(按照σθ/σc,σc/σt,Wet,Kv的順序)為

3.4.2反熵權法客觀權重計算

將標準化后的巖爆數據代入式(8)，可以得到各個評價指標的反熵值為

再由式(9)可進一步求得各個評價指標的反熵權為

3.4.3組合權重確定

根據Y1的定義式有

由W和Y1計算WTY1W得

3.5 模型檢驗

筆者采用置信度準則對近些年來國內外12個典型巖爆工程實例進行等級識別，λ取0.5。

在確定評價指標測量值的屬性測度時引入了均化系數α，α的取值對預測結果有一定的影響。為了選取最優的α值，使α在區間[0.05，0.95]內變化，步長為0.1。通過圖2可以發現，當α取0.55,0.65,0.75,0.85和0.95時，正確預測的巖爆數量均為6個;當α取0.45時，正確預測的巖爆數量為7個;當α取0.35時，正確預測的巖爆數量為9個;當α取0.25時，正確預測的巖爆數量為10個;當α取0.05和0.15時，正確預測的巖爆數量為11個，此時預測精度達到最高。

表5給出了當α=0.15時本文模型的預測結果，并與模糊綜合評判法、灰評估模型的預測結果以及實際巖爆等級進行了比較，發現除了樣本9外，其他樣本的預測結果與實際巖爆等級均相符，準確率達91.7%，且與模糊綜合評判法和灰評估模型的預測結果基本一致。但將樣本9的巖爆等級由中等巖爆誤判為強烈巖爆，結果偏安全，從工程安全的角度來說是允許的。由此可見，基于最優組合賦權的屬性區間識別模型用于巖爆烈度分級預測是可行且有效的。

圖2 預測精度與α值的關系Fig.2 Relation between prediction accuracy and α

表5 預測結果及對比分析Table 5 Prediction results and comparison analysis

4 結 論

(1)綜合考慮巖爆的特點及成因，選取圍巖最大切向應力與巖石單軸抗壓強度比σθ/σc、巖石單軸抗壓強度與抗拉強度比σc/σt、彈性變形能指數Wet和巖體完整性系數Kv作為巖爆烈度分級預測的評價指標。

(2)為了克服傳統熵權法對指標差異度敏感性較大的問題，采用反熵權法確定客觀權重，并利用一種基于離差平方和的最優組合賦權方法將反熵權法確定的客觀權重與層次分析法確定的主觀權重相結合，使得評價更加全面、客觀合理。

(3)巖爆烈度分級預測是一個典型的多屬性有序分割問題，屬性區間識別模型在解決這類問題上具有顯著的優越性。本文將屬性區間識別模型引入到巖爆問題中，建立了巖爆烈度分級預測的最優組合賦權-屬性區間識別模型，結合國內外12個巖爆實例表明:該模型計算方法簡單，結果與實際情況較吻合，具有較高的準確性和可靠性。

(4)屬性區間識別模型用于巖爆烈度分級預測雖具有一定的應用意義，但還只是初步嘗試，在評價指標權重的確定、巖爆烈度分級標準的劃分以及評價指標的選取等問題上需要更加深入的研究。