神奇卻不神秘
——計算教學由印度乘法談起

江蘇省南京市秦淮實驗小學 潘 智

一、神化的國度，神奇的算法

近來一則《神奇的印度式乘法口訣：太好用了》的文章在網絡上迅速流傳開來。

讓家長們嘖嘖稱贊的算法是這樣的：

例如要算出13×12 ＝？

第一步：把13 跟另一個乘數的個位數2 加起來，13 ＋2 ＝15。

第二步：把第一步的答案乘10（也就是說后面加個0）。

第三步：用第一個乘數的個位數3 乘另一個乘數的個位數2，3×2 ＝6。

第四步：（13+2）×10+6=156。

就這樣，用心算就可以很快地算出11×11 到19×19 了。

事實真的如此神奇嗎？

二、神秘的算理，神似的方法

對于這樣的算法，家長網友們感到無比神奇。但仔細分析可以發現，印度算法只是在計算過程上與豎式計算有所不同，第一、二步得出150 的心算算理也可以用代數的方法解釋：（10+A）×（10+B）= 100+10×（A+B）+A×B= 10×（10+A+B）+A×B。所以，這種心算方法是正確和可行的，同時也并不是那么神秘而不可即的。

其實，和這種印度乘法相似的算法我們也遇到過，如：1494 年，意大利數學家巴切利介紹了八種乘法。第一種乘法與現在通用的筆算乘法完全一致，第六種乘法在我國明朝的《算法統宗》中被稱為“鋪地錦”，這種方法當時也同時傳到了印度，在那兒被稱為方格乘法。

另外，還有網絡上流傳的會畫線、會數點就會算的平行線計算法，教材中出現的各種計算規律等，這些看似很神秘的算法，究其算理都有相通之處，只不過是把握了“乘法的本質是加法”。同時，這些算法也只是數學精髓的“滄海一粟”， 是數學計算體系的一部分。

三、神會的思考，神往的教學

“解密”印度算法后，我們不得不進一步思考：課改實施以來，對于學生計算能力下降的抱怨之聲從未停止過，許多問題也長期困擾著廣大教師。針對印度算法的反思恰恰是一個契機，可以讓教師更好地處理計算教學中的各種關系，不斷改進、提高教學質量。

1.厘清算理，以理馭法

所謂算理，就是“為什么這樣算”，而算法只是解決“怎樣算”的問題。算理是計算的原理和依據，為計算提供正確的思維方式，是合理進行計算的前提保證；算法是計算的基本程序和方法，是顯性的操作方法。“印度算法”只是“怎樣算”中的一種，如果能弄清算理，就會舉一反三，找到更多的“神奇”方法。

在培養學生運算能力的過程中，如果弱化“理解”的作用，過分重視運算能力的“操作性”，計算技能的訓練就會停留在機械模仿的層面。不過，在計算教學中需要注意：一是重視算理的教學并不意味著面面俱到，不是每種算法都要學生把算理說出來，對于小學生來說，有些算理是難以表達的，只要有這樣的意識就可以了。二是在教學中不用對算理專門進行教學，而是應該在計算過程中讓學生明確其中蘊含的算的道理。

2.平衡多法，以引擇優

“運算能力”是課程標準修訂時新增加的核心概念，明確提出“提倡算法多樣化”，“多樣”這個理念正是學生數學學習走向自主和開放的必然要求。不同的需求造就了多樣的算法，算法多樣化應該是一種差異、一種認識、一種經歷。

當然，多種算法是讓學生豐富所學知識，僅僅停留于感知階段，而方法優化才是我們運算能力的永恒追求。這就需要平衡多種算法，優化出最基本、最一般的，或是公認的，或是得心應手的，或是可遷移性強，有利于今后學習的算法。

在“多樣”與“優化”的過程中，也需要注意一些細節方面。首先，“多樣”追求的是尊重學生的原生態思考，卻不是簡單的一一列舉，不必要求“多”“全”“廣”。其次，“優化”并不是固定不變的，數學的最大魅力在于變化，方法優化有時不是唯一的，不同形態的數字計算，要采用不同的靈活計算方式。

3.形成策略，以悟生巧

小學數學計算教學的重點應是加強思維能力的培養，突出“巧”算，形成自己獨特的計算策略。這里的“策略”不僅限于解決問題的方法，在計算中也包括加倍、補償、分割、重新組合等方法。

“熟能生巧”這句最具中國特色的古訓，很好地詮釋了新課標中運算能力這個核心概念。所謂“熟”，是指對算法的熟練掌握和對計算技能的熟練運用，依賴于在算理中理解算法，在算理、算法與計算技能的來回穿梭中，學生的計算能力由不熟練走向熟練。所謂“巧”，指技能好、靈巧，它來自嫻熟的技能、突發的靈感和積淀的智慧。由此可見，“熟”離不開練，一定要建立練習計算的常規；而“巧”則需要悟，即在教師的方法指導下，通過學生自己的“反省抽象”，不斷體驗以獲得領悟，逐漸生出“巧”來，這時學生的運算能力就得到了進一步的發展。

計算教學是一個老課題，也是一個新問題。我們積累了很多成功的教學經驗，也認識到理念上的偏差和實踐上的失誤。在今后的教學中，我們唯有秉持“從學生的學習和發展的需要出發”這一教育思想，努力追求繼承與創新的和諧，不斷改進教師教的策略、優化學生學的過程，才能有效發展和提高學生運算能力，使計算教學真正成為學生不斷探究、不斷建構、不斷思考、不斷成長的過程。