因式分解有妙方 化繁為簡“換元法”

文沈徐添

“換元法”是初中數學中經常用到的一個方法。在因式分解中，我們可以將多項式的某些項用字母替換，將一個復雜的多項式轉換成較為簡單熟悉的形式，達到“化繁為簡”的目的。下面，我們談談因式分解中的“換元法”。

一、整體代換

例1因式分解：a2（x-y）-b2（x-y）。

【分析】題目中出現了相同的因式xy。我們可以將x-y看作一個整體，提取公因式，運用整體代換的方法。

解：a2（x-y）-b2（x-y）=（x-y）（a2-b2）=（x-y）（a+b）（a-b）。

【點評】當題中出現相同因式，我們可以將其看作一個整體進行運算。為讓式子更為簡約，我們也可以在這道題中令u=xy，變原式為a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更為明朗。這種方法我們稱之為“換元法”。要注意的是，最終的結果不能寫成u·（a+b）（a-b），要將換掉的“元”重新換回去，將結果書寫為（x-y）（a+b）（a-b）的形式。

例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。

【分析】題目中出現了相同因式（x+y），我們用整體代換，將x+y看作整體，令u=x+y。

解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。

例3 因式分解：（m2-3m+2）（m2-3m-4）+9。

【分析】本題如果利用整式乘法將兩個多項式相乘，會得到一個四次多項式。高次多項式因式分解是比較困難的。我們可以看到題目中兩個括號內也有相同因式m2-3m，利用換元法，令t=m2-3m。

解：令 t=m2-3m，得（t+2）（t-4）+9=t2-2t+1=（t-1）2，即原式=（m2-3m-1）2。

【點評】本題利用整體代換達到降次目的，但要注意，最后將“元”換回去后，括號里的因式是否還能進行分解，如果可以，則要繼續分解到不能分解為止。

二、平均代換

對于例3，有同學會疑惑：能將m2-3m+2看成一個整體進行換元嗎？當然可以。那么m2-3m加上任意一個常數為新元可以嗎？哪種換元法呈現出的因式最簡潔？下面我們給出另一種較為簡潔的換元法，稱之為平均代換。相較于上一種換元方法，平均代換保留了相同的部分，取兩個因式常數部分的平均值，構成新元。

解：令t=m2-3m-1，得（t+3）（t-3）+9=t2，即原式=（m2-3m-1）2。

這種方法消去了奇次項，使得因式具有“對稱感”，從而利用平方差公式簡化運算進行分解。