怎樣由淺入深探究“雞兔同籠”

安徽省宣城市涇縣實驗小學 劉愛霞

大約在1500年前，《孫子算經》中記載了一個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中雞和兔各有幾只？

我想借此經典名題的探究, 鼓勵學生用自己喜歡的方法來探索數學問題，引導學生在推理中發現數字差異，主動調整數據，從而推出數學結論，在運用多樣化方法的探索過程中感受數學的樂趣和數學文化的魅力。

一、激活經驗，引發思考

學生的學習要以豐富的生活經驗為基礎，教師通過引導使學生善用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使數學變得簡單。由于學生生活經驗的缺乏，教師要了解孩子的生活，課前通過游戲讓孩子了解動物的腿數。如設計游戲：一只小雞，一只兔，兩個頭，六條腿。兩只小雞，兩只兔，四個頭，十二條腿。三只小雞，兩只兔，五個頭，十四條腿。五只小雞，五只兔，十個頭，三十條腿。同學們數得很準確，會發現在動物身上有許多數學信息是值得研究的。游戲導入讓學生的頭腦中有個初步的雞兔腿數的計算意識。然后再引入《孫子算經》，目的是為了給數學課堂帶來了濃厚的數學文化氣息，讓學生感受到我國數學文化的源遠流長，激發了學生的學習熱情。

開課前，教師可以先從較小的數入手，如雞兔頭共5個，腿共有14條。雞兔各幾只？這句話的意思怎樣理解，要鼓勵學生說出自己的想法，怎樣用畫圖的方式來探索。著名數學教育家賴登塔爾說過：“兒童是天生的數學家?！碑攲W生用熟悉的圖畫來表示時，自然就經歷了數學探索的過程。學生在研究中發現先畫1只雞1只兔，再畫1只雞1只兔，再畫1只雞，正好14條腿，所以是3只雞，2只兔，或者先畫1只兔，再畫1只雞，接著畫的過程中發現腿多就去掉，得出雞的只數；或者全部畫成雞，少了幾條腿，再給1只雞添上2條腿，得出兔的只數。在添或去的過程中，學生初步構建了假設法的推理模式，但是教師先不要急于給出假設法的算式，要給予學生自我完善的時間。

作為教師，我們只是孩子學習的引路人，不能只是指點學生進入“現成的大廈”，而是要促使他們去“搬磚砌墻”，一同來建筑大廈，即教師的任務不僅是告訴學生真理，更重要的是引導學生探求真理。學生在“小馬過河”的試探中，感受水深水淺，不斷地調整自己的方法，不斷地修正自己的方法，才能形成自己的數學思路和數學方法，才能真正培養學生自我學習的能力，掌握數學技能。

二、設置障礙，自我完善

學生在初步的畫圖過程中已經掌握了簡單的推理方法，怎樣趨于完善，需要教師設置障礙讓孩子去跳躍。此時，教師可以增加數量，出示雞兔共12個頭，32條腿，雞兔各多少只？問籠中各有幾只雞和兔？試問學生會選擇畫圖的方式嗎？為什么？你會選擇什么更快捷的方法？此時鼓勵學生列表從數字中找答案，比畫圖更節省時間。逐一列表法：逐一列出，不重復不遺漏。跳躍列表法：估計范圍，減少列舉次數。取中列表法：取中列舉，縮小列舉范圍。為了快速找到，可以用折中法來算腳數，再調整。直取中間數，驗證后調整幅度縮小，更為簡便快捷，這種方法叫做取中列舉法。有的學生會在列數字中發現每減少1只兔，增加1只雞，腿數會減少2，兔子要減少多少只，腿才能減少到32條呢？在計算中學生會很快找到相應的雞兔數。在列表過程中縱觀發現腿數多說明兔子數多了，就減少一只兔，增加一只雞；腿數少說明兔子數少了，就增加一只兔子，減少一只雞。學生從圖形模式過渡到數字推理，經歷了猜測、驗證、調整的數學活動，經歷了一次數學思維的飛躍，感受到演繹推理帶來的數學樂趣。

三、優化方法，豐富思想

學生經歷了畫圖、列表，已經掌握了基本的解題技巧，初步感受到探索的樂趣。但是怎樣由此及彼、以不變應萬變，還需要優化方法、優化解題步驟、形成數學思想?！凹僭O法”和“抬腿法”是破解雞兔同籠最常用的方法，也是最便捷的方法。針對“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”畫圖太繁瑣，列表也冗長。如果把它們變成一種動物去求解就簡單多了。怎樣把它們變成一種動物，激發學生思考，最好從故事引入，比如大灰狼夜晚想要偷襲雞和兔，一群雞、兔受到驚嚇就會抬腿求饒，雞兩條腿一抬就飛走了，兔抬起兩條腿，每只兔還有兩條腿著地，用剩余的總腿數除以2 就能求出共幾只兔。

思路總結：

1.抬光腿少的：35×2=70（條）

2.剩下腿多的：94-70=24（條）

3.除以腿數差：24÷2=12（只）

4.求出另一類：35-12=23（只）

這種讓一種動物抬腿消失的方法也可以延伸為假設法。假設全是雞或兔，相信學生會迎刃而解。為了輔助落后生，假設法的推理過程中可以先從簡單問題入手。先畫8個圓圈表示8個頭，再為每條動物畫兩條腿，8只動物只用完16條腿，還多出10條腿。把剩下的10條腿用完，要給其中的5只動物各添2條腿，這5只就是兔子，另外的3只就是雞。根據每一步的推理寫出相應的算式：8×2=16（條），26-16=10（條），4－2=2（條），10÷2=5（只），8-5=3（只）。以上兩種方法，重在意思的理解和數學語言的表述，學生能夠完整敘述解題過程，就能準確領會題意。學生在比較中發現快速的方法，在優化數學方法里自我完善。

四、深化感悟，拓展延伸

“雞兔同籠”的數學思想，可以帶給學生無限的想象。怎樣從“雞兔同籠”里找到更多類似的數學問題，需要學生去挖掘資源，鼓勵學生自我編題。教師可以給孩子收集相關素材。

例如：（1）某校四（3）班共計48名學生，一同出去郊游，租船時出現每條船只能坐2人、3人、4人，價格分別為10元、12元、15元，問怎么樣安排租船更劃算？

（2）體育課組織跳繩接力比賽活動，參賽人數為30人，全班分為男生組和女生組兩個組，男生組每分鐘跳105個，女生組每分鐘跳95個，整個過程每人都要參與一次，整個過程需要15分鐘，問所有人員共計跳多少個？

（3）一次數學競賽共有20道題。做對一道題得8分，做錯一題倒扣4分，劉冬考了112分，你知道劉冬做對了幾道題？

以上數學題都屬于“雞兔同籠”，學生觸類旁通，才能真正掌握這種數學思想。打開學生的視野，提升數學思維，是我們每個數學教師為之努力和研究的課題。我們不是為了研究數學題而去做題，更多的是能從中學到一種數學方法，帶給學生更多的是演繹的快樂和探索的樂趣，讓每個學生在數學里發現自己具備的數學才能，點點滴滴地掌握數學推理的小技巧，從不會到會，從一道題到數道題，從數學題走進生活，從生活里又發現數學，帶著一顆好奇心感悟數學，從數學家的思想里受到鼓舞，從古代數學名題里找到自我挑戰的樂趣。

探究古代名題，學生從最初的無從下手到大膽地猜測，再到積極開動腦筋，研究解決問題的方案和策略，在這個過程中不僅逐步體會到數學學科獨具的邏輯性、抽象性，還感受到數學與生活的密切聯系，這正驗證了數學家華羅庚所說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學!”數學文化源遠流長，數學思想博大精深。讓我們以更加飽滿的熱情和精巧的設計，讓課堂煥發生命的活力和無窮的智慧，去努力打造幸福課堂。