順“理”而為，感悟概念本質
——以“認識一個整體的幾分之一”為例

江蘇省宜興市陶城實驗小學 陳 濤

數學概念是反映數學知識本質屬性的思維形式，是數學基礎知識的重要組成部分。“理”，既是指學生對具體數學概念的理解，還包括數學概念的本質屬性，即數學概念本身的原理。教學中，我們要對概念追本溯源，在合理把握概念本質、精準研讀教材的基礎上，本著為學生理解而教的原則，有效促進學生對概念的掌握。下面就以三年級下冊“認識一個整體的幾分之一”為例，談談我的做法和想法。

一、生“理”：依托豐富的表象初步揭示含義

《數學課程標準（2011年版）》指出：教師教學要從學生的生活經驗和已有的知識背景出發。教師教的過程既要從數學內容的本質出發，又要尊重學生的認知特點。學生學習新知的過程要從已有的經驗處萌芽，要解決好“從哪里來”的問題。

“認識一個整體的幾分之一”是在三年級第一學期學生認識了一個物體的幾分之一和幾分之幾的基礎上進行學習的。從一個物體的幾分之一到一個整體的幾分之一，這是分數含義的一次主要拓展。在課始，就要抓住學生的認知基礎從“一個物體的”開始復習舊知，然后把6個桃裝進一個盒子，打通“一個物體”和“一些物體”，把它們聯結起來，使學生初步感受“一些桃”可以看成“一個整體”。學生建立起這樣的認識后，勢必解決了認知障礙，學習例1 就水到渠成了。

通過創設有趣的童話情境，運用觀察圖形、動手操作等直觀教學，一方面激發學生主動學習的興趣，另一方面通過對具體實例的分析、概括和抽象，使學生初步對分數的內涵有一定的認識。

二、道“理”：依托規范的語言描述進一步明晰思維

眾所周知，語言是思維的載體。理不說不透，話不講不明。分數意義模式化的表達方式便于教師在交流中發現學生是否關注到了平均分，是把什么看成了一個整體。通過學生發言完成糾錯、補充、肯定的表達過程，實質上也是一個不斷完善個體思維的過程。

例如，在復習舊知環節，由于時間過得太久，很多學生對1/2的含義已經不能夠準確表達，從“把一個蛋糕平均分成2份”說起，到總結歸納它們都是“把一個物體或者圖形平均分成2份，每份就是這個物體或者圖形的1/2”，至此，學生關于分數的知識儲備已經準確釋放。

在教學例題時，教師明確指出：為了便于研究，在數學上，我們通常把一盒桃、一盤6個桃，像這樣的“一些桃”就看成是“一個整體”。例題學習之后，教師要注意留給學生充分的說理時間和空間，有意識地規范學生表達：把6個桃看成一個整體，把一個整體平均分成2份，每份是這盤桃的1/2。隨后，教學“把4個桃平均分成2份”“把8個桃平均分成2份”，學生動手、動腦的效果均可從動口表達的過程中體現，便于教師調整教學思路，引導學生明細思維，從而讓深度學習真正發生。

三、清“理”：依托反復比較分層感悟本質

學生對概念的認識是一個逐步完善、逐步明晰的過程。著名教育家烏申斯基曾說過：比較是一切理解和一切思維的基礎。在數學教學中，巧妙運用對比的策略，可以讓沉潛的本質浮出水面，利于弄清知識間的區別與聯系，促進理解、內化。

比如，把4個桃、6個桃、8個桃平均分成2份的結果放在一起比較，有利于學生認識到：1/2和要分的桃的總數沒有關系，只要把一個整體平均分成2份，每份就可以用1/2 來表示；比如通過1/2、1/3、1/6的比較，學生進一步認識到這三個分數和桃的總數沒有關系，和每份桃的個數也沒有關系，只和要分的份數有關系。它們都表示其中的一份和總份數之間的關系；比如把12個桃平均分成2份、3份、4份、6份、12份，分的結果放在一起比較，讓學生認識到這里的幾分之一只和平均分的份數有關，強化了對分數意義本質的理解。在課堂中，通過數次不同角度的對比，層層遞進，引領學生思維不斷進階，思維走向深度。

四、推“理”：依托核心問題，引發深度思考

按照史寧中教授的觀點，分數有兩個現實背景：一個是表達整體與等分的關系，一個是表達兩個數量之間整數的比例關系，也就是整比例關系。這節課涉及的實例都是表達整體與等分的關系，都是把學生對分數的認識從以往的“部分—整體”關系引向如今的“子集—集合”關系。

“認識一個整體的幾分之一”核心問題就是使學生認識到：把一個整體平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一，這個幾分之一只和平均分的份數有關系，和要分的總數，每份的個數沒有關系。通過教學，要注重學生認知經驗的不斷積累，著重引導學生實現對分數認識的提升，即從以往的“部分—整體”模式向“子集—集合”模式過渡，這個過程也是激發學生深度思考，提升思維能力的過程。為此，教師精心安排了兩次推“理”活動。通過第1個層次的學習活動（平均分6個桃、4個桃、8個桃、一筐桃），學生要能回答：為什么要分的桃的總數不同，分的結果卻都可以用來1/2表示？并且追問：每一份的個數相同嗎？引導學生認識到，這里的1/2 是表示其中的一份和整體總份數的關系。再通過第2個層次的學習活動（同樣是6個桃，平均分成2份、3份、6份的情況），學生要能夠回答：為什么要分的桃的總數相同，分的結果卻可以用不同的分數來表示？并且追問：每一份的個數相同嗎？這樣學生在富有挑戰的問題中積極思考，有利于對分數的含義，建立起更深層次的理解。

五、梳“理”：依托知識聯系，構建認知結構

數學知識有很強的系統性和邏輯關聯。課標明確指出：要注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系。教師有責任將數學概念進行整理、歸類，并厘清概念之間的關系，從而使概念縱橫貫通，助力學生理解。

從“一個物體”到“一個整體”再到五年級學習分數的意義認識單位“1”，可以說，這節課的內容在教材體系中處于承上啟下的位置，這和分數的概念本質與兒童對分數認識的規律相符，這就是教材在編排上的“理”。基于這個特點，教師可采取這樣的設計進行梳理討論：在進行全課小結的時候引導學生回顧反思，屏幕呈現幾種把一個物體平均分的實例，引導學生發現共同之處是把“一個物體”平均分；再出現幾種把一些物體平均分的實例，引導學生發現共同之處。從“一個物體”到“一些物體（即一個整體）”，發現兩種平均分的共性都和“1”有關系，提出問題：關于1又有什么數學秘密呢？提前為五年級的學習埋下伏筆，同時使學生對“分數意義”的編排有一個初步的感知。

綜上所述，在教學“認識一個整體的幾分之一”時，我們要深刻、準確讀懂教學內容，既要“順”教材編排的“理”，也要“順”兒童認知的“理”，通過充分調動多種感官進行抽象和概括，使學生深刻感悟概念本質。