多自由度系統(tǒng)基于單通帶近似法的振動(dòng)局域化分析

李宗威，紀(jì)剛，周其斗

海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033

0 引 言

多自由度系統(tǒng)是指在任意時(shí)候都需要2 個(gè)或者更多的廣義坐標(biāo)才能完全確定其位置的系統(tǒng)。工程結(jié)構(gòu)與多跨梁具有相似的特征：每個(gè)單元都表現(xiàn)為多自由度振動(dòng)，屬于多自由度特征的系統(tǒng)。開展多自由度系統(tǒng)的局域化研究對(duì)于工程振動(dòng)控制設(shè)計(jì)具有特別重要的意義。此外工程結(jié)構(gòu)都是有限尺寸的結(jié)構(gòu)，需要將無(wú)限結(jié)構(gòu)的波傳遞響應(yīng)推廣至有限尺寸結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞響應(yīng)。通過有界媒質(zhì)中的強(qiáng)迫振動(dòng)分析[1]，表明有界媒質(zhì)的振動(dòng)響應(yīng)可視為由擾動(dòng)源發(fā)出的左、右傳播波及其在邊界多次反射波疊加的結(jié)果。有界媒質(zhì)中，遠(yuǎn)離擾動(dòng)源處的響應(yīng)特征被歸結(jié)為無(wú)界媒質(zhì)中自由行進(jìn)波的特征。

周期系統(tǒng)在不同的頻段具有不同的振動(dòng)特性。振動(dòng)傳遞若在某些頻段內(nèi)不隨傳播距離的增加而衰減，則該頻段稱為通頻帶；而在另一些頻段，振動(dòng)隨著傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減，此時(shí)，振動(dòng)能量被局限于振源附近，即振動(dòng)被“局域化”，該頻段稱為止頻帶。與周期系統(tǒng)不同，非周期系統(tǒng)的振動(dòng)在所有頻段都表現(xiàn)為局域化特征，即在所有頻帶內(nèi)，振動(dòng)傳遞隨傳播距離的增加而衰減，因而不存在通頻帶。1958 年，固態(tài)物理學(xué)家Anderson[2]在研究不規(guī)則條件下電子傳播規(guī)律時(shí)，首次發(fā)現(xiàn)了局域化現(xiàn)象。Hodges[3]通過對(duì)耦合振子鏈模型的研究，首次證實(shí)了在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中也存在局域化效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)無(wú)序結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量局限于激勵(lì)源附近，振動(dòng)幅值隨傳播距離的增加呈指數(shù)衰減。Pierre 等[4-7]對(duì)有限彈簧振子耦合擺模型進(jìn)行分析，從模態(tài)角度分析解釋了無(wú)序結(jié)構(gòu)的局域化效應(yīng)，說(shuō)明振動(dòng)局域化效應(yīng)在模態(tài)上體現(xiàn)為局部模態(tài)，并給出了振動(dòng)強(qiáng)局域化發(fā)生的條件。國(guó)內(nèi)學(xué)者劉文璽和譚路等[8-9]通過具體的實(shí)例研究了圓柱殼結(jié)構(gòu)不等間距布置對(duì)圓柱殼振動(dòng)特性與聲學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)不等間距布置具有一定的減振作用。

從理論分析方法上看，上述學(xué)者多采用波動(dòng)分析方法，因?yàn)檫@些模型結(jié)構(gòu)大多是一維波傳播模型，動(dòng)力學(xué)表達(dá)簡(jiǎn)單，容易通過理論解析定量給出局域化因子。但是，若直接采取理論分析方法對(duì)具有多自由度特征的實(shí)際工程系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)局域化的研究，尚有一定的困難：一是波動(dòng)控制方程在表達(dá)上比較復(fù)雜，因?yàn)榻馕龇椒ńo出的傳遞遞歸關(guān)系需要引入假定，在理論推導(dǎo)上存在一定的困難；二是較難表示有限尺寸結(jié)構(gòu)的振動(dòng)場(chǎng)；三是對(duì)于平板、圓柱殼等具有二維振動(dòng)特征的結(jié)構(gòu)無(wú)法直接運(yùn)用針對(duì)一維模型得出的理論。

為解決多自由度系統(tǒng)理論分析存在的難題，建立一種等效的方法，即將多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)等效為彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的振動(dòng)，然后利用彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的局域化公式預(yù)報(bào)多自由度系統(tǒng)局域化因子，進(jìn)而開展局域化規(guī)律的研究。該方法可以有效規(guī)避對(duì)多自由度系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)雜解析的困難，實(shí)現(xiàn)對(duì)多自由度系統(tǒng)開展局域化定量分析。

本文將以梁模型為研究對(duì)象開展上述等效方法的研究。首先，介紹等效方法的原理； 然后，利用等效方法對(duì)一維梁系統(tǒng)進(jìn)行局域化分析，預(yù)報(bào)局域化因子； 最后，通過比較等效方法與統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)法的計(jì)算結(jié)果，以及與具體實(shí)例的有限元模型衰減特征對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證等效方法的有效性。

1 單通帶近似法

對(duì)于多自由度周期系統(tǒng)，波數(shù)kw與頻率ω 的色散曲線可用圖1（a）所示的曲線表示。與單自由度系統(tǒng)具有唯一的通頻帶不同，多自由度系統(tǒng)具有多個(gè)通頻帶。Photiadis 和Houston[10]指出對(duì)于具有多個(gè)通頻帶的系統(tǒng)，可以通過單通帶近似（single band approximation，SBA）的等效方法進(jìn)行簡(jiǎn)化分析。通過采用彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)來(lái)代替實(shí)際系統(tǒng)，將結(jié)構(gòu)在各階通頻帶的振動(dòng)視為固有頻率不同的振子系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行研究，即分析單一通頻帶。因此，只要給出了相應(yīng)的振動(dòng)等效參數(shù)，再根據(jù)彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的局域化理論結(jié)果，就可以預(yù)報(bào)實(shí)際模型的局域化因子。

單通帶近似法[10]的本質(zhì)在于將多自由度系統(tǒng)的色散曲線中的某一根色散曲線視為等效耦合彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的色散曲線。耦合彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的色散曲線可以表示為圖1（b）所示曲線，可根據(jù)曲線的特征給出該通頻帶的帶寬和該通頻帶的中心頻率。若圖中通頻帶的上、下限頻率為 ω+和ω- ，則可以得出等效的耦合度 V 和，其中 ω0為中心頻率。

針對(duì)如圖2 所示的彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)進(jìn)行分析，其中彈簧振子質(zhì)量為 m，振子間耦合剛度為 k，振子對(duì)地剛度為 kj。

圖 1 波數(shù)與頻率的色散曲線Fig. 1 Dispersion curve of wave number and frequency

圖 2 彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)Fig. 2 Mass-spring chain system

以第 j 個(gè)彈簧質(zhì)量振子為例，可以得到其運(yùn)動(dòng)關(guān)系式為

2 等間距梁模型的振動(dòng)參數(shù)識(shí)別與等效

等間距梁模型如圖3 所示。梁跨距為l0，跨間扭矩彈簧剛度為 C，彈性模量為E，梁的線密度為m0，梁的截面面積慣性矩為I。梁的有限元模型結(jié)構(gòu)尺寸和材料屬性如表1 所示。

圖 3 等間距梁模型Fig. 3 Model of beam with equal spacing

表 1 有限元梁模型結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)Table 1 Structural parameters of finite element beam model

當(dāng)K=1 時(shí)，等間距梁的色散曲線如圖4 所示。圖中，實(shí)線表示梁的通頻帶。由圖可以看出，與彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)具有唯一的通頻帶不同，梁系統(tǒng)具有多個(gè)通頻帶。

圖 4 耦合梁模型的通頻帶及色散關(guān)系（K=1）Fig. 4 The pass band and dispersion relations of coupled beam model（K=1）

通過單通帶近似法將梁的某一根色散曲線視作等效耦合振子鏈的色散曲線，如圖5 所示。

圖 5 等間距梁的色散曲線Fig. 5 Dispersion curves of beam with equal sapcing

針對(duì)某一具體通頻帶，通過上、下限頻率ω+和 ω-，可以計(jì)算得到相應(yīng)的振動(dòng)等效參數(shù)。

3 不等間距梁的局域化因子預(yù)報(bào)

4 等效方法有效性的驗(yàn)證

通過對(duì)比統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)方法與等效方法計(jì)算的局域化因子結(jié)果以及通過不等間距梁有限元模型實(shí)例來(lái)驗(yàn)證等效方法預(yù)報(bào)結(jié)果的有效性 。

4.1 等效方法預(yù)報(bào)結(jié)果與統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)方法結(jié)果比較

文獻(xiàn)[7]中，由統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)方法分析得到的局域化因子為

以K=1， σ2=0.005 77 ，的 計(jì) 算 模 型 為 算例，計(jì)算出各通頻帶的帶寬和中心頻率，以此作為輸入，利用式（17）計(jì)算等效局域化因子。

利用統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)法和單通帶近似法計(jì)算出的局域化因子結(jié)果對(duì)比如圖6 所示。其中：散點(diǎn)為等效方法計(jì)算得到的局域化因子，實(shí)線為統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)方法計(jì)算的局域化因子值。從圖中可以看出，通過單通帶近似的方法將梁系統(tǒng)等效為彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)預(yù)報(bào)得到的局域化因子同統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)方法給出的結(jié)果具有相同的量級(jí)，而且規(guī)律基本符合：隨著頻率的增加，局域化因子具有增加的趨勢(shì)。這說(shuō)明了運(yùn)用等效方法預(yù)報(bào)多自由度系統(tǒng)的局域化因子具有可行性。

圖 6 統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)法和單通帶近似法計(jì)算的局域化因子結(jié)果對(duì)比Fig. 6 Local factors comparison calculated by statistical perturbation method and single pass band approximation method

4.2 不等間距梁有限元模型驗(yàn)證

圖 7 梁的有限元模型Fig. 7 Finite element model of the beam

圖 8 振動(dòng)幅值同理論局域化因子衰減線比較Fig. 8 Comparison of the vibration amplitude by numerical and theoretical results

5 結(jié) 論

本文以梁模型為研究對(duì)象，給出了預(yù)報(bào)不等間距梁局域化因子的等效方法，驗(yàn)證了預(yù)報(bào)方法的有效性，得到如下主要結(jié)論：

1）對(duì)不等間距梁的色散曲線進(jìn)行分析，運(yùn)用單通帶近似方法將單一的色散曲線等效為耦合彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的色散曲線，采用參數(shù)等效手段將梁的振動(dòng)參數(shù)等效為彈簧質(zhì)量鏈系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)，基于波動(dòng)理論給出不等間距梁的無(wú)序度參數(shù)，進(jìn)而利用彈簧質(zhì)量鏈模型的局域化因子公式預(yù)報(bào)出不等間距梁的局域化因子。該方法有效規(guī)避了對(duì)多自由度系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)雜解析的困難，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多自由度系統(tǒng)開展無(wú)序局域化定量分析的工程化使用。

2）通過對(duì)比統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)方法與單通帶近似等效方法的局域化因子結(jié)果驗(yàn)證了等效方法的正確性。

3）通過對(duì)比不等間距梁FEM 模型證實(shí)了采用不等間距布置實(shí)現(xiàn)振動(dòng)局域化的可行性，驗(yàn)證了采用單通帶近似等效方法對(duì)多自由度系統(tǒng)進(jìn)行局域化分析的有效性。