基于小世界算法的機械手時間最優運動規劃

袁明新， 王麗麗， 謝 豐， 莊彥武， 江亞峰

(1.江蘇科技大學機電與動力工程學院， 張家港 215600； 2.江蘇科技大學冶金與材料工程學院， 張家港 215600)

當前，工業機器人得到了快速發展，而運動規劃是機械手控制的核心和難點?；陉P節空間的運動規劃具有計算量低、無機構奇異和機械手冗余優點而被廣泛運用[1]。孫亮等[2]采用多項式插值方法進行關節空間的運動規劃，但未對此做進一步的優化；Shi等[3]提出了基于B樣條插值的時間最優脈動連續軌跡規劃算法，但優化復雜程度較高；赫建立等[4]提出基于遺傳算法的多項式插值運動規劃，但收斂速度仍有待提升。此外，上述方法都是基于多項式插值，待定參數較多，計算較為復雜。擺線運動由于提供了優異的轉位特性[5]，使其在工業裝置如減速器[6]、凸輪[7]等中得到了廣泛應用。滕舉元[8]將擺線方程運用到果實采摘機械手運動規劃中，體現出參數少、沖擊小的優點。因此，現針對四自由度搬運機械手，結合末端分離法和擺線方程，以機械手搬運姿態、電機額定轉速和額定功率為約束，建立基于時間最優的機械手關節空間運動規劃模型，同時提出基于精英集聚效應的小世界優化算法來提高模型求解精度。通過數值測試結果驗證文中機械手規劃模型的有效性以及強規劃能力。

1 機械手的關節運動學及搬運模型

1.1 機械手搬運姿態描述

基于搬運任務需要，工業生產中一些工業機器人通常設計成如圖1所示的四自由度。

圖1 四自由度搬運機械手模型Fig.1 Model of four-degree-of-freedom handling robot

圖1中L1、L2、L3表示大臂、小臂、末端3根連桿；J1～J4表示4個自由度所代表的關節且分為兩部分，即繞底座平面上垂線軸旋轉的關節J1和位于同一平面內的關節J2、J3、J4。當J1旋轉使得大臂，小臂，末端和物品點位于同一平面時，記此平面為搬運平面。在搬運平面內以J2為原點建立直角坐標系oxz，并繪制如圖2所示搬運簡圖。

圖2 搬運平面內J4邊界與搬運圓Fig.2 Boundary and handling circle of the J4 in the handling plane

圖2中將機械手的末端L3分離出來，包括機械手大小臂和末端執行器兩部分。點劃線部分是將L3繞物品中心點旋轉得到的搬運圓。物品位置坐標為(x0、z0)；θ1、θ2、θ3分別為L1、L2、L3與x軸正方向的夾角，其中θ3決定機械手的搬運俯仰。為避免大臂、小臂、底座間發生硬性接觸，令θ1[0°, 180°]。

設L1、L2和L3的桿長分別為l1、l2和l3，建立如式(1)所示搬運坐標系解析方程。為了保證搬運解的非奇異，須使搬運處于工作空間內，即滿足式(2)。上述條件成立后，可由式(3)得到θ1的極限位置，從而得到θ1的范圍，記為θ1[u0,v0]。再將θ1代入式(1)可解出θ2，記為θ2=σ(θ1),其中σ()表示θ2關于θ1的函數。

(x0-l1cosθ1-l2cosθ2)2+(z0-l1sinθ1-

(1)

(2)

(x0-l1cosθ1)2+(z0-l1sinθ1)2=(l2+l3)2

(3)

1.2 擺線運動模型

物品搬運是點到點的運動，只需考慮末端到達物品處的位姿，其又可通過逆運動學轉為各個關節角，故只需進行關節空間的運動規劃。擺線軌跡平滑、計算簡單，故可作為機械手無障礙點到點運動規劃方式。擺線運動方程及其前兩階導數的正則化表達式如式(4)～式(6)所示，曲線如圖3所示。

(4)

s′(τ)=1-cos(2πτ)

(5)

s″(τ)=2πsin(2πτ)

(6)

式中：τ為歸一化時間。當τ=0、υ時分別表示關節運動起始時間和終止時間。

圖3 擺線運動及其前兩階導數的正則曲線Fig.3 Normal curve of cycloidal motion and its first two derivatives

由圖3可以看出，基于擺線運動模型下的機械手關節啟動和停止都非常的穩定，無抖動發生。若已知第λ個關節的起點qλ(0)和終點qλ(υ)，可以得到其運動學方程為

qλ(t)=qλ(0)+Δqλs(τ)

(7)

(8)

(9)

1.3 關節空間的運動優化模型

由于搬運平面內只有3個旋轉關節，為便于公式表述，令Jλ與Lλ-1對應，λ=2、3、4。采用L1、L2、L3完全伸直并與水平面平行時的極限姿態下，計算各關節最大負載矩，如式(10)所示。再結合電機功率、轉速與扭矩關系[式(11)]，即可推出式(12)所示的J2、J3、J4三關節加速度公式。

(10)

(11)

(12)

式中：mλ-1為連桿Lλ-1的質量；Pλ和ωλ分別為關節Jλ上的電機功率和電機轉速；g為重力加速度。

(13)

(14)

s.t.θ1[u0,v0],θ3[-45°, 45°]

(15)

以圖2中坐標系逆時針為正方向，(0,l1)、(0,l1-l2)、(l3cos15°,l1-l2-l3sin15°)為J3、J4和搬運手爪的初始坐標位置，可以推出q1、q2、q3與θ1、θ2、θ3之間的關系為：q1=θ1-180、q2=180+θ2-θ1、q3=θ3-θ2-15°。以x={θ1,θ3,ωλ,Pλ}為約束變量，文中將機械手3關節運行時間最短中的長者f為優化目標，并建立優化模型。

2 基于小世界算法的機械手運動規劃優化

2.1 基于精英集聚效應的小世界優化算法

小世界優化算法是借鑒美國Milgram教授所提出的“六度分離”現象，通過隨機長連接和局部短連接實現優化的算法?；诰⒓坌男∈澜鐑灮惴╗9]是在此基礎上，借鑒精英集聚效應將分級節點吸引策略加入隨機長連接中，并根據節點優化效果進行短連接搜索次數及鄰域大小的調整。數值測試結果表明，相比起其他優化算法，其優化能力、收斂速度和穩定性有了明顯改善。為了提高機械手時間最優運動規劃模型的求解精度，引入基于精英集聚效應的小世界優化算法(EASWA)。

2.2 機械手運動規劃模型的優化

步驟1初始化算法參數：算法節點集個數n、長連接概率閾值p*、分級比例η、最大迭代次數kmax等，k← 0。

步驟2隨機生成初始節點集X(0)={x1(0),x2(0), …,xn(0)}。

步驟3算法終止條件判斷。當k=kmax則算法終止，并輸出對應節點集X(k)。否則k=k+1，并轉步驟4。

步驟4依次進行分級長連接操作Γ和自適應短連接操作Ψ。

Γ:x′ii(k)=

(16)

Ψ:x″ii(k)=Floc[x′ii(k)]

(17)

式中：Flon、Floc分別為個體分級長連接算子和個體自適應短連接算子，具體定義見文獻[10]。

步驟5更新節點信息。i[1,n]，計算f[x″ii(k)]。如果f[x″ii(k)]

3 算法的仿真測試與討論

圖4 EASWA優化下機械手的關節規劃運動曲線Fig.4 Joint planning motion curve of manipulator under EASWA optimization

表1 3種規劃算法的仿真測試結果

由表1可以看出：雖然TGA平均用時最少，但是規劃出的運動時間平均值以及穩定性都是3種算法里最差的。EASWA算法平均耗時雖略提高，但規劃出的運動時間平均值及總均方差都是3種算法中最小的，且平均降低23.3%和19.7%，體現其強優化能力和好的穩定性。

圖4為在EASWA優化下，機械手在3只貨物處時間歸一化的關節規劃運動曲線。由圖4可以看出：機械手關節運動表現較為理想，尤其大臂和小臂所對應的關節角速度基本達到額定值，說明其可以充分利用電機性能，提高機械手運行效率。圖5為3種優化算法搬運運動時間的平均進化曲線。由圖5可以看出，雖然SSWA優化能力強于TGA，但是其初始收斂能力相對較差，從而在有限的計算時間內無法得到較為理想的優化結果。相比之下，EASWA由于采取精英集聚效應的長連接策略，使得初始迭代就表現出很強的收斂能力；而加入自適應短連接策略，提高了搜索效率，使得算法依然能在有限時間內獲得較為滿意的優化性能，滿足實時性要求。這也進一步驗證了該規劃模型的有效性。

圖5 3種優化算法搬運運動時間的平均進化曲線Fig.5 Average evolution curve of handling time of three optimization algorithms

4 結論

針對機械手的運動規劃問題，結合機械手末端分離法和擺線方程，建立了時間最優的關節空間運動規劃模型，并基于精英集聚效應的小世界算法實現了優化。通過數值測試及分析可以得出如下結論：

(1)通過簡化機械手結構和運用末端分離法，可以更加方便地確立搬運姿態。

(2)擺線方程具有運動平穩、參數少的優點，因此建立的關節運動時間最優模型處理較為方便。

機械手運動規劃仿真測試表明，基于精英集聚效應的小世界優化算法具有較好的優化能力及穩定性，從而可以提高機械手的搬運效率。