基于線性矩陣不等式的純時滯系統穩定性分析與控制器設計

翁發祿， 耿飛躍， 丁元春

(1.江西理工大學電氣工程與自動化學院， 贛州 341000； 2.江西理工大學資源與環境工程學院， 贛州 341000)

純時滯系統普遍存在于化工過程、金屬冶煉等場所[1-5]。例如，冶金加熱爐的傳熱、蒸汽鍋爐的加熱、化學反應過程等均可描述成純時滯系統的形式。此外在燃煤鍋爐中對風煤水的控制也存在純時滯現象。由于純時滯的作用，系統狀態無法第一時間響應控制信號的改變，而是經過一段時間后產生響應。在系統控制器設計中，如果未恰當考慮時滯對系統的影響，有可能造成控制性能下降，甚至閉環系統不穩定。在過去的幾十年內，已有學者對純時滯系統做了大量的研究。例如，夏百花等[6]對一階純時滯系統的PID(比例、積分、微分)控制和Smith預估補償控制進行了分析與設計。劉尚標[7]設計了一種倒數模型用于純時滯系統的控制。杜星瀚等[8]利用干擾觀測器對Smith補償控制的結構進行了改進。Khusainov等[9]考慮了線性純時滯系統的相對可控性及鎮定問題，獲得了柯西問題的積分形式解。He等[10]研究了一種純時滯脈沖競爭系統的衰減和穩定性，并獲得了改進的穩定性條件。Liang等[11]介紹了多項式的分數延遲矩陣余弦和正弦，給出了純時滯分數線性系統柯西問題解的表示形式。雖然純時滯系統提出較早，但是大部分已有成果是在經典控制理論的基礎上進行討論，基于狀態空間的相關成果較少。由于狀態空間能夠清晰描述系統內部結構，方便處理多輸入多輸出系統，因此，進一步獲得基于狀態空間描述的純時滯系統相關成果是必要的。

線性矩陣不等式(LMI)解決系統控制問題最早可追溯到一百多年以前[12]。隨著計算機技術的發展及內點法求解的提出，LMI受到廣大科研人員的關注，同時，采用LMI解決系統控制問題也已成為研究熱點。例如，文獻[13]基于LMI討論了2D奇異系統的穩定性分析與綜合問題。文獻[14]基于LMI研究了結構系統的主動控制問題。毛凱等[15]在LMI中引入自由權矩陣實現了神經網絡系統的全局穩定性分析。孫宜標等[16]基于LMI實現了直線伺服系統跟蹤控制。基于增廣LMI，Ge等[17]討論了非線性柴油機系統的擴展保成本控制。基于LMI技術，魏新江等[18]針對隨機多源干擾系統進行了復合容錯控制器設計。但是，純時滯系統的狀態空間描述缺乏無時滯項，進而造成其基于LMI的相關理論成果極少。據所掌握文獻可知，基于LMI的純時滯系統控制問題研究仍舊不足。故此將主要基于LMI方法分析純時滯系統的穩定性，并得到其穩定性分析與控制器綜合的充分條件。考慮到參數不確定是實際系統必然遇到的問題[19-21]，相關研究成果將進一步擴展至不確定參數系統。

1 模型描述

考慮如下純時滯系統:

(1)

式(1)中：x(t)∈Rn、A∈Rn×n和B∈Rn×m分別為系統狀態向量、系統狀態矩陣及系統輸入矩陣；τ1為系統純時滯量；u(t)為系統控制輸入。考慮到控制輸入量的計算與傳輸需要消耗一定的時間，在此，假定控制輸入信號的時滯量為τ2，可得狀態反饋控制器：

u(t)=Kx(t-τ2)

(2)

式(2)中：K為狀態反饋控制器增益。將控制器[式(2)]代入系統狀態[式(1)]可得其閉環系統：

(3)

考慮到有：

(4)

(5)

則閉環系統[式(3)]可進一步描述為

(6)

引理1[22]對于任意對稱正定矩陣Π∈Rn×n，標量r1及r2滿足r1

(7)

引理2[14]對于給定適當維數矩陣Ω=ΩT、Υ及Λ，有Ω+ΥF(t)Λ+ΛTFT(t)ΥT<0，其中FT(t)F(t)≤I，當且僅當存在任意σ>0，使得Ω+σΥΥT+σ-1ΛTΛ<0。

2 穩定性分析與控制器設計

本節首先基于LMI推導出定理1用于純時滯系統控制器設計，然后在定理1的基礎上得到定理2用于純時滯系統的穩定性分析。

(8)

式(8)中：

證明：選擇正能量函數：

V(t)=xT(t)Px(t)+

(9)

式(9)中：

對函數V(t)求導，可得：

(10)

由引理1，有

(11)

(12)

基于系統描述[式(6)]，可知

(13)

式(13)中：S為適當維數的任意非奇異矩陣；β1、β2、β3為任意常數。綜合式(10)～式(13)，有

(14)

定理1給出了純時滯系統[式(1)]鎮定控制器存在的充分條件。在未找到線性矩陣不等式(8)可行解的情況下，可適當調整參數β1、β2及β3的值實現在更大范圍內搜尋不等式(8)的可行解，也就是說β1、β2及β3增加了不等式(8)可行解的取值范圍，降低了定理1的保守性。同時，如果令式(9)中的Q2=0，式(13)中的β3=0，K=0可以得到如下定理2用于判斷純時滯系統開環狀態下的穩定性。

(15)

在參數β1、β2及β3給定的情況下，LMI[式(8)]及[式(15)]均為嚴格LMI，可以通過MATLAB的LMI工具箱直接求解，極大提高了定理應用的便利性。

3 魯棒性分析

考慮如下不確定純時滯系統:

(16)

式(16)中：x(t)、A、B及τ1的定義與系統(1)相同。ΔA、ΔB為不確定矩陣，且滿足：

[ΔAΔB]=MF(t)[N1N2]

(17)

式(17)中：M、N1及N2為已知適當維數的常數矩陣；F(t)∈Rk×s是未知時變參數矩陣，且滿足：

FT(t)F(t)≤I

(18)

基于定理1及定理2可得定理3及定理4保證系統[式(16)]的魯棒穩定性。

(19)

式(19)中：

證明：將矩陣A替換成A+ΔA，不等式(8)可描述為

(20)

由引理2可知，不等式(20)成立，當且僅當存在σ>0，使得不等式(21)成立。

(21)

基于舒爾補引理可知，不等式(21)成立等價于不等式(19)成立。

定理4對于任意給定時滯τ1，存在適當維數的對稱正定矩陣非奇異矩陣及任意常數β1、β2及σ>0使得線性矩陣不等式(22)成立，則純時滯系統[式(16)]開環狀態下是魯棒穩定的。

(22)

定理4的證明與定理3的證明類似，在此省略。

4 實例仿真

例1考慮如下純時滯系統的穩定性：

(23)

令β1=β2=1，求解定理2可知線性矩陣不等式(15)有解，且有

也就是說，該系統[式(23)]穩定。現令初始條件滿足x(t)=[0.1 0.2]T,t∈[-1, 0]，經計算機仿真可得系統的狀態響應曲線，如圖1所示，從圖1可知該系統狀態收斂，即定理2是有效的。

圖1 純時滯系統[式(23)]開環狀態響應曲線Fig.1 Open-loop state responses of the pure time-delay system (23)

例2考慮如下純時滯系統：

(24)

經求解定理2可知線性矩陣不等式(15)無可行解，即該系統開環不穩定(開環狀態響應如圖2所示，初始條件同例題1)。現令β1=β2=β3=1，求解定理1可知線性矩陣不等式(8)有解，且有

進而可得純時滯系統[式(24)]鎮定控制器為

(25)

經計算機仿真可得閉環系統的狀態響應曲線(如圖3所示，初始條件同例題1)，從圖3可知純時滯系統[式(24)]在控制器[式(25)]的作用下穩定，即定理1用于純時滯系統控制器的求解是有效的。

圖2 純時滯系統[式(24)]開環狀態響應曲線Fig.2 Open-loop state responses curves of the pure time-delay system (24)

圖3 控制器K1作用下，純時滯系統[式(24)]閉環狀態響應曲線Fig.3 State responses curves of the nominal pure time-delay system (24) controlled by K1

例3考慮純時滯系統[式(24)]存在如下不確定性M=[0.1 0]T，N1=[0.2 0.1]T，N2=[0.2]，F(t)=sin(2t)。令β1=β2=β3=1，求解定理3可知線性矩陣不等式(18)有解，且有

進而可得純時滯系統[式(24)]存在參數不確定情況下的鎮定控制器

(26)

經計算機仿真可得閉環系統的狀態響應曲線(如圖4所示，初始條件同例題1)，從圖4可知不確定純時滯系統在控制器[式(26)]的作用下穩定，即定理3用于不確定純時滯系統魯棒控制器的求解是有效的。

圖4 控制器K2作用下，參數不確定純時滯系統[式(24)]的狀態響應Fig.4 State responses curves of the uncertain pure time-delay system [formula(24)] controlled by K2

例4考慮圖5所示水箱水位控制。h及S分別為水位的高度及水箱的橫截面積；進水控制器及出水流量傳感器安裝在進出水管的兩端[Qin(t)及Qout(t)分別為進出水流量]；進出水管的長度分別為L1及L2，L1及L2分別對進出水造成τ2及τ1的時滯量。出水口處于自由出水狀態，有Qout(t)=εh(t-τ1)，其中ε為常數。系統被控參數為水箱水位h，控制輸入為進水流量Qin(t)=K3h(t)，K3為狀態反饋控制器增益。基于以上分析可得系統描述為

(27)

圖5 一階水箱水位控制系統Fig.5 Single-tank water control system

圖6 水箱系統狀態響應曲線Fig.6 State responses curve of the single-tank water control system

在此，假定該系統有ε=0.1，S=1，τ1=0.1，τ2=0.15。現令β1=β2=β3=1，求解定理1可知線性矩陣不等式(8)有解，且有K3=[-0.286 5]。經計算機仿真可得閉環系統的狀態響應曲線{如圖6 所示，初始條件：h(t)=1,t∈[-0.12, 0]}，從圖6可知水箱系統在控制器K3的作用下穩定。

5 結論

基于LMI實現了純時滯系統的穩定性分析與控制器設計。首先，考慮到控制信號計算與傳輸需要消耗時間，在系統控制通道中引入了時滯。然后，基于矩陣變換將系統模型描述成含分布時滯的形式。其次，基于Lyapunov系統穩定理論及線性矩陣不等式技術，得到了系統穩定的充分條件。同時，相關成果擴展至系統參數不確定性情形。最后，通過實例分析驗證了相關定理的有效性。