粗粒土的級配方程及應用

王啟云， 項玉龍， 張丙強， 魏心星， 林華明

(1.福建工程學院土木工程學院， 福州 350118； 2.地下工程福建省高校重點實驗室， 福州 350118)

土體是由大小不同的土粒組成的，土粒的大小及組成稱為顆粒級配。顆粒級配對土體的強度、變形及滲透特性有非常重要的影響[1-2]，尤其對粗粒土，級配是最基本、最重要的物理性質指標之一[3]。土的顆粒級配主要是通過顆粒分析試驗測定的，常采用篩分法、密度計法、移液管法[4]，也有部分學者采用數字成像處理技術[5]。根據試驗結果，土的級配一般采用粒徑累計曲線來表示，粒徑累計曲線也稱為級配曲線，橫坐標為粒徑d，縱坐標為小于某粒徑的土重累計百分比含量P，采用對數坐標表示。根據土的粒徑累計曲線可以確定不均勻系數Cu及曲率系數Cc兩個定量指標。有學者試圖建立土體工程特性與Cu、Cc之間的關系，例如，齊俊修等[6]根據統計建立了土體滲透破壞標準與Cu之間的關系；朱晟等[7]建立了Cu、Cc與粒度分形維數的關系，并明確指出粒度分形維數比Cu、Cc能更全面反映堆石料級配的整體平均特性。雖然Cu、Cc能在一定程度上反映顆粒級配和土的某些性質，但不能準確描述級配與土的物理力學特性的定量關系。

現有研究之所以不能有效分析級配對土體物理力學特性的影響，主要問題在于目前土體級配的表示方法很少。典型連續級配粗粒土的級配曲線通常表現為雙曲線形、反S形、直線形等3種[3]，有學者對土體的連續級配的表示方法進行了一些初步探討。例如，Fuller等[8]根據試驗提出的一種理想級配即最大密度曲線，認為顆粒級配曲線滿足拋物線時，其密度最大，提出級配方程表達式

P=(d/dmax)0.5

(1)

式(1)中：P為粒徑小于d的顆粒質量百分比；dmax為最大粒徑。

基于分形理論，Talbot等[9]提出一種級配方程表達式：

P=(d/dmax)3-D×100%

(2)

式(2)中：D為分形維數。

Talbot在研究最大密度時，允許級配波動，對Fuller的方程進行推廣，將級配方程[式(1)]修改為

P=(d/dmax)α×100%

(3)

上述級配方程表明，在雙對數坐標系中P與d為線性關系，只能描述雙曲線形態的級配曲線，對反S形、直線形級配曲線適用性較低。

Swamee等[10]提出了天然泥砂的級配曲線方程表達式：

P=[(d*/d)m/n+1]-n×100%

(4)

式(4)中：n為擬合系數；m為雙對數坐標系中級配曲線中間直線段斜率；d*為雙對數坐標系中級配曲線中間直線段的延長線與P=100%的交點對應的粒徑。

Swamee等[10]提出的級配方程比Fuller等[8]和Talbot等[9]提出的級配方程寬，但該方程要求在雙對數坐標系中級配曲線中間段為直線，且在P=100%不能得到最大粒徑dmax，導致該方程存在明顯偏差，適用性受到一定限制。

陳曉斌等[11]引入存活概率與破碎概率比值，采用對數概率回歸方法，建立土體級配曲線對數概率函數表達式：

P=eα+βx/(1+eα+βx)

(5)

式(5)中：α、β為參數；x為相對粒徑，x=d/dmax。

該方程只能反應S形級配曲線，對其他類型的級配曲線適應性不強。

朱俊高等[3]提出了一個描述連續級配土的級配方程：

(6)

式(6)中：b、m為參數。

式(6)能較好地描述雙曲線形、直線形、反S形等連續級配的土體級配，與之前的級配方程相比適用范圍更廣，但該方程只能表示光滑、連續的曲線，對于波浪形或間斷的非連續級配曲線適用性較差，與粒徑累計分布曲線相比，靈活性仍有欠缺[12]。

上述分析表明，現有的級配方程大多適用的某些特定情況或特定的土類，尤其是無法對非連續級配的土體進行準確的描述。為此，本文提出了一個描述連續級配粗粒土的級配方程，并在此基礎上構建能描述波浪形或間斷級配曲線的級配方程，對該方程的適用性進行論證分析。

1 連續級配粗粒土級配方程的提出

分形幾何是用來描述自然界不規則及雜亂無章的現象和行為，目前應用較多的是線性分形[2]。Talbot等[9]提出的級配方程中的參數就是分形維數。為方便分析，做歸一化處理，定義相對粒徑變量x，建立P-x相對坐標系：

(7)

則式(2)可轉化為

P=x3-D

(8)

對式(8)兩邊取對數：

lgP=(3-D)lgx=klgx

(9)

式(9)中：k為線性回歸求得直線部分的斜率。

文獻[3]中典型連續級配粗粒土的級配曲線形態如圖1所示，采用式(9)獲得相應的粒度分形曲線及分形維數如圖2和表1所示。

圖1 典型連續級配粗粒土級配曲線Fig.1 Typical continuous grading coarse-grain soil grading curves

圖2 連續級配粗粒土級配粒度分形曲線線性擬合Fig.2 Granularity fractal and distribution curves of continuous graded coarse-grained soils and its linear fitting curves

從表1中可以看出，部分曲線采用線性函數擬合的相關系數R2<0.9，說明基于線性分形理論的Talbot級配曲線具有明顯的局限。

通過對典型連續級配粗粒土的級配粒度分形曲線形態分析，發現在雙對數坐標中P與x間的關系近似通過原點的拋物線。為方便計算與表達，級配粒度分形曲線縱橫坐標采用自然對數表示，lnP-lnx間關系可采用二次函數表達：

lnP=aln2x+blnx

(10)

式(10)中，a、b為擬合參數。

采用式(10)對圖2中數據進行非線性擬合，擬合曲線如圖3所示，具體參數如表1所示。可以看出，二次函數對lnP-lnx曲線具有良好的適應性。

求解式(10)可得到連續級配粗粒土的級配方程表達式：

(11)

圖3 連續級配粗粒土粒度分形曲線非線性擬合Fig.3 Granularity fractal and distribution curves of continuous graded coarse-grained soils and its nonlinear fitting curves

表1 擬合參數Table 1 Fitting parameters

利用表1中數據和式(11)，獲得級配曲線如圖4所示。可以看出，級配方程[式(11)]可以反映各種形態的級配曲線。

圖4 連續級配方程適應性分析Fig.4 Adaptability of continuous gradation equation

由式(11)所確定的參數a、b控制級配曲線形態變化。對于某一級配曲線，最大粒徑dmax為已知參數，確定a、b后就能獲得級配曲線。參數a、b可采用最小二乘法，可利用式(10)對顆粒含量與相對粒徑的雙對數坐標的數據lnP-lnx進行擬合確定，也可利用式(11)對顆粒含量與相對粒徑坐標系中的級配曲線進行擬合確定。

2 非連續級配土級配方程的構建

前述分析表明，對于連續級配土體的級配曲線可采用本文提出的級配方程或文獻[6]中的級配方程來描述。但工程實踐中級配曲線更多呈現出波浪形和部分間斷的，典型鐵路或公路路基填料級配曲線如圖5所示。

圖5 工程實踐中采用的粗粒土典型級配Fig.5 Typical grading curves of coarse-grained soil in engineering practice

可以看出，圖5所示的級配曲線形態基本是由雙曲形、反S形和直線形組合而成。為準確描述曲線級配，可將非連續的級配曲線離散為連續級配曲線，離散后的級配曲線可用式(11)表示，然后再將離散后的級配曲線進行組合，級配方程采用分段函數表示。

為保證在離散點級配曲線的連續性，利用式(10)進行分析。令P′=lnP，x′=lnx，將式(10)轉化為

P′=ax′2+bx′

(12)

在x′-P′坐標中級配曲線坐標數值為(xi′，Pi′)，采用最小二乘法對數據擬合如下：

(1)采用式(12)對x-P坐標中數據進行擬合，利用相關系數R2判斷擬合精度，R2滿足設定要求擬合結束，將參數a、b代入級配方程[式(11)]，可繪出級配曲線。若R2不能滿足，按以下步驟分段擬合。

(2)自動拾取數據前2點，開始進行擬合，R2滿足要求，往下拾取數據點繼續擬合，直至第n點R2不滿足要求，本次擬合結束，退回至第n-1點，確定第1點至第n-1點曲線方程P′(0)=a0x′2+b0x′，其對應橫坐標范圍為[0,x′n-1]。

(3)開展坐標變換，定義x′1=x′-x′n-1，P′1=P′-P′n-1，獲得新坐標系x′1-P′1中的數據點，循環第1、2步，獲得第n-1點至第n+k點在x′1-P′1坐標中的曲線方程P′1=a1x′12+b1x′1，其對應x′-P′坐標系中橫坐標范圍為[xn-1,xn+k]。

(4)循環第3步，獲得x′m-P′m坐標系中曲線方程P′m=amx′m2+bmx′m，m表示級配曲線分段數。

(5)完成所有數據點擬合后，開展坐標變換，將其他坐標系中的數據轉化為x′-P′坐標系中的數值，縱橫坐標分別按式(13)進行轉換：

(13)

式(13)中:x′m、P′m分別表示級配曲線第m段范圍內橫坐標、縱坐標數值。

將式(13)代入式(11)中，可獲得波浪形、部分間斷的級配曲線的方程為

(14)

上述過程可以利用MATLAB等工具軟件自編程序實現。

3 級配方程適用性驗證

為說明非連續級配方程的適用性及其優越性，分別采用式(6)、式(11)和式(14)對文獻[13]中粗粒土級配曲線進行分析。

圖6 級配方程對比分析Fig.6 Comparative analysis of grading equations

從圖6中可以看出，對于連續級配的雙曲線型級配，由式(6)、式(11)擬合反推的級配曲線與原級配曲線比較接近，但對于存在平臺的非連續級配曲線則無法準確描述，且誤差較大，部分點差值達到了15% 以上。

設定R2≥0.99，利用MATLAB軟件編寫計算程序，計算結果表明圖6中級配曲線可用2段函數表示，各分段參數見表2。

表2 分段擬合參數Table 2 Segmentation fitting parameters

根據表2中數據，利用式(14)繪制的級配曲線如圖6所示。可以看出，利用分段級配方程擬合得到的曲線與原始級配曲線基本重合，具有適用性好、靈活性大、誤差小等特性。

4 級配方程的應用

粗粒土是由大小顆粒彼此充填而呈粒狀結構的散粒體，在荷載作用下容易發生顆粒破碎。掌握顆粒破碎變化規律有助于理解粗粒土物理力學特性的變化過程[11]。目前顆粒破碎量測方法比較多，其中由Hardin定義相對破碎率Br使用最為廣泛，它是以顆粒破碎前后級配曲線所圍成的面積作為總破碎量Bt，再除以各自所定義的破碎潛能Bp[15]，即

(15)

式(15)中：Br為土體的相對破碎率；Bt為破碎量；Bp為破碎勢。

Hardin將初始曲線與粒徑dmin=0.074 mm所圍成的面積作為破碎潛能Bp。當最小粒徑大于0.074 mm時，dmin取最小粒徑。Bt、Bp采用相對坐標系分別表示為

(16)

(17)

式中：Pm(x)P′m(x)分別表示試驗前后土體的級配曲線方程，根據級配采用MATLAB求解，dx為P對應的相對粒徑的篩分通過率微分形式，m、m′為分別為實驗前后級配曲線分段數。

將式(16)和式(17)代入式(15)中，可得到在土體的相對破碎率：

(18)

由于式(18)無法獲得精確數值解，可采用自適應Lobatto數值積分方法求解。

文獻[14]給出了紅砂巖制備的粗粒土壓縮試驗前后的顆粒含量變化，如圖7所示。

圖7 壓縮試驗后粗粒土顆粒破碎分析結果Fig.7 Particle breakage analytical results of coarse-grained soils after compression test

設定R2≥0.995，根據自編程序計算分析得到圖7中級配曲線方程參數見表3。

根據表3中數據和式(17)，可求得的飽和土、干土的相對破碎率如表4所示。為了進行對比分析，采用式(6)、式(11)對文獻[13]試樣的級配曲線進行擬合，采用積分獲得級配曲線、d=0.05 mm豎向線、P=1所圍成的區域面積，由式(18)獲得相對破碎率也列入表4中。此外，采用矩形面積法計算得到相對破碎率實測值。

表3 級配方程參數Table 3 Parameters of gradation equation

表4 相對顆粒破碎率Table 4 Particle breakage index

可以看出，采用式(14)計算得到的相對破碎率與試驗實測值較為接近，采用式(6)、式(11)獲得的相對破碎率與試驗實測值相差較大，說明利用式(14)計算破碎率更為合理，非連續級配方程比連續級配方程計算更準確。

5 結論

(1)定義顆粒含量P與相對粒徑x的雙自然對數坐標系，在分形理論基礎上采用二次函數建立了P與x的非線性關系，進而提出了一種可以描述連續級配粗粒土的級配方程，采用數據論證了該方程的適用性，表明級配方程適用于各種形態的連續級配粗粒土的級配曲線。

(2)將非連續級配粗粒土級配曲線離散為局部連續的級配曲線，通過坐標變換，在連續級配方程基礎上構建了非連續級配粗粒土的級配方程，采用數據論證了該方程的適用性、優越性，表明該方程可以很好地描述波浪型、間斷型等復雜形態的級配曲線。

(3)利用本文提出的粗粒土級配方程，獲得了Hardin相對破碎率計算表達式，采用試驗數據比較分析了連續級配方程與非連續級配方程計算相對破碎率的合理性，結果表明根據非連續級配粗粒土的級配方程計算的相對破碎率結果更為準確。