從數學哲學角度淺談數學的客觀性和主觀性及其對數學教育的意義

孫穎敏 梁碧瑤

摘要：數學的客觀性與主觀性的爭論其實是數學哲學上的爭論。數學哲學中的絕對主義認為數學是一種絕對現實（客觀真理），獨立于人類認識而存在。建構主義認為數學同時具有主觀性和客觀性，其中社會建構主義認為數學是由數學研究者的主觀構建而成為客觀知識的。激進建構主義對此有著類似卻又不完全相同的觀點：知識是個人純主觀的建構，它是個體組織經驗世界的工具，而不是用來發現本體的。激進建構主義反對把數學看成是堅定的客觀科學，主張數學的建構性。這三個主義為描述數學提供了三個視角，我們從不同的角度看數學，對數學教育的意義是不一樣的。當我們從絕對主義的視角看數學時，會更強調數學知識的客觀性，因此可能更傾向于用“匹配”的觀念進行教學——教師只是一個“客觀數學知識的傳遞者”，只要向學生傳遞數學知識即可。這種“匹配”的觀念更注重結果，更在意教師是否完成“傳遞”的任務。當我們從建構主義的角度看數學時，會減輕教師僅僅作為“客觀知識的傳遞者”的認識，而更加關注到學生的想法，更注重幫助學生構建起自己的數學知識體系，實現真正的“以學生為中心”的教學。同時，數學的民族文化性與其主觀建構性密不可分。當我們真正理解了數學的民族文化性，才能更好地踐行新課標中將數學文化融入課程中的這一要求。

關鍵詞：數學;客觀性;主觀性

一、數學到底是客觀的還是主觀的

數學的客觀性與主觀性的爭論其實是數學哲學上的爭論，很早就有了。數學具有客觀存在性的觀點，其實是哲學上的絕對主義在數學領域的表現：他們相信存在某種獨立于人類認識之外的東西——絕對真實。而數學對于他們來說，并不是被人類所發明創造的，而是獨立于人類認識的，也不因人的意志而轉移，人類只需要去發現探索它就可以了，因此他們認為數學是客觀存在的。激進建構主義都認為數學的客觀性就如同，兩根手指和兩根手指加起來，數都能數出來一共是四根手指，沒什么好爭議的;抑或是不管哪個民族研究多項式，得到的結論都會一樣。其實我在接觸建構主義以前也一直認為數學和科學都是客觀存在的，因為它們太理性了，不是對就是錯，就像這世界一切客觀存在的物體——它們就是它們，不是其他任何東西。但是當我嘗試從研究者的角度去思考這個問題的時候，我發現這個認知僅僅是基于我的學習經驗和在此基礎之上的有限推斷。而我不是前沿的數學研究者，我有限的數學知識就像加減法對于代數、幾何、概率等領域中的問題的作用——可以看作是一個工具，而工具是基本上被大家所確認的東西。我自然地就形成一種錯覺，就是（我所學的）數學知識都是不可置疑的，也無法置疑，它就像天生就存在于這個世界之中。進而我也相信，那些還沒被發現的數學知識可能會被“找到”，因為它們是不可被質疑的數學。

激進建構主義在這個方面有著相似的觀點，認為知識是個人純主觀的建構，它是個體組織經驗世界的工具，而不是用來發現本體的。它反對把數學看成是堅定的客觀科學，主張數學的建構性。既然數學研究者對數學的構建推動了數學的發展，那么我們無法否認數學研究者對客觀數學知識的內化和創造過程具有一定的主觀性;在教學過程中，我們也無法否認學生在學習客觀數學知識時是在主觀地構建自己的數學知識系統，他們對數學知識的理解和他們的數學思維可能是獨特的，是值得被看到的;甚至在教學過程中，教師也在構建補充自己的數學知識系統。

我個人認為建構主義對數學本質的解釋更具現實意義。對數學研究者來說，數學是否有主觀的一面并不影響他們的研究;但是這個爭論所探討的數學知識觀給數學教育帶來了一定的影響。數學教育除了“數學”的部分，還包括了“教育”的部分，除了客觀的數學知識，還有人的主觀活動。數學教師的數學觀直接影響著他們的教學方式，也對塑造學生數學觀產生一定的影響。在教學中，當我們強調數學知識的客觀性時，可能更傾向于用“匹配”的觀念進行教學——教師只是一個“客觀數學知識的傳遞者”，只要向學生傳遞數學知識、訓練他們的數學思維即可。這種“匹配”的觀念更注重結果，更在意教師是否完成“傳遞”的任務。比如說可能只會關注學生的回答或練習是否正確，如果是錯的，那就把對的教給學生。但是當我們看到了數學知識主觀性的一面時，會進一步考慮到數學建構中個體的差異性。每個學生對數學知識和老師的教學可能會產生不同的理解，構建數學知識體系的方式也不盡相同。教師通過與學生的交流了解他們的數學思維或者想法，將會給出更貼切的引導。簡單來說，就是微觀角度下的因材施教、對癥下藥。

二、數學是否屬于文化范疇

一些研究者想要通過數學的客觀存在性來反駁數學具有文化性這個觀點。他們認為，如果數學客觀存在，對于大家來說普遍相同，那不同文化下的數學其實也就都是一個東西了，并沒有區別，那何來數學的文化性之談？

但是如同我在上個問題中所談到的，從建構主義的角度來說，人是數學研究活動中的主體，這帶來了數學知識的主觀性。不同個體可能受文化、環境、語言等各種各樣的影響，他們思考數學的方式可能不同。上升到民族的層面，民族是由個體組成的。民族與民族之間思考數學或者進行數學研究活動的方式也或不同。比如說我們古中國與古埃及的記數法都采用10進制，古巴比倫的記數法采用60進制，澳洲土著的記數法采用5進制。不同民族之間解決數學問題的思路也可能不一樣，比如古巴比倫人解決一些幾何問題的思路，現在我們可以用配方法的思路去理解，抑或是認為他們的做法是配方法的幾何體現，雖然兩種解法看起來方法似乎是一樣的，但是其中的數學思維可能是不一樣的。所以，我認為數學有民族文化性的一面。

至于數學是否是西方殖民工具的問題，我認為要看不同民族的數學和數學教育發展的實際情況。一方面，如果西方數學發展得更先進，那自然有學習西方數學的道理;另一方面，西方國家確實有它的殖民歷史，它在殖民的過程中是否利用了數學呢？中華民族也有自己的數學研究，比如說垛積術，研究高階等差級數求和的問題。中國傳統垛積術在16世紀可能是唯一領先于世界水平的中國傳統數學分支，但是在19世紀末就被徹底地代數化了。再比如說三角函數及三角函數冪級數展開式傳入中國之后，中國數學家為了理解和證明這些內容，將傳統數學與西方數學方法結合，取得了一定的研究成果。但是1860年后，符號代數和微積分在中國傳播，中國傳統代數學——天元術和四元術幾乎很快就被符號代數所取代。這到底是西方的殖民主義還是自然而然的數學發展，可能需要去專門研究一下。包括Marshall是否真的帶著濃厚的種族主義色彩去看待數學，都需要再考究。在2017年版的普通高中課程標準中，每個主題都提到了要將數學文化融入課程內容中。我認為這是不可忽略的，它提示我們要對民族數學文化有所了解，這可以幫助我們提高學生的數學學習興趣，拓展數學知識的理解途徑。

再上升到全人類的層面，數學其實就是人類這個大民族的瑰寶！

參考文獻

[1]蔡鐵權.近代中國文化轉型與數學、數學教育的嬗變[J].全球教育展望，2014，43（01）：103-110+22.

[2]謝明初.數學教育中的建構主義：一個哲學的審視[M].上海：華東師范大學出版社，2007：1-37.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.