相對速度瞬心的動量矩定理深度剖析

摘 要：給出相對速度瞬心的動量矩定理的推導過程，對相對速度瞬心的動量矩定理進行深度透視，探討其概念、原理及應用，對比其與相對質心動量矩定理的差異性.

關鍵詞：理論力學;速度瞬心;動量矩定理;時變轉動慣量

[中圖分類號]O313.3 ? [文獻標志碼]A

Abstract：The theorem of angle momentum is a powerful tool for solving the dynamic problems of plane motion of rigid bodies.In theoretical mechanics textbooks，only the angle momentum theorem about mass center is given，but the angle momentum theorem about instantaneous center is not given.Because of the instantaneity of instantaneous center，students often have disputes and errors in solving a problem.This paper gives a deductive process of the theorem，which is compatible with the current theoretical mechanics teaching system. In order to deepen understanding of the theorem and to use it correctly，we also make a deep perspective on the theorem，discusses its concept，principle and application，and compare the difference of it with the angle momentum of mass center.

Key words：theoretical mechanics;instantaneous center;theorem of angle momentum;time-varying moment of inertia

動量矩定理是解決剛體平面運動動力學問題的一個有力工具.在理論教材中，只是給出了相對質心的動量矩定理[1]，沒有給出相對速度瞬心的動量矩定理.由于速度瞬心的瞬時性，學生在采用該定理解題過程中經常會出現爭議和錯誤，故有必要對相對速度瞬心的動量矩定理進行深度剖析，理清其概念和原理.文獻[2]給出了質點系相對動點的動量矩定理，文獻[3]全面總結了動量矩的定義及關系，給出了非慣性參考系下的動量矩定理.文獻[4-5]討論了關于對速度瞬心的動量矩定理，并給出了證明，得到了一般形式.文獻[6]探討了相對速度瞬心的動量矩定理及教學應用.這些研討對于提升理論力學的教學效果是十分有益的，然而文獻[4-6]的推導過程和目前的理論力學教學體系不兼容，很難給學生講清楚.本文基于質點系相對動點的動量矩定理，推導平面運動剛體相對于速度瞬心的動量矩定理，并且給出其轉動慣量形式，探討其在求解剛體平面運動動力學問題中的應用.

1 質點系相對動點的動量矩定理

質點系相對于動點的動量矩包括兩種：質點系絕對運動相對動點的動量矩和質點系相對運動對動點的動量矩.文獻[3-7]中的質點系相對動點的動量矩均是指質點系絕對運動相對動點的動量矩，本文亦是如此.文獻[2]以簡潔的形式證明了質點系相對動點的動量矩定理，本文直接引用其結論，不進行嚴格推導.

2 平面運動剛體相對速度瞬心的動量矩定理

在理論力學教材中，講述了相對于質心的動量矩定理，速度瞬心和質心具有明顯不同的屬性，主要區別如下：

（1）質心是一個確定的點，而速度瞬心在不同時刻是不同的點，具有瞬時性.

（2）在運動過程中，剛體各點到質心的距離不變，而剛體各點在不同時刻到速度瞬心的距離是不一樣的.

（3）教材推導質點系相對質心的動量矩定理時，將動參考系固結在質心上，在定參考系觀察，質心是運動的;在動參考系中，質心就是坐標原點，是一個固定點，而速度瞬心無論是從定參考系還是動參考系中觀察都是時刻改變的點.

（4）在理論力學學習過程中，學生及大部分教師最熟悉的是通過轉動慣量計算定軸轉動或者剛體相對于質心的動量矩，在這兩種情況下，轉動慣量是不變的，即轉動慣量均為常數.采用轉動慣量計算相對速度瞬心的動量矩與上述情況不同，由于速度瞬心具有時變性，所以相對速度瞬心的轉動慣量亦是時變的.

綜上所述，能否對速度瞬心取動量矩及如何理解相對速度瞬心的動量矩定理就成了教學中的難點.要突破教學難點，必須理解速度瞬心的特殊性.現行理論力學教材只闡述了速度瞬心的定義及確定方法，沒有講授速度瞬心的動軌跡及定軌跡，對講授相對速度瞬心的動量矩定理造成了障礙.

2.1 關于速度瞬心的補充

在運動剛體上的不同瞬時瞬心點的軌跡稱為瞬心動軌跡 .[2]在剛體運動過程中，在不同瞬時，參考平面上與速度瞬心相重合的點稱為定軌跡點，由定軌跡點所構成的軌跡稱為瞬心定軌跡.[2]值得注意的是，速度瞬心是位于剛體上的點，即動參考系中的點;定軌跡點是參考平面內的點，即固定參考系的點.如圖2所示，圓盤在地面上以角速度ω純滾動，在S時刻，其速度瞬心為PS，PS位于圓盤上;定軌跡點為P′S，P′S位于地面.在S時刻，P′S與PS相重合.在地面上，由不同時刻的P′S點所組成的曲線即為定軌跡.在圓盤上，由不同時刻的PS點所組成曲線即為瞬心動軌跡.對于純滾動的圓盤，瞬心定軌跡為直線，瞬心動軌跡為圓弧.

從（8）式中可以看出：

（1）當質心到速度瞬心的距離保持不變（例如，圓盤在平面上純滾動時，速度瞬心為圓盤與平面的接觸點，此時圓盤質心到速度瞬心的距離不變，始終為圓盤的半徑），即d為常數時，則d·=0，（8）式退化為（9）式.

（2）關于時間的函數d取極值點時（最大值或最小值）時，則d·=0，（8）式退化為（9）式.

（3）當ω→=0時（例如剛體做平面運動的初始時刻），（8）式亦可以退化為（9）式.

2.3 典型例題分析

均勻質量的細桿AB長為l，質量為m， A端放在光滑的水平面上，當細桿AB受到微小擾動倒下時，求其剛剛到達地面時的地面約束反力.[1]

3 結論

目前，針對平面運動剛體相對于速度瞬心的動量矩定理的教學內容，僅限于教學輔導書及一些教研論文.在教學過程中，部分學生喜歡運用相對速度瞬心的動量矩定理，以取得相對簡潔的解法.學生們及部分教師在理解該定理上有一定的困難.為了避免運用該定理解題過程中可能會引起的錯誤和爭議，與目前的理論力學教學體系兼容的講授該定理，筆者深度剖析其基本概念，闡述其與相對質心的動量矩的異同，澄清了對該定理的認識誤區以及對速度瞬心理解的不足.

參考文獻

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2016：259-280.

[2]洪嘉振，楊長俊.理論力學[M]. 北京：高等教育出版社，2015：230-238.

[3]李銀山.Maple 理論力學Ⅰ[M].北京：機械工業出版社，2013：265-279.

[4]張光樞.關于對瞬時速度中心的動量矩定理[J].力學與實踐，1983（01）：50-53.

[5]劉成群.關于對瞬時速度中心的動量矩定理的再討論[J].重慶大學學報，1983（1）：74-86.

[6]邱支振.對速度瞬心的動量矩定理的教學與應用[J].安徽工業大學學報：社會科學版，2001（3）：105-106.

[7]劉延彬.基于速度約束求導法補充加速度關系[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2019（4）：72-74.

編輯：吳楠