基于改進灰色馬爾科夫模型的自由現金流預測

李攀藝 曹奧臣 張玉紅

【摘 要】 隨著我國資本市場發展和會計披露要求的進一步完善，自由現金流折現法在企業價值評估中得到廣泛應用，但如何更為科學、合理地預測企業自由現金流仍是一項關鍵且充滿挑戰的課題。為盡力規避評估實務中可能面臨的主觀噪聲，獲取相較精準的預測值，文章將新陳代謝思想引入灰色預測模型中，采用Fisher最優分割法對馬爾科夫鏈的狀態區間進行劃分，試圖以上述改進方法為基礎預測企業自由現金流。試驗結果表明在“小樣本、貧信息”的情境下，改進后的組合預測模型相較灰色預測、灰色馬爾科夫模型及灰色新陳代謝模型在預測精度上有所提升。

【關鍵詞】 收益法; 新陳代謝; 灰色預測; 馬爾科夫鏈; Fisher最優分割法

【中圖分類號】 F275? 【文獻標識碼】 A? 【文章編號】 1004-5937（2020）23-0144-07

一、問題的提出

隨著我國資本市場發展和會計披露要求的進一步完善，基于自由現金流量的評估方法在企業價值評估中得到廣泛應用。自由現金流折現法作為評估企業價值的主流方法之一，其關鍵環節是如何預測企業的預期收益。自由現金流量預測方法是在企業持續經營的前提下，通過合理預測企業預期獲利能力并選擇適當折現率，從而測算出企業的價值。如何把握預測的不確定性，構建一個更加科學合理的自由現金流量預測模型，對更加準確地進行企業估值具有決定性意義。

既有研究中，收益法的技術發展呈現多元化、創新化的新態勢，大量數理模型與方法被引入到收益額的預測環節。陳蕾等[ 1 ]利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法對周期性企業進行估值，通過測度歷史數據概率分布進而模擬未來的收益區間，附帶范圍波動的預測值使得評估結果更具說服力及可信度;劉曉煜[ 2 ]從邏輯推理的視角出發將蒙特卡洛模擬到評估中，試圖探索預測系統的因果反饋關系及運行機制，從而擴大以企業現金流量作為收益法評估參數的適用范圍;王晶等[ 3 ]基于系統思想，提出了嵌入知識的人機交互式綜合集成預測方法框架，并將其應用于智能化決策支持系統的預測環節。各類預測方法均對應其適用的評估情境，但實際研究中仍須結合特定的評估環境充分把握預測理論與方法[ 4 ]，進而提高預測的科學性及準確性。

目前，我國評估實務中常面臨標的企業成立時間短、數據信息稀缺等現象，類似“小樣本、貧信息”式的非確定系統同樣廣泛存在于現實中，諸多學者試圖借助灰色系統理論攻克實際問題。其中，當屬灰色預測模型的多學科應用場景最為豐富，但此模型對高波動型序列的擬合效果不佳，難以滿足收益法中預測精度的要求，而馬爾科夫模型則適合高波動型序列的預測，通過將以上二者有機組合，不僅可發揮前者對小樣本及趨勢預測的優勢，而且可有效彌補灰色預測對高波動型數據擬合效果不佳的缺陷[ 5 ]。研究證明，此組合模型對“經營波動大、數據信息少”的評估標的展現出良好的預測精度[ 6 ]。張喜才等[ 7 ]通過灰色馬爾科夫模型對京津冀農產品冷鏈需求量進行分析，證實該方法的預測誤差相較指數平滑法、模糊線性回歸模型與灰色預測模型均有大幅降低。但是，現有的灰色馬爾科夫模型在應用歷史數據預測未來時并沒有考慮到數據的時效性對預測精度的影響。根據新信息優先原則，信息效度會隨時間推移而改變，越臨近當前時點的新信息對研究系統走勢往往越有價值，即新信息對預測的參考作用最高。因此，一些文獻通過對經典的灰色馬爾科夫模型進行改進，剔除低價值的舊數據，引入高價值的新數據，以提升預測精度。如丁建[ 8 ]在灰色馬爾科夫鏈模型中結合新陳代謝思想對軍隊物資消耗進行研究，擬合值與真實數據的對比結果充分證明了引入新陳代謝思想的科學性。張朝飛等[ 9 ]通過引入衰減記憶最小二乘法對新舊信息進行加權處理，剔除時間序列中陳舊的低價值信息，并將新測得的預測數據添至原始序列集中，依此方法預測的激光IMU數據與實際標的數據偏差降低。上述研究表明，新陳代謝思想與預測模型的結合，可使預測結果實時反映研究系統的狀態特性，有利于充分把握系統的發展走勢。還有一些研究基于模型對馬爾科夫鏈簡單的等距劃分缺乏科學性的認識，對馬爾科夫模型進行了改進。如王艷等[ 10 ]在進行降雨量預測時，利用Fisher最優分割法建立降雨量數據的分級標準，增強了馬爾科夫模型中狀態劃分的效率。Fisher最優分割法綜合考慮多因子指標，且能科學地展現分期數目變化對計算結果的影響趨勢，從而確定最優的分期數目。莫崇勛等[ 11 ]在對汛期分期研究時證明該方法在狀態劃分時表現出較強的優勢。

本研究立足既有的研究成果，試圖對適用于“小樣本、貧信息”環境的灰色馬爾科夫模型進行兩方面改進：一是將新陳代謝思想引入灰色預測模型;二是采用Fisher最優分割法對狀態進行科學劃分，將改進后的模型應用于自由現金流預測。最后通過案例，將改進的模型與灰色預測模型、灰色馬爾科夫模型、灰色新陳代謝模型進行預測效果的比較，凸顯了改進模型的預測優勢。

二、模型的構建

（一）灰色預測模型

鄧聚龍教授于1982年首創灰色系統理論，該理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本、貧信息”不確定性系統為研究對象，主要通過對部分已知信息的生成、開發，提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控，并在經濟、工業、農業等領域獲得了廣泛應用。在經濟領域中，由于企業歷年現金流信息作為典型的時間序列數據，受宏觀環境、行業等不確定性因素波動的影響，屬于典型的“小樣本、貧信息”不確定的灰色系統，適合使用灰色模型建模來預測，灰色預測模型普遍應用于價值評估。其中，GM（1，1）模型作為灰色預測理論中的核心，其建模過程主要包括如下步驟：

1.級比檢驗

為了保證灰色預測建模的可行性，需要對已知的數據序列進行級比檢驗。設原始非負序列為X =[x （1），x （2），…，x （n）]，計算序列的級比：

若（n-1）項級比值λ（k）均落在可容覆蓋區？專=? [e ，e ]中，則表示數據序列X（0）通過級比檢驗，可對該序列進行GM（1，1）建模。否則需要對數據序列進行變換處理，常用的方法有平移變換、對數變換和方根變換等，即通過對原始序列進行以下處理：

2.模型建立

（1）對原始序列或經過變換處理后的序列進行一次累加生成處理（1-AGO），即：

（2）構建微分方程：

相應的白化微分方程為：

于是解得白化微分方程：

3.誤差檢驗

（1）殘差檢驗。令殘差為？著（k），計算：

其中，x （k）為實際值，? （k）為擬合值，？著（k）表示實際值與擬合值之差。

（2）相對誤差檢驗。首先計算殘差的絕對值？著（k），再用？著（k）比實際值x （k）得到相對誤差值，數學表達式為：

k數值越小，表示模型預測誤差越小，反之則表示預測誤差越大。

GM（1，1）模型作為灰色預測理論的基礎，已經被眾多學者廣泛應用和深入研究，不僅提高了灰色預測模型的精度，而且進一步完善了灰色系統理論。李夢婉等[ 12 ]基于求解優化和多項式擬合優化相結合的改進灰色等維動態預測方法，通過美國兩百年的人口統計數據驗證了改進模型較傳統模型的可靠性;黎洋等[ 13 ]將傅里葉級數應用于動態GM（1，1）模型修正，并將修正后的模型誤差與傳統模型進行比較，得出預測精度提高的結論;邊國興等[ 14 ]提出了xk/ka（a>0）的數據變換方法，提高了原始數據的光滑度，從而提高了傳統GM（1，1）模型的精度，且基于xk/ka（a>0）的灰色預測模型進一步提高了該模型針對“小樣本、貧信息”預測的優勢。

（二）馬爾科夫模型

雖然目前針對灰色預測GM（1，1）模型的修正方法多種多樣，使其有了進一步的發展和應用，但是該模型在對高波動性數據的處理上仍然存在缺陷，故本文將適合高波動性數據預測的馬爾科夫模型與GM（1，1）模型有機結合。

馬爾科夫鏈最早由俄國數學家安德雷·馬爾科夫于1906年提出，該模型是一個隨時間或區間變化而隨機變化的序列，目前大量采用長序列，高波動數據預測的研究建立于馬爾科夫模型上，因此被廣泛應用于市場需求、生產管理、自然科學等領域。He等[ 15 ]建立了滑動灰色加權馬爾科夫模型預測揚州降水量，預測結果顯示相對誤差較傳統灰色預測降低。Sun Wei等[ 16 ]將擴展灰色模型替換為傳統的灰色模型，并將模糊理論和代謝原理引入馬爾科夫鏈中，提出了一種基于小波變換改進的灰色馬爾科夫模型，較準確地分析了能源供需缺口的趨勢以及利用香農維納（Shannon-Wiener）指數的能源結構。上述研究從不同應用領域說明了灰色預測與馬爾科夫鏈結合的可行性。

1.馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈表示具有參數和離散性質的隨機過程。數學定義為：給定過去的狀態X0，X1，…，Xn-1及現在的狀態Xn，將來的狀態Xn+1的條件分布與過去的狀態獨立，只依賴于現在的狀態。即對任意的n≥0，及任意狀態i，j，i0，i1，…，in-1，有：

上述隨機過程{Xn，n∈N}稱為馬爾科夫鏈。

2.轉移概率矩陣

條件概率P{Xn+1=j│Xn=i}表示馬爾科夫鏈{Xn，n=0，1，2，…}的一步轉移概率，記為pij，表示處于狀態i的過程下一步轉移到狀態j的概率。隨機馬爾科夫鏈轉移概率僅與狀態i，j有關。

馬爾科夫鏈的n步轉移概率可表示為：

顯然，n步轉移概率pij（n ）指的是系統從狀態i經過n步后轉移到狀態j的概率，對中間的（n-1）步轉移所經過的狀態無要求。其中，對于任意m，n≥0，pij（n）與pij的關系為：

由此可得：n步轉移概率pij（n）為一步轉移概率pij（1）的k次方。

灰色馬爾科夫模型在時間序列數據大幅波動時與GM（1，1）模型相比較更具有優勢，但是Hu等[ 17 ]將神經網絡系統與灰色馬爾科夫模型結合應用于預測旅游需求，預測結果表明基于兩個神經網絡的灰色馬爾科夫模型進一步調整了預測結果的準確性。為提高灰色馬爾科夫模型預測精度，本文研究采用以下方法對其進行改進。

（三）改進方法

在建立灰色馬爾科夫模型的過程中，需要以給定過去狀態即預測未來現金流所需的歷史數據為基礎。傳統灰色預測理論中，GM（1，1）模型基于t=n時刻之前的全體數據預測t=n+1時刻的值，該方法未考慮基于歷史數據預測未來的時效性，即在企業價值評估中預測新一期自由現金流時，與研究時點間隔較長的歷史數據對預測的參考作用可能降低，因此對預測結果產生一定的偏差。而新陳代謝理論通過將灰色預測所獲得的最新數據信息x （0 ）（n+1）添加到原始數據中，同時剔除原始數據中最陳舊的數據信息，利用新的數據序列重復進行GM（1，1）模型預測步驟，以達到新信息時效性對提高灰色馬爾科夫模型精確度的目的。

1.灰色新陳代謝模型

新信息優先原理認為，新信息對認知的作用要強于老信息（鄧聚龍，1985）。該原理是信息時效性的具體體現，賦予新信息較高的權重能夠有效提升模型的預測精度。李子龍等[ 18 ]結合加權馬爾科夫理論和新陳代謝思想，證實其預測狀態和原始數據的狀態前后相關性很強，呈現出順延原始數據的趨勢，證實將新陳代謝思想引入GM（1，1）模型中具有可行性。其操作步驟為：

設原始非負序列X =[x （1），x （2），…，x （n）]，利用該序列預測得到x （n+1）后，對后續數據進一步預測時，去掉最舊的數據x （1），添加最新的數據x （n+1），后續的數據序列將不斷獲得更新。其表達式分別為：

利用不斷更新的序列X1 ，X2 ，…，Xk 建立的預測模型即灰色新陳代謝模型。

2.Fisher最優分割法

建立馬爾科夫鏈的關鍵在于制定合理的狀態劃分標準，目前廣泛采用的狀態劃分方法包括樣本均值—標準差狀態劃分法和K-means算法。其中樣本均值—標準差法是以數理統計為基礎，將樣本均值、標準差作為劃分標準，該方法僅考慮從統計角度簡單地將樣本均值作為指標中心，沒有考慮研究對象本身對數據的影響。K-means算法是指定類別數為k，對樣本集合進行聚類，而類別數的制定具有一定的主觀性。考慮上述狀態劃分方法存在的不足，本研究嘗試將Fisher最優分割法引入馬爾科夫模型狀態劃分中。

Fisher最優分割是指將n個有序樣本數據分割為k類，使得段內樣本數據差異最小而段間差異最大的一種聚類方法。具體步驟為：

定義狀態數據M={m1，m2，…，mn}

假設{mi，mi+1，…，mj}表示其中一個類別，其狀態數據的均值為：

類別{mi，mi+1，…，mj}的變差為：

當分割后每段變差和最小時，即達到最優分割。將n個狀態數據劃分為k類，即第一類為{1，2，…，p}，第二類為{p+1，p+2，…，q}，…，第k-1類為{r，r+1，…，s}，第k類為{s+1，s+2，…，n}。

定義k個類別的總變差和為S（k）。

當總變差和S（k）的值最小時，即達到Fisher最優分割。

首先計算D（s+1，n）最小值，解出分段點tk，從而得出第k類為[tk，mn]。按上述方法依次類推得到其余k-2個分段點tk-1，tk-2，…。

從理論視角出發，利用該方法對馬爾科夫模型進行狀態劃分相較等距劃分法更具科學性。

三、案例分析

上述方法對自由現金流折現模型的改進可能具有一定的借鑒作用，在評估實務中，還需結合具體的評估情境、評估標的等進行分析，本文嘗試以案例的形式，將改進的灰色馬爾科夫方法引入自由現金流折現模型中，對該改進方法的適用性及可行性進行系統論證。

本研究選取AJ公司2007—2018年的自由現金流（單位：萬元）作為模型預測的樣本，利用前8年（2007—2014年）的數據進行改進的灰色馬爾科夫建模，而后4年（2015—2018年）的數據作為模型預測精度的參照標準。具體可分為以下四個步驟：第一，利用GM（1，1）模型預測公司后4年的自由現金流;第二，利用馬爾科夫模型對預測值進行修正;第三，將改進方法引入灰色馬爾科夫模型中作進一步優化;第四，利用灰色預測模型、灰色馬爾科夫模型以及改進的灰色馬爾科夫模型對公司后4年自由現金流的預測精度進行對比分析。

（一）構建GM（1，1）模型

1.級比檢驗

原始序列（2007—2014年AJ公司自由現金流）為：

對原始序列進行級比檢驗可得：

所有數值均落在可容覆蓋區？專=[0.80，1.25]內，故該序列適合灰色預測建模。

2.模型建立

（1）對原始序列進行一次累加生成處理（1-AGO），得到序列：

（2）構建微分方程：X（0）（k）+az（1）（k）=b，k=2，3，…，n

其中，Y和B分別為：

根據最小二乘法使J（？滋）=（Y-B？滋）T（Y-B？滋）達到最小值？滋的估計值為：

最終解得白化微分方程為：

原始序列的預測值為：

由上式可預測得到AJ公司2015—2018年的自由現金流分別為：

（二）構建馬爾科夫修正模型

通過GM（1，1）模型得出AJ公司2007—2014年自由現金流的擬合值，具體如表1所示。

1.狀態劃分

按照GM（1，1）模型所擬合的AJ公司自由現金流與實際值的比值？椎，將2007—2014年的數值序列劃分為三種狀態M1，M2和M3。本研究利用最常用的等距分割法對狀態區間進行劃分，得到：

M1[0.89，0.96]，M2[0.96，1.02]，M3（1.02，1.09]

由此可得AJ公司2007—2014年的狀態分別為：

M={M2，M1，M2，M3，M2，M3，M2，M1}

2.狀態轉移矩陣

（1）根據AJ公司2007—2014年的狀態劃分，可得到狀態轉移矩陣P為：

（2）預測值修正。因AJ公司2014年自由現金流處于狀態M1，故對GM（1，1）模型測算的預測值進行修正，分別得到X （9）*，X （10）*，X （11）*，X （12）*。具體計算過程為：

（三）改進方法的引入

下面將上述提出的針對灰色馬爾科夫模型改進方法引入案例中進行對比分析，通過案例預測結果精度對比改進方法的優劣。

1.灰色新陳代謝模型

通過X（0）序列預測得到X （9）的值為6 217.03，通過此方法依次將預測新數據引入，分別得到序列X1 ，X2 ，X3 ，X4 ：

最終，利用灰色新陳代謝模型測算得到AJ公司2015—2018年的自由現金流X （9）**，X （10）**，X （11）**，X （12）**分別為6 217.03，6 156.16，6 154.82和6 263.24萬元。

2.Fisher最優分割法

狀態數據為M={0.89，0.95，0.96，1.00，1.01，1.01， 1.08，1.09}

本案例的狀態數據n為8，擬將其劃分為三個類別，并確保每一類別中至少包含兩個數據。首先，根據變差值確定第三類的分段點t3，測算得到：

經比較可得D（7，8）

同理，再確定第二類得分段點t2，測算得到：

經比較可得D（4，6）

第一類：[0.89，0.95，0.96];第二類：[1.00，1.01，1.01];第三類：[1.08，1.09]

由此得到狀態轉移矩陣P1為：

3.預測值修正

本研究采用Fisher最優分割法優化后的狀態轉移矩陣對灰色新陳代謝模型的預測結果進行修正，分別得出X（0）（9）***，X（0）（10）***，X（0）（11）***，X（0）（12）***，具體計算過程為：

四、案例結果

為了更直觀地呈現試驗過程中各模型的預測精度，本研究采用兩種方式對效果進行表征：第一，將各模型預測得到的AJ公司2015—2018年的自由現金流數值與實際值進行對比分析;第二，將各模型2015—2018年預測值的相對誤差？駐k與4年平均相對誤差？駐k進行對比分析，具體如表2、表3、圖1、圖2所示。

由表2、表3、圖1、圖2可知：第一，從縱向來看，灰色預測模型、灰色馬爾科夫模型、灰色新陳代謝模型及改進的灰色馬爾科夫模型的平均相對誤差？駐k分別為9.22%，8.13%，6.60%和5.94%。從試驗結果來看，通過對預測方法進行科學合理的改進后，擬合值與實際值間的誤差得到有效緩解，研究表明改進的灰色馬爾科夫模型在預測精度上存在較大優勢。第二，從橫向來看，改進的灰色馬爾科夫模型相較回歸分析、蒙特卡洛模擬等方法包容性更強。例如經典回歸分析中存在苛刻的高斯—馬爾科夫假定，蒙特卡洛模擬則須歷史數據依特定概率分布，這兩類方法對樣本量均存在較高要求，而改進的灰色馬爾科夫模型在預測中所需的樣本數量相對較少，能夠滿足現實中信息量匱乏的評估標的。

五、結論與展望

本文通過引入新陳代謝理論和Fisher最優分割法，構建了改進的灰色馬爾科夫模型，并將其應用于企業自由現金流預測環節。通過案例分析發現改進后的灰色馬爾科夫模型平均相對誤差較灰色預測模型、灰色馬爾科夫模型和灰色新陳代謝模型更小，分別降低了3.28%，2.19%和0.66%，即預測精度更高。因此，該方法對企業自由現金流預測、評估企業價值具有較大的應用空間。

本文雖對灰色馬爾科夫模型進行了改進，但僅考慮了自由現金流數據的歷史序列，未引入行業屬性、宏觀經濟等因素進行綜合分析，未來可進一步在預測模型中添加外部變量，將GM（1，1）模型拓展為GM（1，n）模型。本文通過案例分析的形式證明了改進灰色馬爾科夫模型在預測精度和樣本數量兩個維度上的優越性，但利用該模型嘗試指導評估實務時，仍需對模型的適用性及適用范圍進行進一步驗證，如針對企業不同業務所產生的現金流。因方法選擇、實地調研、分析估計上存在較大差異，后續研究可深入剖解自由現金流結構，根據實際特征調整預測模型，進一步加強預測的科學性和準確性。

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