中間測量對受驅單量子比特統計復雜度的影響*

鞏龍延 楊慧 趙生妹

1) (南京郵電大學理學院, 江蘇省新能源技術工程實驗室, 南京 210003)

2) (南京郵電大學信號處理與傳輸研究院, 南京 210003)

最近, 基于量子信息理論的統計復雜度引起了人們的關注. 在噪聲環境下, 一個受外界驅動的單量子比特系統具有豐富的動力學行為. 本文利用Lindblad 方程, 在Born-Markov 近似下, 研究 N 次中間量子測量后,在系統演化的最后時刻 τ , 末態的統計復雜度 C . 研究發現: 在 τ 由0 變大的過程中, C 從0 開始, 先增大到最大值, 然后減小, 直到再趨近于0; N 較小時, C 伴隨著明顯的不規則振蕩現象, 振幅隨 τ 逐漸減小; N 越大,C 隨 τ 的變化趨勢越接近無中間測量時的變化趨勢. 研究結果給量子態的操控提供了一定的理論參考.

1 引 言

多年來, 系統的復雜性相關研究在物理學、化學、生物學、數學、計算機科學等領域引起了人們的廣泛關注[1]. 算法復雜性、計算復雜性、生物復雜性、生態復雜性、演化復雜性、發育復雜性、語法復雜性、經濟復雜性、社會復雜性等概念被提出[2].以愛因斯坦為代表的許多科學家認為自然界的基本規律是簡單的, 然而物質世界呈現在人們面前是層次化、復雜化的[3]. 簡單的定律多次重復應用, 在自然界中可以呈現出豐富的結構和復雜的現象[4].高維度的物理過程, 若從低維空間描述, 會使它們看起來復雜; 選取不合適的參考系也可能帶來描述的復雜化[2,5].

對系統復雜性特征的刻畫, 是一個脫離主觀評價去定義某種可觀測對象的問題[2]. 由于復雜性具有多樣性, 這是一個語境依賴概念[1], 目前科學界對它沒有統一的認識. 復雜性的測度, 即復雜度,有諸多定義[1]. 如基于信息學理論, 1965 年Kolmogorov[6]最早提出基于序列比特數的復雜性測度;在此基礎上, 1976 年Lemple 和Ziv[7]給出具體算法, 并被稱為Lemple-Ziv 復雜度; 1995 年, 基于Shannon 熵和失衡( d isequilibrium )度, López-Ruíz等[8]提出統計復雜度, 簡稱為LMC 復雜度; 1999 年,基于Boltzmann-Gibbs-Shannon 熵, Shiner 等[9]提出可以區分有序和無序程度的復雜度, 簡稱為SDL 復雜度. 2020 年, Cesário 等[10]基于LMC 統計復雜度及量子信息理論, 提出量子統計復雜度,用來研究量子相變.

另一方面, 隨著實驗技術的發展, 人們可以對單量子態進行操控, 探測其物理性質, 促進了量子信息處理技術的發展和應用[11]. 最近, 一個受外界驅動的單量子比特系統引起人們廣泛研究[12?15].在噪聲環境下, 可以通過調節外界驅動強度來操控系統的量子性特征[12?14]. 趙小新[15]詳細討論了存在多次中間量子測量時系統的量子性特征. 實際上, 通過量子測量可以從系統中提取信息、改變系統的狀態[16]; 多次測量可以模擬環境對量子系統的影響[17]; 多次測量也可以用來操控、監控量子系統[18,19]. 眾所周知, 簡單的系統也可以表現出復雜的動力學行為. 在噪聲環境下, 受外界驅動的單量子比特系統是一個典型的例子[12?14], 而多次中間測量使得該系統的動力學行為變得更加豐富[15].本文的目的, 是借助于復雜度概念對該系統的動力學行為進行定量刻畫. 為此, 基于Cesário 等[10]提出的量子統計復雜度, 在不同的外界驅動強度和退相噪聲強度作用下, 在多次中間測量影響下, 研究在系統演化的最后時刻τ, 末態的量子統計復雜度C.結果表明當τ由零變大, 復雜度從零開始, 先增加后減小, 直到再趨近于零; 測量次數較小或較大時,復雜度隨τ的變化規律有較大差異. 這些結果有利于人們對這樣的量子比特進行操控、監控等量子信息處理.

本文剩余部分安排如下: 第2 節給出統計復雜度的公式; 第3 節介紹模型; 第4 節詳細討論多次測量對量子統計復雜度的影響; 最后, 第5 節給出主要結論.

2 統計復雜度

為了不引起混淆, 經典系統和量子的統計復雜度分別被稱為經典統計復雜度和量子統計復雜度.

2.1 經典統計復雜度

設某物理量有x1,x2,··· ,xK共K個可能的值,它 們的 概率 分別 為p1,p2,··· ,pK.記概率矢量p=(p1,p2,··· ,pK), 特別是記同分布概率矢量pI=(1/K,1/K,··· ,1/K). 經典統計復雜度正比于香農熵和失衡度[1,8,10]. 定義約化香農熵

以及約化失衡度[10]

則經典統計復雜度可表示成

對最無序情形, 即同分布概率矢量pI, 約化香農熵H(p)=1,約化失衡度D(p,pI)=0 ; 對最有序情形, 即概率矢量p=(0,··· ,0,pi=1,0,··· ,0) ,約化香農熵H(p)=0,約化失衡度D(p,pI)=1 . 可見, 約化香農熵H(p) 可較好地表征無序程度, 而約化失衡度D(p,pI) 可較好地表征有序程度[8,10]. 在這兩種極端情形下, 經典統計復雜度C(p)=0 , 而在其他情形, 0

2.2 量子統計復雜度

將以上概念推廣到量子系統[10], 量子態對應的密度算符ρ代替概率矢量p. 定義約化馮·諾依曼熵

以及約化失衡度

則量子統計復雜度可表示為[10]

其中約化馮·諾依曼熵S(ρ) 代替(3)式中的約化香農熵H(p),I=I/K為最大混合態密度算符,K是量子態的希爾伯特空間維度, I 是維度為K的單位算符. 最無序的量子系統對應最大混合態I, 約化馮·諾依曼熵S(I)=1 , 約化失衡度D(I,I)=0 ; 最有序的量子系統對應純態, 其密度算符ρ=|ψ〉〈ψ|,約化馮·諾依曼熵S(I)=0 , 約化失衡度D(I,I)=1 .在這兩種極端情形下, 量子復雜度C(ρ)=0 , 而在其他情形, 0

3 模 型

下面將分別介紹受驅單量子比特系統及多次中間量子測量.

3.1 受驅單量子比特系統

考慮的量子比特為受外界驅動的兩能級系統[12?15], 其含時哈密頓量為

其中σz為泡利算符z分量, 頻率ω(t)=ω0+κt, 不失一般性, 取ω0=1,κ為外界驅動強度. 周圍環境對量子系統的影響, 可用Markov 和non-Markov過程來近似. 前者用來模擬系統與環境處于弱耦合狀態, 環境的記憶效應可以忽略, 系統主方程呈現Lindblad 形式; 后者用來模擬系統與環境處于強耦合狀態, 環境的記憶效應不能忽略, 系統與環境間存在能量和信息的交流, 動力學演化過程更加復雜. 為了重點突出量子測量的作用, 同時弱化其他因素的影響, 本文只考慮Markov 過程近似情形.

在Born-Markov近似下,任意算符X(t) 的Lindblad 方程可表示成

其 中L為Liouvillian 超算符,γ是退相位噪聲強度, 這里普朗克常數取為自然單位. Lindblad 方程用矩陣表示為

從(9)式可以看出,σz和單位算符 I 不隨時間發生變化, 為簡單起見, 算符X(t) 可用泡利算符σx和σy來表示, 若定義傳播子

那么[13]

其中θ1=γ(t2-t1)和

3.2 多次中間量子測量

如同文獻[13], 在t=0 時刻, 量子比特處在σx的本征態|+〉上, 密度算符為

在隨時間演化過程中,

以{σx,σy}為基, 若無中間測量, 根據(11)式

在時刻t=τ1,··· ,τn,··· ,τN, 分別進行σx(t) 測量[15],這些算符σx(τ1),··· ,σx(τn),··· ,σx(τN) 是非對易的. 以{σx,σy}為基, 算符σx可用矩陣表示[13]. 設初始時刻t=0 和系統演化的最后時刻t=τ, 那么[15]

4 數值結果

本文研究均勻時間間隔測量對量子統計復雜度的影響, 即(7)式給出的單量子比特系統從t=0時刻開始隨時間演化到t=τ時刻, 進行N次中間測量, 測量時刻. 若N=0 , 表示不進行中間測量.

首先研究約化馮·諾依曼熵S與最后演化時刻τ之間的關系. 如圖1 所示, 當不對系統進行中間測量(N=0 ),τ=0 時,S=0,然后S隨τ單調遞增, 當τ較大時,S值趨近于1. 同時, 圖1(a)給出了中間測量次數較小時(N=1,2,4) ,S隨τ的變化曲線. 可以看出, 整體上S隨τ是逐漸增加的, 同時S伴隨著明顯的不規則振蕩現象, 振幅隨τ逐漸減小. 圖1(b) 給出的是中間測量次數較大時(N=10,102,103,104),S隨τ的變化曲線. 可以看出,S隨τ單調遞增; 測量次數較大,S來不及完成振蕩就被測量破壞掉了, 所以觀測不到S隨τ的振蕩現象.當測量次數N=104時, 由于量子芝諾效應,S隨τ的變化曲線幾乎與不對系統進行中間測量的曲線重合[20,21]. 在相同τ, 有中間測量時S的值總是大于或等于無中間測量時S的值. 根據(4)式給出的約化馮·諾依曼熵的定義及其意義, 這些結果意味著隨τ逐漸變大, 系統由純態變成混合態, 最后趨近于最大混合態; 在有中間測量時, 系統變成最大混合態更快些.

其次研究約化失衡度D與最后演化時刻τ的關系. 圖2 給出的D隨τ的變化趨勢與圖1 中約化馮·諾依曼熵S隨τ的變化趨勢相反. 詳細地, 當N=0 時,D隨τ由 1 單調遞減, 當τ較大時,D趨近于 0 . 圖2(a)表明中間測量次數較小(N=1,2,4) 時, 整體上D隨τ逐漸減少, 同時D伴隨著明顯的不規則振蕩現象. 圖2(b)表明中間測量次數較大(N=10,102,103,104) 時,D隨τ單調遞減;同時, 當N=104時,D隨τ的變化曲線幾乎與不對系統進行中間測量時的曲線重合. 根據(5)式給出的約化失衡度D的定義及其意義, 這些結果也意味著隨τ逐漸變大, 系統由純態變成混合態, 最后趨近于最大混合態; 在有中間測量時, 系統變成最大混合態更快些.

圖1 中間測量次數不同時約化馮·諾依曼熵 S 隨最后演化時刻 τ 的變化曲線 (a) N=0,1,2,4 ; (b)N =0,10,102,103,104 , 外 界驅動強度 κ=0.95,退相位噪聲強度γ =0.2Fig. 1. The reduced von Neumann entropy S varying with last moment τ , where (a) N=0,1,2,4,(b) N=0,10, 1 02,103,104 ,the driving amplitude κ=0.95,the dephasing intensity γ=0.2 .

圖2 中間測量次數不同時約化失衡度D 隨最后演化時刻 τ的變化曲線 (a) N=0,1,2,4 ; (b) N=0,10,102,103,104 ,外界驅動強度 κ=0.95,退相位噪聲強度γ =0.2Fig. 2. The reduced disequilibrium D varying with last moment τ , where (a) N=0,1,2,4,(b) N=0,10,102,103, 1 04 , the driving amplitude κ=0.95,the dephasing intensity γ=0.2 .

圖3 中間測量次數不同時量子統計復雜度 C 隨最后演化時刻 τ的變化曲線 (a) N=0,1,2,4 ; (b)N =0,10,102,103,104 , 外界驅 動強度 κ=0.95,退相位噪聲強度γ =0.2Fig. 3. The quantum statistical complexity C varying with last moment τ , where (a) N=0,1,2,4, (b)N =0,10,102,103,104 , the driving amplitude κ=0.95,the dephasing intensity γ=0.2 .

由(6)式, 結合圖1 和圖2, 圖3 給出了量子統計復雜度C隨最后演化時刻τ的變化關系. 圖3表明當N=0 時,C隨τ由0 單調遞增至最大, 然后單調遞減至0, 換句話說, 系統復雜性先增加后減小, 在中間某個τ達到最大值. 圖3(a)表明中間測量次數較小(N=1,2,4) 時 ,C隨τ的變化趨勢與N=0 時的變化趨勢相似, 但C伴隨著明顯的不規則振蕩現象. 圖3(b) 表明中間測量次數較大(N=10,102,103,104) 時, 幾乎觀測不到C隨τ的振蕩現象;N越小, 在越小的τ,C又回到 0 值; 當測量次數N=104時,C隨τ的變化曲線幾乎與不對系統進行中間測量的曲線重合. 總之, 這些結果意味著, 可以通過控制中間測量次數以及系統的演化時間來調節末態的復雜度.

圖4 中間測量次數不同時量子統計復雜度 C 隨最后演化時刻 τ 及外界驅動強度 κ 的變化 (a) N=0 ; (b) N=4 ;(c) N=1000 , 退相位噪聲強度γ =0.2Fig. 4. The quantum statistical complexity C varying with last moment τ and driving amplitude κ , where (a) N=0 ,(b) N=4, (b) N=1000 , and the dephasing intensity γ =0.2.

圖3給出的是以外界驅動強度κ=0.95 為例.更一般情形, 圖4 給出在不同外界驅動強度κ下,量子統計復雜度C隨最后演化時刻τ的變化關系.可以看出, 在N=0 時,C隨τ的變化幾乎與κ無關;在N?=0 時,C值與κ有 關; 在相同的N不同的κ時,C隨τ的變化趨勢大體相同. 因此, 影響系統復雜度的主要因素是中間測量次數N和最后演化時刻τ.

5 結 論

利用Lindblad 方程, 在Born-Markov 近似下, 重點討論N次中間量子測量后, 在最后演化時刻τ, 受外界驅動的單量子比特末態的量子統計復雜度C. 研究發現: 整體上,τ由0 變大的過程中,C從0 先增加到最大值, 然后減小, 直到再趨近于0. 顯然, 開始時量子態由(12)式給出, 其為純態,對應的C為0; 在環境噪聲下, 量子態將演變為混合態, 若時間足夠長, 將演變為最大混合態, 對應的C也為0.N較小時,C伴隨著明顯的不規則振蕩現象;N較大時,N越小, 在越小的τ,C又回到0 值;N大到一定程度時,C隨τ的變化曲線幾乎與不對系統進行中間測量的曲線重合. 由于測量導致的波包塌縮機制, 一般情形下,C隨τ的變化存在振蕩現象. 然而當N=0 時, 中間過程無測量, 不導致波包塌縮,C隨τ無振蕩現象; 當測量次數N較大時,C來不及完成振蕩就被測量破壞掉了, 所以觀測不到C隨τ的振蕩現象. 當測量次數足夠大(N=104) 時, 由于量子芝諾效應,C隨τ的變化曲線幾乎與不對系統進行中間測量的曲線重合. 量子統計復雜度與系統的有序、無序特征有關, 已經用來研究量子相變[10]. 同時在量子計算中, 量子態的有用性和其復雜度緊密相關[22,23]. 量子測量往往會影響被測量的系統, 同時量子測量也是對量子態進行制備、操控以及進行其他量子信息處理的重要手段. 因此, 可以控制中間測量次數以及系統的演化時間來調節量子系統末態的復雜度.

人們借助于量子見證, 對(7)式給出的受外界驅動的單量子比特進行研究, 發現通過調節外界驅動強度可以較好地操控系統的量子性特征[12?15].與此不同,量子復雜度可以表征系統的復雜性特征,因此該研究從新的角度對該系統量子態的特性和量子過程進行認識.同時,單量子比特是最簡單的量子系統,本文結果表明,在噪聲影響和外界驅動下,簡單的系統也具有復雜的統計特征,因此該模型可作為研究復雜系統的一個典型例子供人們進一步討論.