Mlinex損失函數(shù)下幾何分布參數(shù)的Bayes估計

周桂蘭，朱 寧，農(nóng)以寧

（桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

離散型分布中最為重要的一種分布是幾何分布，該分布不僅在可靠性和應用概率模型中占據(jù)很重要的地位，而且在信息工程、控制論以及經(jīng)濟學中也得到了很大的重視和應用。文獻[1，2]討論了熵損失函數(shù)下幾何分布可靠度的Bayes估計；文獻[3]和文獻[4]分別在Q-對稱熵損失函數(shù)和復合Linex對稱損失函數(shù)下得到了幾何分布的可靠度Bayes估計和多層Bayes估計，并討論了他們的可容許性；文獻[5]和文獻[6]則分別是在一類非對稱損失函數(shù)和一類新的加權(quán)平方損失函數(shù)下研究幾何分布可靠度的先驗分布分為無信息和共軛先驗分布兩種情況下的Bayes估計問題；文獻[7]在熵損失函數(shù)、最小預期損失函數(shù)、Linex損失函數(shù)下，得到了定時截尾情形兩參數(shù)幾何分布的可靠性Bayes估計。

在貝努里試驗中,設 p為每次試驗成功的概率（可靠度），若進行了x+1次試驗，前x次試驗成功但第x+1次試驗不成功的概率為：

則稱隨機變量X服從幾何分布,其中參數(shù) p(0＜p＜1)稱為可靠度。

本文將在Mlinex損失函數(shù)下研究幾何分布（1）可靠度的Bayes估計、E-Bayes估計和多層Bayes估計問題。

1 可靠度p的Bayes估計

定義1[8]：Mlinex損失函數(shù)的表達式為：

其中δ是未知參數(shù)p的判別空間的一個估計。如當c＞0時，它可以很好地刻畫正的偏差引起的損失高于負的偏差引起的損失。結(jié)合本文所討論的分布，下文假設c＞0。

定理1[8]：設 x=(x1，x2，…，xn)來自分布（1）的一個簡單隨機樣本，若在空間中存在參數(shù) p的估計量δ，其Bayes風險r(δ)＜+∞，則對 p的任何先驗分布π(p)，在損失函數(shù)（2）和模型（1）下，參數(shù) p有唯一的Bayes估計：

考慮幾何分布可靠度p的先驗分布為其共軛分布—Beta分布的情況，其密度函數(shù)為：

當b=1和a＞0時，π(p|a，b)仍然是 p的單調(diào)函數(shù)，此時的分布稱為冪分布，其密度函數(shù)為：

其中0＜p＜1，a為超參數(shù)，且a＞1。

定理2：若幾何分布的先驗分布具有超參數(shù)a和b的Beta分布（4），則它的Bayes估計為：

證明：對幾何分布，在無失效數(shù)據(jù)情形下樣本的似然函數(shù)為L(p)=px(1-p)，若其先驗分為Beta分布，則后驗密度函數(shù)為：

由定理1可知，它的唯一的Bayes估計為：

證畢。

引理1[9]：在給定的Bayes決策問題中，假如對給定的先驗分布π(p)的Bayes估計是唯一的，則是可容許的。

推論1：在給定先驗分布（4）和損失函數(shù)（2）下，參數(shù) p的Bayes估計是可容許的。

證明：取w=1,c=2,c=3,c=4,Mlinex損失函數(shù)的圖像如圖1所示：

圖1 Mlinex損失函數(shù)圖

由圖1可知在Mlinex損失函數(shù)中，δ關(guān)于參數(shù)p是嚴格凸函數(shù)，因此其Bayes估計必是唯一的，又由引理1可得，Bayes估計δ^B1是可容許的。

定理3：若幾何分布的先驗分布為式（5）中的冪分布，則它的Bayes估計為：

證明：對幾何分布（1），由于它的似然函數(shù)為L(p)=px(1-p)，因此p的后驗密度函數(shù)為：

故其后驗分布服從Beta分布，即：

h(p|x)~B(a+x，2)

由定理1可得，在損失函數(shù)（2）下的Bayes估計為：

其中：

證畢。

推論2：在損失函數(shù)（2）和幾何分布的先驗分布為（5）的情況下，其Bayes估計δ^B2是可容許的。

證明過程如推論1。

2 可靠度p的E-Bayes估計

引 理 2[10]：設 (a，b)∈D ，(a，b) 是 連 續(xù) 的 ，稱為參數(shù) p 的E-Bayes估計，其中 是存在的，D={(a，b):0＜b＜1，1＜a＜m，b∈?}，m＞1為常數(shù)，π(a，b)是a和b在區(qū)域 D 上的密度函數(shù)，(a，b)為 p的Bayes估計（用超參數(shù)a和b表示）。

定理4：對幾何分布，參數(shù) p的先驗分布為Beta分布，若超參數(shù)a和b的先驗密度分別為：

則相應的參數(shù)p的E-Bayes估計為：

證明：對幾何分布（1），參數(shù) p的先驗分布為Beta分布，若超參數(shù)a和b的先驗密度為式（6），則 p的E-Bayes估計為：

同理，若超參數(shù)a和b的先驗密度為式（7），則 p的E-Bayes估計為：

類似地，若超參數(shù)a和b的先驗密度為式（8），則 p的E-Bayes估計為：

引理3[9]：設 a∈D ，(a)是連續(xù)的，稱(a)da為參數(shù) p的E-Bayes估計。其中在的，D={a|1＜a＜0，a∈?}，m＞1為常數(shù)，π(a)是a在區(qū)間參數(shù) p上的密度函數(shù)為參數(shù) p的Bayes估計。

定理5：對幾何分布，參數(shù)p的先驗分布式（5）的冪分布，若a在區(qū)間D的先驗密度分為均勻分布，其密度函數(shù)為π(a)=1,1＜a＜m，參數(shù) p的E-Bayes估計為：

m-1

3 可靠度p的多層Bayes估計

若參數(shù)p的先驗密度函數(shù)π(p|a，b)由式（4）給出，a和b的先驗密度函數(shù) π1(a，b)， π2(a，b)， π3(a，b)分別由式（6）、式（7）和式（8）給出，則參數(shù)p的多層先驗密度函數(shù)分別為：

定理6：對幾何分布（1），若參數(shù)p的多層先驗密度函數(shù)為 π4(p)，π5(p)，π6(p)，則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p 的多層Bayes估計為：

證明：對幾何分布，參數(shù) p的似然函數(shù)為L(p)=px(1-p)。

（1）若 p的多層先驗密度函數(shù)為π4(p)，則 p的多層后驗密度函數(shù)為：

則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計為：

（2）同理，若 p的多層先驗密度函數(shù)為π5(p)，則 p的多層后驗密度函數(shù)為：

則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計為：

（3）類似地，若 p的多層先驗密度函數(shù)為π6(p)，則 p的多層后驗密度函數(shù)為：

則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計為：

證畢。

引理4：若參數(shù) p的密度函數(shù)由π(p|a)=apa-1給出，取超參數(shù)a的先驗分布為U(1，m)上的均勻分布，則 p的多層先驗密度函數(shù)為：

定理7：對幾何分布（1），若 p的多層先驗密度函數(shù)π(p)由式（9）給出，則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計為：

證明：對幾何分布，無損失數(shù)據(jù)樣本的似然函數(shù)為L(p)=px(1-p)，若 p的多層先驗密度函數(shù)π(p)由式（9）給出，則參數(shù) p的多層后驗密度函數(shù)為：

其中，0＜p＜1，則在Mlinex損失函數(shù)下，參數(shù) p的多層Bayes估計為：

證畢。

4 可靠度p的Bayes估計的性質(zhì)

性質(zhì)1：對幾何分布，在Mlinex損失函數(shù)下，當可靠度p的先驗分布為Beta分布時，若a，b，c的值為一個定值，則對任意m有：

證明：對幾何分布，當可靠度 p的先驗分布為Beta分布時，在Mlinex損失函數(shù)中，若a，b，c的值為一個定值，則是一個數(shù)值。同理若在幾何分布中，實驗的次數(shù)x、Mlinex損失函數(shù)的參數(shù)c取定時，B(a+x，b+1)，B(a+x-c，b+1)也是一個數(shù)值。

（1）在幾何分布中，在相同的實驗次數(shù)x下，若a，b，c的值為一個固定的數(shù)值，記Δ1=B(a+x，b+1),Δ2=B(a+x，則由定理4可知：

即：

（2）同理在幾何分布中，若a，b，c的值為一個固定的數(shù)值，記 Δ1=B(a+x，b+1),Δ2=B(a+x-c，b+1),Δ3=B(a，b)，則結(jié)合定理6可得：

同理，

（3）由式（1）和式（2），結(jié)合定理2可知：

證畢。

性質(zhì)2：對幾何分布，在Mlinex損失函數(shù)下，當可靠度p的先驗分布為冪分布時，若a，c的值為一個定值，則對任意m有：

證明：對幾何分布，在Mlinex損失函數(shù)下，若a，c的值值。設Φ=，由定理5可知，當可靠度 p的先驗分布為冪分布時，參數(shù)p的E-Bayes估計為：

證畢。

5 實例

利用蒙特卡洛方法模擬容量為n的服從幾何分布(1)的簡單隨機樣本N=1000次，以損失函數(shù)中c=2，3，4，5，6為例。對每種情形，p的先驗分布都取B(1.5，0.5)，樣本容量分別取10,50,100,1000，由定理2、定理3和定理5計算可靠度先驗為貝塔分布和冪分布下的Bayes估計、多層Bayes估計，結(jié)果如表1所示。其中在Mlinex損失函數(shù)下，B1為可靠度先驗為貝塔分布的Bayes估計，B2和HB為可靠度先驗為冪分布的Bayes估計和多層Bayes估計，B-為不同先驗的Bayes估計的差。

表1 可靠度Bayes估計

從表1可以看出隨著樣本容量n的增大，不同先驗分布估計下的Bayes估計的極差在逐漸減小，c的取值對估計的影響變小，可靠度越穩(wěn)健；對Mlinex損失函數(shù)下的不同參數(shù)的c，幾何分布的先驗分布為貝塔分布或冪分布下的估計值都是穩(wěn)健的；對于損失函數(shù)中相同的參數(shù)c，可靠度p的bayes估計、E-beyes估計、多層bayes估計的值都比較接近，當樣本容量較小時可靠度p的bayes估計和多層bayes估計的值相差較大，但隨著n的增大，幾個估計的差值在逐漸減少，當樣本n足夠大時，兩者的差距可以忽略不計。

為了判斷先驗分布的參數(shù)對估計的影響，本文計算出N=100，c=3，a=0.5~2.5,b=0.1~0.9下的先驗分布為Beta分布Bayes估計，結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出,當Mlinex損失函數(shù)的參數(shù)c=3時，若參數(shù)a不變,改變參數(shù)b的值，此時幾何分布的Bayes估計的極差較小，偏差區(qū)間在[0.005152，0.005254],說明先驗分布的參數(shù)b對幾何分布可靠度的Bayes估計有一些影響，但是影響不大；當參數(shù)b的值不變時，改變參數(shù)a的值，從幾何分布的Bayes的估計上看，參數(shù)a對Bayes估計的影響很小，幾乎可以忽略不計。綜上可知，幾何分布可靠度p的Bayes估計比較穩(wěn)健。

表2 先驗分布為Beta分布的Bayes估計

6 結(jié)束語

本文在Mlinex損失函數(shù)下推算出了幾何分布可靠度的Bayes估計，驗證了它的容許性和唯一性，根據(jù)定義推算其E-Bayes估計和多層Bayes估計，并討論了幾何分布的先驗分布為貝塔分布和冪分布下Bayes估計、E-Bayes估計和多層Bayes估計的性質(zhì)。由實證分析可以看出，從具體數(shù)值演算結(jié)果可看出，隨著樣本容量的增大，幾何分布的先驗分布為貝塔分布和冪分布下的Bayes估計值的差距逐漸減少。當樣本N足夠大時，兩者的差距可以忽略不計，參數(shù)a，b對估計的影響較小，并且估計的值具有較好的穩(wěn)健性。