關注圖形變換的性質

熊誠燕

[摘要]新課標要求學生用圖形變換的思維去研究三角形、平行四邊形、圓等圖形的性質.圖形變換內容的加入，體現了動態幾何的價值.分析探討軸對稱、平移、旋轉的相關典例，使學生深刻理解圖形變換的性質，提高學生解決圖形變換問題的能力.

[關鍵詞]圖形變換;性質;軸對稱

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）35-0031-02

新課標要求學生用圖形變換的思維去研究三角形、平行四邊形、圓等圖形的性質，圖形變換內容的加入，體現了動態幾何的價值，圖形變換的性質是考試的重點和難點，當圖形變換與其他特殊圖形結合時，同時也考查了特殊圖形的性質與判定.

一、軸對稱的性質

成軸對稱的兩個圖形，相對應的角其角度相同，相對應的線段其長度相等，這是軸對稱最基本的性質，其他的性質還包括對稱點的連線形成的線段，對稱軸是其垂直平分線;對應線段或其延長線相交，交點一定在對稱軸上;對應線段與對稱軸的夾角彼此相等，把軸對稱圖形放在坐標系內，關于x軸對稱的兩個點的坐標，戈坐標相同，y坐標互為相反數;關于y軸對稱的兩個點的坐標，x坐標互為相反數，y坐標相同.

[例1]在等邊△ABC外作射線AD，使得AD和AC在直線AB的兩側，∠BAD= a（0°

（1）依題意補全圖1;

（2）在圖1中，求∠BPC的度數;

（3）直接寫出使得△PBC是等腰三角形的a的值，分析：（1）按作軸對稱圖形的步驟作圖如圖3所示.

（2）由軸對稱性質，得AP=AB，根據圓周角定理解決問題，即點B關于直線AD的對稱點為P，所以AP= AB，所以∠PAD=∠BAD，因為△ABC是等邊三角形，所以∠BAC= 60°，AB= AC，所以AP =AB =AC，所以P，B，C在以A為圓心、AP為半徑的圓上，所以∠BPC=1/2∠BAC= 30°;

（3）根據等腰三角形的性質分四種情形畫出圖形分別求解，即

①如圖4-1中，當BP= BC時，a=∠BAD=30°;②如圖4-2中，當PB= PC時，a=∠BAD= 75°;③如圖4-3中，當CP= BC時，a=∠BAD=120°;④如圖4-4中，當BP= PC時，a=∠BAD=165°，

綜上所述，a的值為30°，75°，120°，165°，

評注：當幾個點到一定點的距離相等時，則這幾個點一定在同一個圓上，從而可以利用圓的性質解決問題.本題利用了圓周角定理，即同一條弧所對圓周角是它所對的圓心角的1/2以一條線段為邊構造等腰三角形，一般有三種情況，要分類討論避免漏解，

二、平移的性質

平移是圖形的直線運動，平移后的圖形與平移前的圖形是全等形，即完全重合，所以相對應的角彼此相等，相對應的邊彼此相等，對應邊的位置關系是平行或在同一直線上，對應點的連線也互相平行或在同一直線上，圖形中各部分所處的方位，在平移后所處的方位也不變，把平移前后的兩個圖形放在坐標系里，如果沿x軸左右平移，點的y坐標不變，x坐標左減右加;如果沿y軸上下平移，點的x坐標不變，y坐標上加下減.

[例2]在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D.

（1）在圖5中，將△ABD沿BC的方向平移，使點D移至點C的位置，得到△A'B'D'，且A'B'交AC于點E，猜想∠B'EC與∠A'之間的關系，并說明理由;

（2）在圖6中，將△ABD沿AC的方向平移，使A'B'經過點D，得到△A'B'D'，求證：A'D'平分∠B'A'C.

三、旋轉的性質

圖形繞一固定點按某一方向轉動一定的角度，這樣的圖形運動就是旋轉，它是圖形的圓周運動，旋轉后的圖形與旋轉前的圖形放在一起能完全重合，所以相對應的角其角度相同，相對應的線段其長度也相等，對應點連線后所成的線段，作它的中垂線一定經過旋轉中心，兩條這樣的中垂線相交時，其交點就是旋轉中心，旋轉的角度可以用對應點與旋轉中心連線的夾角得到，也是用對應線段的夾角得到.

[例3]如圖7，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C= 90°.

（1）操作發現：如圖8，若∠B= ∠DEC= 30°，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB上時，那么：①線段DE與AC的位置關系是什么？②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是什么？

（2）猜想論證：當△DEC繞點C旋轉到圖9所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，請你證明小明的猜想;

（3）拓展探究：如圖10，若BC=3，AC=2，當△DEC繞點C旋轉的過程中，四邊形ABDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出來;若不存在，請說明理由，

解析：（1）①DE//AC.理由如下：因為△DEC繞點C旋轉，點D恰好落在AB邊上，所以AC與CD相等，因為∠BAC= 90°- ∠B= 60°，所以△ACD是等邊三角形，所以∠CD為60°，又因為∠CDE= ∠BAC= 60°，于是∠ACD= ∠CDE，所以DE//AC;

②根據含30。角直角三角形的性質，得CD=AC=1/2AB，于是BD=AD=AC，根據等邊三角形的性質及三角形面積公式，得△ACD的邊上的高AC=AD，根據等底等高的三角形的面積相等，得S△BDC=S△AEC，即S1=S2;

（2）如圖11，作BC、CE的垂線，垂足分別為M、N，因為△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，所以BC=CE.AC=CD，根據同角的余角相等，得∠ACN= ∠DCM，在△ACN和

評注：繞圖形中的一個頂點旋轉是旋轉變換常考的類型，因為對應線段相等，所以此時常會形成等腰三角形，證明兩個三角形面積相等的方法有：（1）兩個三角形全等;（2）等底等高、同底等高、等底同高的兩個三角形;（3）等量與等量的和相等;（4）等量與等量的差相等，

圖形變換的性質還包括圖形相似的性質，其中最重要的性質是兩個相似圖形的面積之比，與對應線段比的平方相等，在中考數學的選擇題或填空題里常會單獨考本部分知識，在解答題里常會與其他幾何知識綜合在一起考查，教師在教學時要注重問題情境的創設，聯系生活實際，引導學生動手操作，讓學生深刻理解圖形變換的性質，同時滲透審美教育，在美的教育中激發學生的數學學習興趣.

（責任編輯陳 昕）